(NBR 8800, Tabela C.1)

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1 CE Estabilidade das Construções II FESP Faculdade de Engenharia São Paulo Prof. Douglas Pereira Agnelo Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. Nome: Matrícula ORIENTAÇÕES PARA PROVA Avaliação: A1 Data: 13/abr/ 15 Duração: 85 minutos a b c Os símbolos a, b e c são os três últimos algarismos da matrícula no formato xxabc e devem ser utilizados nas dimensões (das cargas, elementos, comprimentos, etc.) para resolução das questões da prova. Para a = adotar a = 1; para b = adotar b = 1; para c = adotar c = 1; a = b = c = 1 a QUESTÃO (valor: 3, pontos) Escolha o PERFI GERDAU AÇOMINAS MAIS EVE para a viga metálica abaixo de acordo com o critério de deslocamentos excessivos conforme NBR 88. Unidades SI. Deslocamento limite: δ lim = (NBR 88, 8. Tabela C.1) 35 Módulo de elasticidade: E = MPa (NBR 88, 8. Item.5..9.a) Módulo de elasticidade transversal: G = 77 MPa (NBR 88, 8. Item.5..9.c) ` a QUESTÃO (valor: 3, pontos) Pela Analogia de Mohr, determine o diagrama de momentos fletores (máximos positivos e negativos) da viga de inércia constante abaixo. Unidades SI. Dados do Concreto C5: E = GPa (NBR 6118, 1 Tabela 8.1) G = 1 GPa (NBR 6118, 1 item 8..9) 1

2 3 a QUESTÃO (valor:, pontos) Analise o semi-pórtico abaixo pelos Teoremas de Energia e determine: i) Energia interna (energia de deformação) levando em consideração TODOS os esforços internos; (, pontos) ii) Deflexão no ponto C. (, pontos) Dados: Módulo de elasticidade E = GPa Módulo de elasticidade transversal G = 77 GPa Fator de forma para seções tubulares fc = 1,875 Unidades SI.

3 FORMUÁRIOS TABEA DE DEFEXÕES Deflexão Rotação Equação da inha Elástica (Fonte - HIBBEER, R. C. Structural Analysis, Pearson 8.ed, 11) TABEA DE CONVERSÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DA VIGA REA PARA VIGA CONJUGADA Fórmulas de Energia Interna e Externa U i = M(x) dx + f c V(x) dx + N(x) EI GA EA dx + M T(x) dx GJ U e = F δ 3

4 BITOA mm x kg/m W 15 x 13, W 15 x 18, W 15 x,5 (H) W 15 x, W 15 x 9,8 (H) W 15 x 37,1 (H) W x 15, W x 19,3 W x,5 W x W x 31,3 W x 35,9 (H) W x 1,7 (H) W x 6,1 (H) W x 5, (H) HP x 53, (H) W x 59, (H) W x 71, (H) W x 86, (H) W 5 x 17,9 W 5 x,3 W 5 x 5,3 W 5 x 8, W 5 x 3,7 W 5 x 38,5 W 5 x,8 HP 5 x 6, (H) W 5 x 73, (H) W 5 x 8, (H) HP 5 x 85, (H) W 5 x 89, (H) W 5 x 11, (H) W 5 x 115, (H) W 31 x 1, W 31 x 3,8 W 31 x 8,3 W 31 x 3,7 W 31 x 38,7 W 31 x,5 W 31 x 5, HP 31 x 79, (H) HP 31 x 93, (H) W 31 x 97, (H) W 31 x 17, (H) HP 31 x 11, (H) W 31 x 117, (H) HP 31 x 15, (H) W 36 x 3,9 W 36 x 39, W 36 x, W 36 x 51, W 36 x 57,8 W 36 x 6, W 36 x 7, W 36 x 79, W 36 x 91, (H) W 36 x 11, (H) W 36 x 11, (H) W 36 x 1, (H) W 1 x 38,8 W 1 x 6,1 W 1 x 53, W 1 x 6, W 1 x 67, W 1 x 75, W 1 x 85, W 6 x 5, W 6 x 6, W 6 x 68, W 6 x 7, W 6 x 8, W 6 x 89, W 6 x 97, W 6 x 16, W 53 x 66, W 53 x 7, W 53 x 7, W 53 x 8, W 53 x 85, W 53 x 9, W 53 x 11, W 53 x 19, W 61 x 11, W 61 x 113, W 61 x 15, W 61 x 1, W 61 x 155, W 61 x 17, TABEA DE BITOAS ESPESSURA EIXO X - X EIXO Y - Y ESBETEZ Massa inear d b f t w t f h d Área I x W x r x Z x I y W y r y Z y r t I t MESA - λ f AMA - λ w C w u BITOA kg/m mm mm mm mm mm mm cm cm 3 cm cm cm cm 3 cm cm cm cm cm b f /tf d /t w 6 cm m/m in x lb/ft , 18,,5, 9,8 37,1 15, 19,3,5 31,3 35,9 1,7 6,1 5, 53, 59, 71, 86, 17,9,3 5,3 8, 3,7 38,5,8 6, 73, 8, 85, 89, 11, 115, 1, 3,8 8,3 3,7 38,7,5 5, 79, 93, 97, 17, 11, 117, 15, 3,9 39,, 51, 57,8 6, 7, 79, 91, 11, 11, 1, 38,8 6,1 53, 6, 67, 75, 85, 5, 6, 68, 7, 8, 89, 97, 16, 66, 7, 7, 8, 85, 9, 11, 19, 11, 113, 15, 1, 155, 17, ,3 8,1,3 6, 6, 6, 7, 7, 7,9 11,3 9,1 1, 13,,8 6,1 6, 6,1 7,6 1,5 8,6 9, 1, 1,7 11,9 13,5 5,1 5,6 6, 7,6 11, 13,1 9,9 1,9 15, 11,9 17, 6,5 6,9 7, 7,9 7,7 8,6 9, 9,5 1,5 11, 13, 6, 7, 7,5 7,7 8,8 9,7 1,9 7,6 8, 9,1 9, 9,9 1,5 11, 1,6 8,9 9, 9,7 9,5 1,3 1, 1,9 11,6 1,5 11, 11,9 13,1 1,7 1,,9 7,1 1,3 9,3 11,6 5, 6,5 8, 8, 1, 1, 11,8 11, 1,6 11,3 1, 17,,6 5,3 6,9 8, 1, 9,1 11, 13, 1,7 1, 15,6 1, 17,3 19,6,1 5,7 6,7 8,9 1,8 9,7 11, 13, 11, 13,1 15, 17, 15,5 18,7 17, 8,5 1,7 9,8 11,6 13,1 13,5 15,1 16,8 16, 18,3 19,9 1,7 8,8 11, 1,9 1,8 1, 16, 18, 1,8 13,3 15, 1,5 16, 17,7 19,,6 11, 1,9 13,6 13,3 16,5 15,6 17, 18,8 1,9 17,3 19,6, 19, 1, , 9, 31,5 38,5 7,8 19, 5,1 9, 3,,3 5,7 53,5 58,6 66,9 68,1 76, 91, 11,9 3,1 8,9 3,6 3,1 9,6 57,6 79,6 9,7 11,9 18,5 113,9 18,7 16,1 7, 3,7 36,5,1 9,7 57, 67, 1, 119, 13,6 136, 11, 19,9 159,,1 5, 57,7 6,8 7,5 81,7 91,3 11, 115,9 19,5 1,6 155,3 5,3 59, 68, 76, 86,3 9 18,6 6 76, 87,6 9,9 1,7 11,1 13, 135,1 83,6 91,6 95,1 1,5 17,7 117,6 13, 139,7 13,3 15,3 16,1 179,3 198,1, Características Dimensionais e Propriedades Geométricas de Acordo com a norma ASTM A6/A6M. 8 1,8 161,7 173, 1,5 77, 13,5 166,1 197, 5,3 31,7 3, 1, 7,6 51, 88, 58,8 79, 855,7 18,6 31, 7, 311, 38,7 6, 538, 79,6 889,9 98,5 966,9 1.95,1 1.38,8 1.6,7 9, 85, 356, 19,8 553,6 638,8 751, 1.91,3 1.99,1 1.7, 1.597, , , ,6 79, 585,3 696,5 81, 91,8 1.31,1 1.15,5 1.83, 1.515, ,3 1.81,9.16,5 6,5 778,7 99,7 1.66,7 1.3, , , 99,8 1.17,6 1.3,7 1.6, 1.615, , ,7.88,6 1.33, 1.55,5 1.58,9 1.81, ,3.69,7.316,5.9,5.55,.91, 3.1,3 3.65,5.1,7.797, 6,18 6,3 6,51 3 6,7 6,85 8, 8,19 8,37 8,73 8,86 8,67 8,77 8,81 8,9 8,55 8,99 9,17 9,6 9,96 1,9 1,31 1,51 1,83 11,5 11,15 1,7 11, 11,1 1,6 11,18 11,7 11,38 11,77 11,89 1,8 1,9 13,1 13, 13,33 1,77 1,85 13,3 13,9 1,97 13,56 13,5 1,9 1,35 1,58 1,81 1,9 1,8 1,86 1,98 15,19 15,9 15,36 15,35 15,9 16,7 16,55 16,88 16,91 16,98 17,7 17,91 18,35 18,6 18,77 18,8 18,98 19,3 19,,6,89,76 1,3 1,1 1,65 1,87 1,9,31,6,89 5,6 5,58 5,75 96, 139, 179,6 197,6 7,5 313,5 17,9 19,6,5 8,3 338,6 379, 8,6 95,3 57,5 551,3 655,9 83, 98, 11, 67,7 311,1,3,5 517,8 66,3 79,5 983,3 1.88,7 1.93, 1., 1.395, 1.597, 91,9 333, 1, 85,3 615, 71,8 8,5 1.1,1 1.5,3 1.59, 1.768, 1.73,6 1.95, ,3 57,6 667,7 78,3 899,5 1.1,8 1.15,5 1,85,9 1.37, 1.68, ,9.59,3.69,8 736,8 891,1 1.5, 1.1,5 1.36, , ,7 1.95,9 1.9,1 1.95, 1.657, 1.836,.19,.187,.39, , 1.755,9 1.8,9.58,5.99,8.359,8.6,.87,.9,7 3.31, ,3.173,1.79, , ,,7 5,9 35,9 7,6 91,8 17,,7 7,9 9,6 61, 9,6 18,5 151, 17,9 161,7 199,1 6,3 3, 18,1,1 9,3 3,8 6,8 8,8 95,1 3, 35,5 338,3 35, 378, 31,8 9,6 19,5,9 31, 37,6 88,1 13, 1,9 33,7 1,7 77,8 53,9 97,3 587,9 565,6 5,9 58,6 95,7 113,3 19, 185,7 9,8 35,7 353, 397,1 35, 78, 57,7 73, 11, 135, 15,1 173, 199,3 83,5 1,1 1, 17,8 195, 18, 3 59,3 13,9 156, 15,5 19,1 15, 7,6 56,5 79,8 58,8 3,5 33,5 39,6 665,6 761,5,,3 3,65,1 3,8 3,8,1,1, 3,1 3,19,9,1 5,1 5,16,96 5,18 5,3 1,99,6,1, 3,35 3,6 3,5 6,13 6,7 6,51 6, 6,5 6,57 1,9 1,9,8,13 3,8 3,87 3,91 7,5 7,3 7,68 7,7 7,39 7,76 7,5,63,73 3,77 3,87 3,9,8,8,89 6, 6,5 6,9 6,9,83,95 3,8 3,98,,3,8 3,9 3,3 3,8,18,,8,3,3 3,, 3,31,1 3,,5,55,6,76,86,96 5, 7,38 7,5 5,5 38,5 77,9 5 11,8 1, 7,3 35,9 3,9 76,3 9, 11, 165,7 9,5 6 8,6 33, 37,5 58,7 8,8 38, 6, 5,9 99,7 1,1 16,,8 63,1 513,1 99,6 57,3 656,3 75,7 31, 36,9 9, 59,8 13,9 158, 188,8 55, 635,5 75, 86,1 763,7 893,1 87,6 7, 91,9 18, 17,7 199,8 8,5 31,8 361,9 538,1 66,1 66,5 73, 9,9 115, 176,9 9, 39, 69,1 31, 131,7 163, 19, 71,3 33,3 339, 368,8 5,7 166,,6,1 3,7 1,6 35,7,6 37, 5, 69,7 536,3 61, 1,6 1171,1,6,69,1,73,18,,55,59,63 3,5 3,6,5,53 5,58 5,61 5,57 5,6 5,7 5,77,8,5,58,6 3,86 3,93 3,96 6,89 7,1 7, 7, 7,6 7,1 7,16,,5,55,58,38,1,5 8, 8,6 8,38 8,1 8,33 8, 8,38 3, 3,7,3,9,53 5, 5,7 5,51 6,9 6,93 6,96 6,98 3,9 3,55,56,65,67,7,7 3,79 3,89 3,93,93,96 5,1 5,3 5,5, 5,16,1 5,31,17 5,36 5, 5, 5,76 9 5,9 8,53 8,58 1,7,3,75 11,8 1,95,58,5, 6,18 7,65 1,59 1,51 3,19,1 33,3 31,93 7,69 81,66 1,19,5,77 7,6 1,3 1, 17,63 7,1 33,6 56,9 75, 8,7 1,81 17,7 1, 3,7,65 8,1 1,91 13, 19,9 31,81 6,7 77,33 9,1 1,86 15,66 161,61 177,98 9, ,7,65 3,5,57 61,18 8,1 9,61 18,7 161,93 1,7 11,69,6 3,38 33,78 8,11 65,1 9,8 1,79 3,6 5,9 5,97 7,6 9,9 115,5 18,19 31,5 33,1 7,39 51,3 7,93 75,5 16, 131,38 81,68 116,5 159,5,1,77 86,88 1, 7,18 11,5,95 8,3 9,6 7,85 6,38 7,9 6,57 8,9 7,3 9,3 8,1 9,16 7, 5,9 5,7 9,53 7,39 6,7 5,1 8, 6,56 5,69 11,96 8,9 8,17 9,3 7, 6,56 6 8,86 7,5 5,73,7 8,51 7,1 6,33 13,91 11,76 9,9 9, 1, 8,1 8,97 7,7 5,98 8,7 7,37 6,56 7,5 6,75 6,1 7,7 6,97 6,3 5,9 7,95 6,5 8,1 6,95 6, 5,63,97 7, 5,75 5, 6,55 5,97 5,,71 7, 9,5 6,1 7,86 5,3 6,7 6,3 5,61 7,65 6,59 5,18 8,53 7,5 7,9,8,8 17,8 17,9 1,67 39, 9,31 7, 9,3 6,5 5,9 1,86,36 19,85 1,8 17,3 1 1,6 5,9 37,97 36,1 3,38 36,3 33,7 8,95 19,1 3,33 1,36 13,97 18,8 16,87 1,87 53,5 8,5 5, 1,1 6 1, 35,61,7 18,69,77,8 15,91,55 1,9 53,1 7,3,7,75 38,96 37, 33,7 3,68 3,3 7,8,1 5 5,9 7,63 6,,59 36,8 3,7 53,1 5,55,,89,81 38, 35, 3,5 53,73 53,13 9,6 5,5 6,1 6,8 3,1,7 51,5 8,3 5,5 1,7,6 38, ,67,69,88,69,9,91,77,79,79,9,93 1,3 1, 1,19 1,19 1, 1, 1, 1,3,88,89,89,9 1,7 1,8 1,9 1,7 1,8 1,9 1,5 1,5 1,51 1,53,98,99 1, 1, 1,5 1,6 1,7 1,77 1,78 1,79 1,8 1,8 1,8 1,81 1,17 1,18 1,35 1,36 1,37 1,6 1,7 1,8 1,68 1,68 1,69 1,7 1,3 1,33 1,8 1,9 1,5 1,51 1,5 1,7 1,9 1,5 1,6 1,6 1,65 1,66 1,67 1,67 1,8 1,68 1,85 1,69 1,86 1,86 1,87,7,8,9,1,7,8 W 6 x 8,5 W 6 x 1 W 6 x 15 W 6 x 16 W 6 x W 6 x 5 W 8 x 1 W 8 x 13 W 8 x 15 W 8 x 18 W 8 x 1 W 8 x W 8 x 8 W 8 x 31 W 8 x 35 HP 8 x 36 W 8 x W 8 x 8 W 8 x 58 W 1 x 1 W 1 x 15 W 1 x 17 W 1 x 19 W 1 x W 1 x 6 W 1 x 3 HP 1 x W 1 x 9 W 1 x 5 HP 1 x 57 W 1 x 6 W 1 x 68 W 1 x 77 W 1 x 1 W 1 x 16 W 1 x 19 W 1 x W 1 x 6 W 1 x 3 W 1 x 35 HP 1 x 53 HP 1 x 63 W 1 x 65 W 1 x 7 HP 1 x 7 W 1 x 79 HP 1 x 8 W 1 x W 1x 6 W 1 x 3 W 1 x 3 W 1 x 38 W 1 x 3 W 1 x 8 W 1 x 53 W 1 x 61 W 1 x 68 W 1 x 7 W 1 x 8 W 16 x 6 W 16 x 31 W 16 x 36 W 16 x W 16 x 5 W 16 x 5 W 16 x 57 W 18 x 35 W 18 x W 18 x 6 W 18 x 5 W 18 x 55 W 18 x 6 W 18 x 65 W 18 x 71 W 1 x W 1 x 8 W 1 x 5 W 1 x 55 W 1 x 57 W 1 x 6 W 1 x 68 W 1 x 73 W x 68 W x 76 W x 8 W x 9 W x 1 W x 117

5 SOUÇÕES QUESTÃO 1 A partir do método da superposição, a deflexão é obtida pela somatória das deflexões geradas por cada carregamento, ou seja, pela somatória das linhas elásticas de cada carregamento. Para os dois carregamentos, o ponto de deflexão máxima ocorre no mesmo ponto, portanto: δ máx = P3 8EI 5w 38EI Como foi imposto que a deflexão máxima não pode ser superior a deformação limite, então: δ lim = P3 = 35 8EI 5w 38EI Isolando a inercia podemos determinar a inércia necessária que o perfil deve possuir para não ultrapassar a deflexão limite: I nec = 35 E (P w 38 ) = 35 E ( P 8 + 5w 38 ) Com a inércia necessária já calculada, deve ser escolhido o perfil que apresenta o menor peso e a inércia igual ou superior a valor da inércia necessária. Para exemplificar usaremos a matrícula Nesse caso as dimensões são: 5

6 Neste caso a inércia necessária é: I nec = 35 E ( P 8 + 5w 35 7,5 ) = ( 8 I nec = 898,1 cm Os seguintes perfis apresentam inércia superior a 898,1 cm : 5 5, 7,5 + ) = 8, m 38 BITOA MASSA INEAR Ix mm x kg/m kg/m cm⁴ W x 86, (H) HP 31 x 11, (H) HP 31 x 15, (H) HP 31 x 79, (H) HP 31 x 93, (H) W 5 x 11, (H) W 5 x 115, (H) W 5 x 73, (H) W 5 x 8, (H) W 5 x 89, (H) W 31 x 17, (H) W 31 x 117, (H) W 31 x,5, W 31 x 5, W 31 x 97, (H) 97 8 W 36 x 11, (H) W 36 x 11, (H) W 36 x 1, (H) W 36 x 39, W 36 x, 18 W 36 x 51, 51 1 W 36 x 57,8 57, W 36 x 6, W 36 x 7, W 36 x 79, W 36 x 91, (H) W 1 x 38,8 38, W 1 x 6,1 6, W 1 x 53, W 1 x 6, W 1 x 67, W 1 x 75, W 1 x 85, W 6 x 16, W 6 x 5, W 6 x 6, W 6 x 68, W 6 x 7, W 6 x 8, W 6 x 89, W 6 x 97, W 53 x 11, W 53 x 19, W 53 x 66, W 53 x 7, W 53 x 7, W 53 x 8, W 53 x 85, W 53 x 9, W 61 x 11, W 61 x 113, W 61 x 15, W 61 x 1, W 61 x 155, W 61 x 17, Portanto, o perfil mais leve que possui inércia necessária é o W 1 x 38,8. 6

7 QUESTÃO Pela Analogia de Mohr, temos o seguinte carregamento da viga conjugada: A partir do equilíbrio à rotação em B da viga conjugada temos: R C c + ( q 8EI 3 ) (M B EI ) 3 = A partir do equilíbrio à rotação em A da viga conjugada temos: R C c EI + q3 M B 6 = (1) R c C + ( q 8EI 3 ) + (q 8EI 3 ) 3 (M B EI ) 3 (M B EI ) 3 = Igualando o termo R C c EI das equações (1) e () temos: R C c EI + q3 1 M B = () q3 + M B 6 = q3 1 + M B M B = q 8 Para equilíbrio a rotação em B da viga real, temos: R A (q) + q 8 = Posição do momento máximo: R A = 3q 8 V(x) = 3q 8 qx 7

8 = 3q 8 qx x = 3 8 Momento máximo positivo: M máx = ( 3q ) 1 = 9q 18 Portanto o diagrama de momentos é: Para a matrícula 1856 temos: 8

9 QUESTÃO 3 Para exemplificar usaremos a matrícula 1783: Propriedade geométricas: Rigidezes: π d A = I = Diagramas de esforços internos: = π (, (,,1) ) = 6, m π d 6 = π (, (,,1) ) = 3, m 6 EI = 1 6 3, = 78,6 knm GA = , = 591 kn EA = 1 6 6, = kn 9

10 Energia interna: U i = M(x) dx + f c V(x) dx + N(x) EI GA EA dx + M T(x) dx GJ U i =,5 ( x) 78,6 dx +,5 ( 5),5,5 78,6 dx 1,875 (,) dx (,) dx U i = 1, , , U i = 8, knm Deslocamento em C é obtido a partir do Princípio de Conservação de Energia:, δ U e = U i = 8, δ = 8, m = 8,57 mm 1