RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 6º CICLO (EEM 6NA) Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul

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1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 6º CICLO (EEM 6NA) Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul

2 Graduação em Engenharia Mecânica Disciplina: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II * EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA. * FLAMBAGEM. AULA 05 * BEER, F. P.; DEWOLF, John T.. Resistência dos Materiais. 4ª ed. São Paulo: McGraw-Hill, * Aula de Resistência dos Materiais UniLins. * Aula de Resistência dos Materiais UNIP. Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul

3 Introdução: Deflexão de vigas por integração. Equação da linha elástica. Flambagem. Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 03

4 Equações da linha elástica Exercício: Pelo processo da integração da linha elástica, determinar: a) Rotação e flecha da seção A b) Rotação e flecha da seção B c) Esboçar a linha elástica F = wa w C A B a M = wa 2 3a Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 04

5 Equações da linha elástica Exercício: Pelo processo da integração da linha elástica, determinar: a) Rotação da seção A b) Rotação da seção B w C A B L/4 M = wl 2 /8 L Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 05

6 Flambagem: Introdução OBJETIVO: Estudar a estabilidade de barras ou colunas submetidas à forças de compressão. CRITÉRIO: Utilização dos critérios de resistência (tensões) e de rigidez (deformações). METODOLOGIA: Fórmula de Euler. Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 06

7 Flambagem: Introdução OBJETIVO: Estudar a estabilidade de barras ou colunas submetidas à forças de compressão. CRITÉRIO: Utilização dos critérios de resistência (tensões) e de rigidez (deformações). METODOLOGIA: Fórmula de Euler. Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 07

8 Flambagem: Critérios RESISTÊNCIA: a tensão atuante na barra ou coluna deve ser menor do que a tensão que o material suporta carregar (σ admissível => ensaio de tração) σ atuante <σ admissível RIGIDEZ: a flecha e a rotação na barra ou coluna deve ser menor do que um valor máximo permitido. y atuante < y admissível => flecha θ atuante <θ admissível => rotação Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 08

9 Flambagem Considerando as barras retas, axialmente comprimidas, verifica-se experimentalmente que sob a ação de carregamentos crescentes pode ser atingido um estado limite, a partir do qual a forma reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente a esse estado limite é dita carga crítica (Pcr), ou carga de Flambagem. Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 09

10 Flambagem P: carga a qual a barra ou coluna está sujeita. Pcr: carga crítica, ou seja, valor de carga que a barra ou coluna suporta. Momento da barra ou coluna flambada, ou seja, já deformada: M = P.y =>Não flamba => Flamba Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 10

11 Flambagem: Fórmula de Euler Em princípio, a determinação das flechas das barras para cargas superiores à carga crítica exige que se empregue a expressão exata da equação diferencial da linha elástica.. Adotando-se que:.. Portanto:. 0 Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 11

12 Flambagem: Fórmula de Euler Raízes da Equação diferencial:.. Condições de contorno: Para x=0 => y=0 Portanto: B=0 Para x=l => y=0 Portanto: º,360º.... (primeira carga que flamba a peça) Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 12

13 Flambagem: Fórmula de Euler Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 13

14 Flambagem: Fórmula de Euler Para diferentes condições de contorno, obtém-se a expressão geral da fórmula de Euler: Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 14

15 Flambagem: Fórmula de Euler Comprimentos de Flambagem => Dependem do tipo de apoio: Barra com dois apoios (fixos ou móveis): le = 1 x l Barra com apenas um engastamento: le = 2 x l Barra com um apoio e um engastamento e uma borda livre: le = 0,7 x l Barra com dois engastamentos: le = 0,5 x l le = comprimento de flambagem l = comprimento da barra Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 15

16 Flambagem: Fórmula de Euler Fórmula geral de Euler:.. As expressões anteriormente consideradas admitem implicitamente a existência de um comportamento elástico linear do material da barra. Isso será verdade enquanto a tensão crítica de compressão σ crit for inferior ao limite de proporcionalidade do material. Tensão crítica de flambagem: í Á çã Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 16

17 Flambagem: Fórmula de Euler... çã â é.. Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 17

18 Flambagem: Fórmula de Euler... λ í. λ í Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 18

19 Flambagem: Fórmula de Euler Quando: Regime Elástico, a formulação de Euler é válida. No Regime Plástico: A formulação de Euler não é válida, portanto, devem ser utilizadas outras teorias como Shanley: 0,046. λ ). NOTA: A Flambagem sempre ocorre no eixo y e sempre no menor Momento de Inércia (I ou J). Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 19

20 Flambagem: Fórmula de Euler Momento de Inércia: O momento de inércia representa na Engenharia Industrial, a resistência aos esforços proporcionada pela geometria da seção transversal da estrutura. Nos cálculos de flambagem, não havendo restrição lateral à flambagem deve-se utilizar o menor momento de inércia da seção transversal da barra, ou seja, a barra irá falhar segundo a direção do menor momento de inércia. Foi enviado juntamente com a aula o formulário da UNICAMP dos momentos de inércia das seções de barras/ colunas mais comumente utilizadas. Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 20

21 Flambagem: Fórmula de Euler Momento de Inércia: Exemplos. Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 21

22 Flambagem: Fórmula de Euler Conforme se mostra na figura, a fórmula de Euler é válida para λ > λ limite, pois nesse caso a flambagem se dá dentro do regime elástico. σ cr σ admissível λ limite Quando λ < λ limite, a barra é menos esbelta, e σ cr > σ admissível (Tensão de escoamento do material - limite elástico). Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 22

23 Flambagem: Roteiro 1) Achar a força de compressão P; 2) Achar o menor momento de inércia da peça; 3) Calcular o raio de giração da peça; 4) Calcular o comprimento de flambagem (le); 5) Calcular o índice de esbeltez da peça (λ); 6) Compararλcomλ limite ;. 7) Seλ>λ limite => usar Euler (calcular carga e tensão atuante); 8) Se λ < λ limite => usar outras teorias (calcular carga e tensão atuante); 9) Calcular a carga máxima admissível; 10) Comparar a carga máxima atuante com a carga máxima admissível. Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 23

24 Exercícios: 1) Achar a força de compressão P que causa flambagem nas colunas demonstradas nas figuras: P Secção transversal 5 cm P 15 cm a) b) 3 cm 0,5 cm Material: ASTM A7 σ esc = 2400 kgf/cm 2 σ pr = 1900 kgf/cm 2 E = 2,1 x 10 6 kgf/cm 2 CS = 3 Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 24

25 Exercícios: 2) Um edifício alto terá no térreo uma coluna maciça de concreto armado com 1,80 m de diâmetro, sendo sua base engastada em uma fundação profunda e articulado a uma viga na extremidade superior. A coluna foi calculada à compressão para uma tensão admissível de 20 MPa e deseja-se obter um coeficiente de segurança à flambagem igual a 3,0. Para estas condições pede-se o cálculo da altura da coluna. Dado: E = 300 tf/cm 2. 3) Um pilar retangular com 1 m x 3 m, foi calculado à compressão para uma tensão admissível de 16 MPa e é bi-articulado. Calcular a altura do mesmo para um fator de segurança à flambagem igual a 2,5. Dado: E = 270 tf/cm 2. Grace Kelly Quarteiro Ganharul 2013 Slide 25

26 Graduação em Engenharia Mecânica Disciplina: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II * EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA. * FLAMBAGEM. AULA 05 * BEER, F. P.; DEWOLF, John T.. Resistência dos Materiais. 4ª ed. São Paulo: McGraw-Hill, * Aula de Resistência dos Materiais UniLins. * Aula de Resistência dos Materiais UNIP. Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul