Exercício 4. Universidade de São Paulo Faculdade de Arquitetura e Urbanismo. PEF Estruturas na Arquitetura Sistemas Reticulados

Transcrição

1 Universidade de São Paulo Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Exercício 4 PEF Estruturas na Arquitetura Sistemas Reticulados Grupo 09 Felipe Tinel Gabriela Haddad Lais de Oliveira Marina Ioshii Milena Uyeta

2

3 A estação de trem em Saint Denis, em Paris, possui uma cobertura cuja estrutura pode ser simplificada de acordo com o desenho abaixo. O sistema representado abaixo repete-se com um afastamento d = 10 + (nm/10) = ,9 = 10,9 m. Esse sistema plano possui um mastro tubular engastado na base que sustenta duas estroncas horizontais estaiadas. As estroncas são reforçadas por montantes que aumentam sua altura estrutural e fazem com que ela funcione como uma viga-vagão. As extremidades das estroncas são vinculadas ao solo por meio de freios, os quais se opõem ao carregamento ascendente. Conforme enunciado, o material do teto possui peso específico w = 0,20 kn/m² e o vento exerce sobre a cobertura uma pressão (ascendente ou descendente) p = 0,80 kn/m². Para os cálculos manuais, considerou-se a carga descendente uniformemente distribuída q = (p + w).d = (0,20 + 0,80).10,9 = 10,9 kn/m, ou seja, a carga pela área (w + p), vezes a área de influência de cada sistema (d) agindo sobre as duas estroncas. Obviamente, a área de influência dos sistemas das extremidades é metade de 10,9 kn/m. O dimensionamento realizado foi para o sistema mais carregado. As estruturas estaiadas são intrinsecamente hiperestáticas, e sua resolução é bastante complicada. Para podermos dimensioná-la, devemos, primeiramente, simplificar o modelo e admitir que o tabuleiro é rígido. Sendo assim, a carga uniformemente distribuída que age sobre cada uma das estroncas é 10,9 kn/m, o que é mecanicamente equivalente a uma força pontual de 10,9.18 = 196,2 kn aplicada no meio de cada estronca. Essa estrutura, por se hiperestática, apresenta mais incógnitas que equações de equilíbrio e, portanto, exigem a consideração adicional de equações de compatibilidade de deformação. Para tanto, considera-se que o tabuleiro só pode girar em torno da articulação. Determina-se que o ângulo de rotação θ desse tabuleiro é bem menor que um, ou seja, muito pequeno. Consequentemente sen θ θ e cos θ 1. Dessa maneira, podemos desconsiderar as componentes horizontais do deslocamento do tabuleiro. Em decorrência dessas hipóteses, tem-se a seguinte fórmula: (N i. l i ) / (E i. A i. a i. sen α i ) = tg θ, constante. Ou seja, para n estais, temos (n-1) relações desse tipo, o que permite a resolução das estruturas estaiadas.

4 Cálculo das Normais nos Cabos e Pré-dimensionamento Estais da esquerda Modelo simplificado l 1 = ( ) = 22,20 sen α 1 = 0,59 e cos α 1 = 0,81 l 2 = ( ) = 17,69 sen α 2 = 0,73 e cos α 2 = 0,68 l 3 = ( ) = 22,20 sen α 3 = 0,91 e cos α 3 = 0,42 Equação de Equílibrio de Momento Fletor Convenção: positivo o sentido anti-horário ΣM (B) = (-196,2) 3a/2 + (N 3. sen α 3 ) a + (N 2. sen α 2 ) 2a + (N 1. sen α 1 ) 3a = 0 0,91.N 3 + 1,46.N 2 + 1,77.N 1 = 294,3 [1] Equações de Compatibilidade de Deformação N 2 = (2a. sen α 2. l 3 ) N 3 / (a. sen α 3. l 2 ) N 2 = (2. 0,73. 14,32) N 3 / (0,91. 17,69) N 2 = 1,30 N 3 [2] N 1 = (3a. sen α 1. l3) N 3 / (a. sen α 3. l 1 ) N 1 = (3. 0,59. 14,32) N 3 / (0,91. 22,20) N 1 = 1,25 N 3 [3]

5 Substituindo [2] e [3] em [1], temos: 0,91 N 3 + 1,46 (1,30 N 3 ) + 1,77 (1,25 N 3 ) = 294,3 0,91 N 3 + 1,898 N 3 + 2,2125 N 3 = 294,3 5,0205 N 3 = 294,3 N 3 = 58,62 kn N 1 = 73,27 kn N 2 = 76,21 kn Estais da direita Modelo simplificado l 4 = ( ) = 16,16 sen α 4 = 0,93 e cos α 4 = 0,37 l 5 = ( ) = 19,21 sen α 5 = 0,78 e cos α 5 = 0,62 l 6 = ( ) = 23,43 sen α 6 = 0,64 e cos α 6 = 0,77 Equação de Equílibrio de Momento Fletor Convenção: positivo o sentido anti-horário ΣM (C) = 196,2. 3a/2 - (N 4. sen α 4 ) a - (N 5. sen α 5 ) 2a - (N 6. sen α 6 ) 3a = 0 0,93.N 4 + 1,56.N 5 + 2,31.N 6 = 294,3 [4] Equações de Compatibilidade de Deformação N 5 = (2a. sen α 5. l 4 ) N 4 / (a. sen α 4. l 5 ) N 5 = (2. 0,78. 16,16) N 4 / (0,93. 19,21) N 5 = 1,41 N 4 [5] N 6 = (3a. sen α 6. l 4 ) N 4 / (a. sen α 4. l 6 ) N 6 = (3. 0,64. 16,16) N 3 / (0,93. 23,43) N 6 = 1,42 N 4 [6] Substituindo[5] e [6] em [4], temos: 0,93 N 3 + 1,56 (1,41 N 4 ) + 2,31 (1,42 N 4 ) = 294,3 0,93 N 4 + 2,20 N 4 + 3,28 N 4 = 294,3

6 6,41 N 4 = 294,3 N 4 = 45,91 kn N 5 = 64,74 kn N 6 = 65,20 kn Pré-dimensionamento σ adm = 200 MPa (tensão admissível) Estais e freios Trabalham a tração. Seção circular (A = π.d 2 /4). Tração máxima: N máx = N 2 = 76,21 kn σ adm N 2 / A estais A estais 76,21 x 10 3 / 200 x 10 6 A estais 3,8105 x 10-3 m 2 Portanto, ESTAIS e FREIOS: A estais = mm 2 e d = 22,03 mm Matro, estroncas e montantes de reforço Trabalham a compressão. Seção circular (A = π.d 2 /4 e I = π.d 4 /64) Todo o carregamento descendente é suportado pelo mastro, uma vez que os freios trabalham a tração. Sendo assim, a reação de apoio no ponto F é igual à somatória do carregamento vertical. A compressão máxima da estrutura ocorre no trecho CF (maior compressão e maior comprimento). Portanto, N 7 = 2.196,2 = 392,4 kn. Conforme enunciado, o mastro e a estronca têm a mesma seção transversal e a seção transversal dos montantes de reforço corresponde à metade da área da seção do mastro. - Resistência ao esmagamento σ adm N 7 / A barras A barras 392,4 x 10 3 / 200 x 10 6 A barras 1,962 x 10-3 m 2 = 1962 mm 2 e d 49,98 mm - Resistência à flambagem Admitiu-se: E = 210 GPa (módulo de elasticidade do aço) s = 2,0 (coeficiente de segurança) l f = 6,0 m (comprimento de flambagem) N 7 P crít /s e P crít = π.e.i / l 2 f π. 210 x π. d 4 / ,4 x d 4 392,4 x / π x 10 9 d 4 8,724 x 10-4 d 0,1719 m Portanto MASTRO e ESTRONCAS: A mastro = 23197,41 mm 2 e d mastro = 171,86 mm MONTANTES DE REFORÇO: A montantes = 11598,06 mm 2 e d montantes = 121,52 mm

7 Com esse pré-dimensionamento, a estrutura foi modelada no programa FTool e submetida a três tipos de carregamento: 1. q 1 = (w + p).d descendente sobre as duas estroncas q 1 = 10,9 kn/m e P 1 = 32,7 kn kn kn kn kn kn kn kn kn O diagrama de esforços solicitantes das forças normais indicava compressão nos freios e nos montantes de reforço das estroncas, os quais deveriam estar tracionados. Tal diagrama estava, portanto, incorreto já que essas barras estavam roubando carga de outras barras. Assim, para obtermos resultados mais confiáveis, deletamos os freios e os montantes e geramos um novo diagrama knm kn kn kn Diagrama de esforços solicitantes Forças Normais antes da retirada dos freios e dos montantes

8 32.70 kn kn kn kn kn kn kn kn Modelo da estrutura depois da retirada dos freios e dos montantes kn Diagrama de esforços solicitantes Forças Normais depois da retirada dos freios e dos montantes

9 kn Diagrama de esforços solicitantes Forças Cortantes depois da retirada dos freios e dos montantes kn Diagrama de esforços solicitantes Momentos Fletores depois da retirada dos freios e dos montantes

10 kn Deformada Observamos que os cabos estão tracionados e as estroncas e o mastro comprimidos, como era de se esperar. Como foi calculado, a compressão da barra CF vale -392,4 kn (somatória dos esforços aplicados). Duas barras (2 e 5) ficam sujeitas a uma tração superior à considerada no pré-dimensionamento e, portanto, serão redimensionadas mais adiante. Vemos no diagrama de momentos que o carregamento gera nas estroncas momentos fletores que tracionam suas fibras inferiores. A deformada acima mostra as estroncas fletidas e os cabos tracionados. Além disso, percebe-se que a deformada da estrutura tende para a esquerda, uma vez que o mastro não é reforçado nesse lado, apenas no outro.

11 2. q 2 = (p w).d ascendentes sobre as duas estroncas q 2 = 6,54 kn/m e P 2 = 39,24 kn Como no caso anterior, foi necessário deletar alguns componentes da estrutura para obter um resultado mais confiável do programa FTool. Dessa vez, excluímos todos os cabos que estavam comprimidos ao invés de tracionados. Embora os freios também estivessem comprimidos, não foi possível deletá-los, pois são essenciais para a estabilidade da estrutura knm kn kn kn Diagrama de esforços solicitantes Forças Normais antes da retirada dos cabos

12 Modelo da estrutura depois da retirada dos cabos kn Diagrama de esforços solicitantes Forças Normais depois da retirada dos cabos

13 kn Diagrama de esforços solicitantes Forças Cortantes depois da retirada dos cabos kn Diagrama de esforços solicitantes Momentos Fletores depois da retirada dos cabos

14 kn Deformada Como observamos no novo diagrama de esforços normais, os freios estão tracionados, uma vez que os esforços são ascendentes. Nenhuma normal excedeu o dimensionamento. Como no caso anterior, há momentos fletores nas estroncas, mas agora as fibras superiores são as tracionadas. Com relação à deformada, é curioso notar que a estrutura não tende para nenhum dos lados.

15 3. q 3 = (p-w).d ascendente sobre a estronca esquerda q 3 = 6,5 kn/m e P 3 = 39,24 kn q 3 = w.d descendente sobre a estronca direita q 3 = 2,18 kn/m e P 3 = 13,08 kn 6.54 kn kn kn 6.54 kn Mais uma vez, retiramos as barras comprimidas da estrutura para obter os diagramas e esforços solicitantes mais confiáveis. Nenhuma normal excedeu o dimensionamento knm kn Diagrama de esforços solicitantes Forças Normais antes da retirada dos cabos kn kn

16 6.54 kn kn kn 6.54 kn Modelo da estrutura depois da retirada dos cabos Diagrama de esforços solicitantes Forças Normais depois da retirada dos cabos

17 Diagrama de esforços solicitantes Forças Cortantes depois da retirada dos cabos Diagrama de esforços solicitantes Momentos Fletores depois da retirada dos cabos

18 Deformada Esse caso combina os efeitos dos dois carregamentos anteriores. O lado direito, que apresenta cargas descendentes, tem as fibras superiores das estroncas tracionadas e deforma para baixo, e o lado esquerdo, que apresenta cargas ascendentes, tem as fibras inferiores da estronca tracionadas e deforma para cima. Como no primeiro caso, a estrutura penderia para a esquerda, mas as força ascendentes nesse lado anulam essa deformação, aumentando a estabilidade do sistema. Redimensionamento dos cabos Seção circular (A = π.d 2 /4). Nova tração máxima: N máx = N 2 = 87,21 kn σ adm N 2 / A estais A estais 87,21 x 10 3 / 200 x 10 6 A estais 4,3605 x 10-3 m 2 Portanto, ESTAIS e FREIOS: A estais = mm 2 e d estais = 22,03 mm