CE2 ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II LISTA DE EXERCÍCIOS - FLAMBAGEM

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1 CE2 ESTBILIDDE DS CONSTRUÇÕES II LIST DE EXERCÍCIOS - FLMBGEM FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, SOLUÇÃO 13.3 ÁRE = (10 25) = 1100 mm² MOMENTOS DE INÉRCI I = r 2 d r distância entre cento de gravidade do diferencial da área e eixo de referência I x = y 2 d I y = x 2 d 1

2 Os momentos de inércia em x e em y são iguais já que seção x-x é igual seção y-y I x = I y d = 10 dy d = 60 dy para y entre + 5,0 mm e + 30,0 mm e entre 30,0 mm e 5,0 mm para y entre 5,0 mm e + 5,0 mm I x = y 2 d +30 = 2 y 2 (10 dy) y 2 (60 dy) 5 I x = 2 10 y y = 20 ( ) + 60 ( ( 5)3 ) = mm RIO DE GIRÇÃO r x = I x = = 12,9 mm 1100 COMPRIMENTO EFETIVO K x = 1,0 (condição de contorno: "pinos em ambas as extremidades") L e,x = K x L x = 1,0,0 =,0 m ÍNDICE DE ESBELTEZ λ x = L e,x r x = ,9 = 309,12 RIGIDEZ FLEXIONL EM x EI x = ( kn/m²) ( m ) = 36,83 knm² CRG CRÍTIC CRG LIMITE DE ESCOMENTO ço -36: σ e = 250 MPa P cr,x = π2 EI x L e,x ² = π2 36,83,0² = 22,72 kn P e = σ e = ( kn/m²) ( m 2 ) = 275 kn P cr,x = 22,72 kn < P e = 275 kn Portanto a coluna sofrerá flambagem antes do escoamento (validando a fórmula de Euler para regime elástico), assim sua carga de trabalho máxima é 22,75 kn. Com cargas de trabalho superiores a 22,75 kn, a coluna se torna instável devido à flambagem. 2

3 SOLUÇÃO 13. Dados do exercício 13.3: = 1100 mm² I x = mm r x = 12,9 mm EI x = 36,83 knm² COMPRIMENTO EFETIVO K x = 0,7 (condição de contorno: "engastada na base e presa no topo por pinos") L e,x = K x L x = 0,7,0 = 2,80 m ÍNDICE DE ESBELTEZ λ x = L e,x r x = ,9 = 216,38 CRG CRÍTIC P cr = π2 EI x L e,x ² = π2 36,83 2,8² = 6,37 kn O engastamento da base aumentou em 10,09% o valor da carga crítica ( 6,37 1 = 1,009), ou seja, praticamente dobrou a capacidade da coluna. O aumento pode ser calculado diretamente com o resultado obtido no Exercício 13.3, já que a única alteração na Fórmula da Carga Crítica ocorreu em K x, que alterou de 1,0 para 0,7. P cr,x = 22,72 0,7² = 6,37 kn 1 2 K 1 = 1 x 0,7 2 1 = 10,09 % 22,72 CRG LIMITE DE ESCOMENTO ço -36: σ e = 250 MPa P e = σ e = ( kn/m²) ( m 2 ) = 275 kn P cr,x = 6,37 kn < P e = 275 kn Portanto a coluna sofrerá flambagem antes do escoamento (validando a fórmula de Euler para regime elástico), assim sua carga de trabalho máxima é 6,37 kn. Com cargas de trabalho superiores a 6,37 kn, a coluna se torna instável devido à flambagem. 3

4 FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, SOLUÇÃO 13.5 ÁRE MOMENTO DE INÉRCI RIO DE GIRÇÃO = a² I = a 12 r = I = a 12 a² = a 12 TENSÃO DE ESCOMENTO σ e = ε e E = 0, MPa = 9 MPa Para determinar o menor valor de a de modo que a barra não falhe por flambagem, a tensão crítica de flambagem deve ser igualada à tensão de escoamento, pois desta forma a estrutura irá falhar por resistência. TENSÃO CRÍTIC DE FLMBGEM MENOR DIMENSÃO DE a σ cr = π2 E ( KL r ) ² 9000 = π ( 1,0 1,25 a ) ² 12 a = ±, m solução negativa da equação de segundo grau não tem significado físico. Portanto a menor seção da barra para que a estrutura não falhe por flambagem, e sim, por resistência é 3,59 x 3,59 mm².

5 FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, SOLUÇÃO 13.6 MOMENTO DE INÉRCI π d I = 6 CRG CRÍTIC P cr = π2 EI L e ² DIÂMETRO NECESSÁRIO d = 6503 TENSÃO DE TRBLHO MÁXIM 25 = π 2 π d 200 ( 6 ) (1,0 500) 2 = 15,937 mm = 16 mm (aproximação de 1 mm) σ = P = 25 π ( = 1230 kn/m² )² σ cr = 12,3 MPa < σ e = 250 MPa tensão a qual a haste irá flambar é inferior a tensão de escoamento do aço -36 (σ e = 250 MPa), portanto a flambagem ocorre no regime elástico e a fórmula de Euler é válida. 5

6 SOLUÇÃO 13.7 ÁRE π d2 = = π 252 = 90,87 mm² MOMENTO DE INÉRCI π d I = 6 = π 25 6 = mm RIO DE GIRÇÃO r = I = = 6,25 mm 90,87 O raio de giração de seções circulares pode ser calculado de forma mais direta, dividindo o diâmetro por. r = I π d = 6 π d 2 = d r = d = 25 = 6,25 mm COMPRIMENTO EFETIVO K = 1,0 (condição de contorno: "apoiada em roletes") L e = K L = 1,0 500 = 500 mm ÍNDICE DE ESBELTEZ λ = L e r = 500 6,25 = 80 RIGIDEZ FLEXIONL EI x = ( kn/m²) ( m ) = 3,835 knm² CRG CRÍTIC P cr = π2 EI L e ² = π2 3,835 0,5² = 151,0 kn 6

7 TENSÃO CRÍTIC DE FLMBGEM σ cr = π2 E λ² = π ² = 308,3 MPa tensão crítica de flambagem é inferior a tensão de escoamento (350 MPa), assim a flambagem ocorre no regime elástico, portanto a carga máxima que a haste suporta sem sofrer flambagem é 151,0 kn. FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, SOLUÇÃO 13.8 ÁRE = = 2600 mm² MOMENTOS DE INÉRCI (referência em relação à figura: horizontal eixo x; vertical eixo y) I = r 2 d r distância entre cento de gravidade do diferencial da área e eixo de referência I x = y 2 d = I y = x 2 d = ³ = mm ³ = mm coluna possui menor momento de inércia em torno do eixo x (I x ), portanto irá sofrer flambagem em torno do eixo x, desta forma, todas as demais propriedades mecânicas e geométricas da coluna devem ser calculadas em torno do eixo x, já que a coluna apresenta o mesmo comprimento efetivo em x e em y. O raio de giração em x (r x ), o índice de esbeltez em x (λ x ), a flambagem em x, a carga crítica de flambagem em x (P cr,x ), a tensão crítica de flambagem em x (σ cr,x ), devem ser calculados sempre a partir das propriedades em x (I x, r x, λ x, L x, K x, L e,x, P cr,x, σ cr,x ). 7

8 Portanto, se o comprimento efetivo em y (L e,y ) fosse menor por apresentar algum travamento na coluna paralelo ao plano x-z, a flambagem em y (I y, r y, λ y, L y, K y, L e,y, P cr,y, σ cr,y ) também deveria ser verificada. RIO DE GIRÇÃO EM x r x = I x = = 18,20 mm 2600 COMPRIMENTO EFETIVO EM x K x = 0,5 (condição de contorno: "engastada em ambas as extremidades") L e,x = K x L x = 0,5 5,0 = 2,5 m ÍNDICE DE ESBELTEZ λ x = L e,x r x = ,20 = 137,36 RIGIDEZ FLEXIONL EM x EI x = ( kn/m²) ( m ) = 172,33 knm² CRG CRÍTIC CRG LIMITE DE ESCOMENTO ço -36: σ e = 250 MPa P cr,x = π2 EI x L e,x ² = π2 172,33 2,5² = 272,13 kn P e = σ e = ( kn/m²) ( m 2 ) = 650 kn P cr,x = 272,13 kn < P e = 650 kn Portanto a coluna sofrerá flambagem em regime elástico, assim sua carga de trabalho máxima é 272,13 kn. 8