Flambagem. Cálculo da carga crítica via MDF
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- Luiz Eduardo Caldas Cabreira
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1 Flambagem Cálculo da carga crítca va MDF ROF. ALEXANDRE A. CURY DEARTAMENTO DE MECÂNICA ALICADA E COMUTACIONAL
2 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Nas aulas anterores, vmos como avalar a carga crítca de Euler para colunas sujetas a carregamento aal e para dversas condções de apoo. A formulação orgnal para a avalação desta carga é dada por: M ( ) Da teora da fleão, sabemos que a defleão (fleca) é calculada por: d M ( ) d EI d d EI d d EI RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
3 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Equação dferencal de equlíbro: d ( ) d EI ( ) ou EI d ( ) d ( ) Vmos que a solução para esta EDO, adotando-se as condções de contorno mostradas anterormente, é dada por: ( ) Asn L e crt EI L ª confguração de equlíbro carga crítca RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
4 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF As epressões anterores são usadas para colunas cuja seção transversal e materal não varam ao longo do comprmento. Casos em que á mudança brusca ou mesmo contínua do momento de nérca ou do módulo de elastcdade longtudnal do materal não são contemplados pela epressão da carga crítca de Euler. Desta forma, em últma análse, precsaríamos resolver uma EDO demasadamente complcada, a saber: Eemplo: d d d( ) E( ) I( ) ( ) d Alternatvamente, podemos resolver a equação acma utlzando-se um procedmento numérco a fm de se encontrar uma solução apromada para tal EDO. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
5 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF O Método das Dferenças Fntas (MDF) O MDF é um método muto utlzado para a resolução de equações dferencas. O MDF se basea na apromação de dervadas por meo de dferenças fntas, obtdas a partr das séres Talor. Seja uma função = f() qualquer mostrada na fgura ao lado. É possível avalar suas dervadas () e () num ponto qualquer, usando os valores da função orgnal ()? Usando o MDF, sm! RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 5
6 O Método das Dferenças Fntas (MDF) 6 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF A dervada ª de () no ponto pode ser calculada como: ' ou ' De manera semelante, pode-se dzer que: ' Etrapolando o racocíno, pode-se escrever a dervada ª de () em função das dervadas prmeras: ' ' '' (I) (II) (III)
7 O Método das Dferenças Fntas (MDF) 7 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Do slde anteror, temos: ' ' ' ' '' (I) (II) (III) Substtundo as equações I e II, em III, e consderando-se que, vem: e '' ' ' A epressão acma nos permte calcular o valor apromado da dervada segunda de uma função, conecendo-se seus valores em pontos: passado, presente e futuro.
8 O Método das Dferenças Fntas (MDF) 8 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Voltando à EDO orgnal: Usando a epressão obtda anterormente para a dervada segunda, vem: E I ) ( ) ( EI d d '' E I k ) ( k Ou, de forma mas compacta: onde: E I k ) (
9 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eemplo : Calcular o valor da carga crítca para uma coluna de comprmento L, utlzando dvsões de comprmento ( elementos, nós). Consdere EI constante ao longo de todo o comprmento. Não serve, pos o ponto = - está fora da coluna! ara = : OK! ara = : OK! ara = : Não serve, pos o ponto = está fora da coluna! ara = : RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 9
10 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Sendo o valor da defleão lateral em um ponto, conclu-se que: Assm, fcamos com o segunte sstema: ara que este sstema possua solução dferente da trval, é necessáro que o determnante prncpal seja nulo, sto é: det A Assm, tem-se:
11 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF ara : k 7 k k L L Sendo k EI, a solução é dada por: 7EI L k ara : 9 k k L L Sendo k EI, a solução é dada por: 9EI L Solução correta: carga crítca! O valor da carga crítca SEMRE será obtdo a partr da maor raz do polnômo! RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
12 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eemplo : Idem ao Eemplo, mas utlzando dvsões de comprmento ( elementos, 5 nós). Não serve, pos o ponto = - está fora da coluna! ara = : OK! ara = : OK! ara = : OK! ara = : Não serve, pos o ponto = 5 está fora da coluna! ara = : 5 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
13 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Sendo o valor da defleão lateral em um ponto, conclu-se que: Assm, fcamos com o segunte sstema: ara que este sstema possua solução dferente da trval, é necessáro que o determnante prncpal seja nulo, sto é: det A Assm, tem-se:,,
14 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF ara : k 9, 7 k k L L Sendo k EI, a solução é dada por: 9,7EI L Tendo em vsta que a resposta eata (carga crítca de Euler) é EI L 9,87EI L, percebe-se que, na medda em que aumentamos o número de dvsões (dmnuímos ), apromamos mas da resposta analítca do problema. O nconvenente, no entanto, é que quanto mas aumenta-se o número de dvsões, maor é o grau do polnômo a ser resolvdo. Como vmos, para N dvsões, temos que resolver um polnômo de grau N-. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
15 Erro (%) Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF A tabela a segur mostra os erros obtdos na medda em que se aumenta o número de dvsões: N Erro (%), 8,9, 8,8, 5, 5,68, 6,7,,9,8,97, N RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 5
16 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: ) ) E = Ga ) R.: 5, kn R.:, MN R.:,9 kn RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 6
17 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: ) Incalmente, precsamos determnar o número mínmo de dvsões a serem fetas: N = (sem sentdo) N = (mpossível). or quê? N = (possível) N = (mpossível). Vde N =. N = 5 (possível) Assm, o número mínmo de dvsões para a resolução deste problema é N =. Desta forma, = / = mm, com nós e elementos. R.: 5, kn RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 7
18 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: Não serve ara = : OK! ara = : OK! ara = : ara = : Não serve RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 8
19 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: com Assm, fcamos com o segunte sstema: ara que este sstema possua solução dferente da trval, é necessáro que o determnante prncpal seja nulo, sto é: det A Assm, tem-se: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 9
20 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: k k Como e, temos que: ( )( Substtundo k e na equação acma, vem: k E I E I k k ) E I E I Com os dados fornecdos, temos: E E 7. Ma. Ma mm I I d 6 D 6 () 6 () 6 7,85 5,66 mm mm RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
21 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: Substtundo-se os valores na equação, vem: 6,9 6,66 Multplcando-se os termos, tem-se: 5,95,85 9 Reorganzando a equação e dvdndo ambos os termos por,85-9 :, 5,6 9 A solução desta equação nos fornece duas raízes: 58,67 N,6 5 N crt 5, kn RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
22 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: ) E = Ga E = Ga Incalmente, precsamos determnar o número mínmo de dvsões a serem fetas: N = (sem sentdo) N = (nadequado). or quê? N = (mpossível) N = (possível) N = 5 (possível) N = 6 (mpossível) Assm, o número mínmo de dvsões para a resolução deste problema é N =. Desta forma, = 5/ = 5 mm, com 5 nós e elementos. R.:, MN RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
23 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: Não serve ara = : OK! ara = : ara = : OK! OK! ara = : ara = : Não serve 5 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
24 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: com Assm, fcamos com o segunte sstema: ara que este sstema possua solução dferente da trval, é necessáro que o determnante prncpal seja nulo, sto é: det A Assm, tem-se:
25 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: Como (mesma seção transversal e mesmo materal), temos que: Reorganzando a equação acma, vem: ) ( ou ( ) Assm, a solução deste problema será dada por: Como k, temos para a prmera possbldade: k Com os dados fornecdos, temos: EI E. Ma (5) 8 I b,55 mm 5 mm RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 5
26 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: Substtundo-se os valores na equação, vem: 5 8.,55 ara a segunda possbldade: ( ) 8, MN EI EI Com os dados fornecdos, temos: b I 7,8 mm ( menor momento de nérca) RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 6
27 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: Substtundo-se os valores na equação, vem: Multplcando-se os termos, tem-se: 7 7,, 6,8 7, Reorganzando a equação e dvdndo ambos os termos por, :,8 7,8 A solução desta equação nos fornece duas raízes:,,5 6 7 N N crt, MN RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 7
28 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: ) Incalmente, precsamos determnar o número mínmo de dvsões a serem fetas: N = (sem sentdo) N = (possível) N = (possível) N = (possível) N = 5 (possível) N = 6 (possível) Assm, o número mínmo de dvsões para a resolução deste problema é N =. No entanto, adotaremos N =, para uma apromação mas adequada. R.:,9 kn Desta forma, = / = mm, com nós e elementos. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 8
29 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: Não serve ara = : OK! ara = : OK! ara = : ara = : Não serve RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 9
30 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: com Assm, fcamos com o segunte sstema: ara que este sstema possua solução dferente da trval, é necessáro que o determnante prncpal seja nulo, sto é: det A Assm, tem-se: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
31 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: k k Como e, temos que: ( )( Substtundo k e na equação acma, vem: k EI EI k k ) EI EI Com os dados fornecdos, temos: E. Ma mm I I d 6 D 6 () 6 () 6 7,85 9,76 mm mm RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
32 Flambagem - Cálculo da carga crítca va MDF Eercícos: Determne a carga crítca para as colunas mostradas abao: Substtundo-se os valores na equação, vem:,86, Multplcando-se os termos, tem-se:,,5 7 Reorganzando a equação e dvdndo ambos os termos por,5-7 :,9,6 7 A solução desta equação nos fornece duas raízes: 89, N,5 N crt,9 kn RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
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