equipe26 pef2602 estruturas na arquitetura II: sistemas reticulados

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1 pef2602 estruturas na arquitetura II: sistemas reticulados exercício02 outubro/2009 equipe26 flaviobragaia gisellemendonça leonardoklis natáliatanaka steladadalt

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3 sobre o exercício passo-a-passo de resolução da treliça Para o dimensionamento da estrutura é necessário calcular as forças normais que atuam em cada um dos elementos componentes da treliça. Para isso, optou-se pelo método do quilíbrio dos Nós para se definir as forças atuantes em cada barra. ste método parte do pressuposto de que a resultante em cada nó é zero, ou seja, o conjunto de forças atuantes em um nó se anula. partir disso é possível definir, através das partes, a estrutura como todo. Para que este método seja aplicável, é necessário garantir que a treliça é isostática, o que se pode fazer com um simples balanço de variáveis, no qual a soma do número de barras ao número de reações de apoio deve resultar no dobro do número de nós. m seguida, calculam-se as reações de apoio em função da estrutura e do carregamento em questão. om preferência aos nós com duas incógnitas, isolam-se e equilibram-se os nós de maneira estratégica de modo a definir-se todas as forças normais com o menor número de operações. Neste caso é necessário observar que, após definidos os trechos H e H, se definem também os trechos,, e, conforme se observará em seguida. pós calculadas as forças normais, é necessário dimensionar as barras tendo atenção ao coeficiente de segurança e à flambagem, presente nas barras que sofrem compressão. P = carga do veículo suspenso pelo guindaste (força vertical para baixo, a partir do nó H) = 10 + n n = = 14 P = = 24 kn modelo esquemático modelo no ftool H I decomposição das forças inclinadas

4 cálculos manuais reações de apoio verificação de apoios 2n = b + r 2 9 = = 18 cálculo das reações de apoio HI + H + 19,2 19,2 HI + H! HI kn (da equação do nó I) H kn V M VI + V = 48! VI = 54,86 kn (da equação abaixo) V = V = 6,86 kn 38, , ,2 7 + VI 7 614, ,8 134,4 7 + VI 7 VI = 54,86 kn

5 cálculos manuais método dos nós sen! = 12/20 = 3/5 cos! = 16/20 = 4/5 sen " = 12/15 = 4/5 cos " = 9/15 = 3/5 _nó H 19,2 + N2 cos! + N1 cos" 19,2 + N2 4/5 + N1 3/5 4 N2 + 3 N1 = 96 * N2 = ( N1)/4! N1 = 68,57 kn (da subtração de equações abaixo) N2 = [ ( 68,57)]/4 N2 = 27,43 kn V 38,4 N2 sen! N1 sen" 38,4 N2 3/5 N1 4/5 3 N2 + 4 N1 = 192 * * 3 N2 + 4 N1 = N2 + 3 N1 = 96! 12 N N1 = N2 + 9 N1 = 288! (subtração de equações) 7 N1 = 480 N1 = 68,57 kn Para nós sem carga e forem alinhadas, as fo iguais e, na terceira ba N1 = N4 = N8 = 68, N2 = N6 = N10 = 27,4 N3 = N5 = N7 = N9 =

6 cálculos manuais método dos nós _nó I _nó HI kn N13 cos45º + H! H kn N13!2/2 N13 kn V N14 + N13 sen45º + V N14 6,86 N14 = 6,86 kn _nó N11 + N8 cos" + N13 cos45º! N13 cos45º ; pois N13 N11 = 68,57 3/5 N11 = 41,14 kn V N12 + N8 sen" N13 sen45º! N13 sen45º ; pois N13 N ,57 4/5 N12 = 54,86 kn Para nós sem carga externa, se duas barras forem alinhadas, as forças normais nestas são iguais e, na terceira barra, é nula. Portanto: N1 = N4 = N8 = 68,57 N2 = N6 = N10 = 27,43 N3 = N5 = N7 = N9

7 cálculos manuais dimensionamento tabela com resultados força carga (kn) tração/ compressão N 1 68,6 compressão N 2 27,4 tração N 3 0 N 4 68,6 compressão N 5 0 N 6 27,4 tração N 7 0 N 8 68,6 compressão N 9 0 N 10 27,4 tração N 11 41,1 tração N 12 54,9 tração N 13 0 N 14 6,9 tração Observa-se nessa estrutura que 5 das 14 barras não estão submetidas a forças normais e poderiam, portanto, serem retiradas. ntretanto, estas barras são fundamentais para a redução das seções das barras que sofrem compressão. Tomando por exemplo o trecho H, submetido a compressão e composto por três trechos menores, poderia ser substituído por uma única barra. Porém, como a relação entre comprimento da barra e dimensão da seção transversal é diretamente proporcional segundo a verificação de segurança contra a flambagem, esta barra única teria uma seção muito superior àquela aqui calculada. Para o dimensionamento da estrutura, é necessário estudar as barras submetidas às maiores forças de tração e compressão. São as barras N1 e N11. s barras comprimidas serão calculadas com seção quadrada, e as tracionadas com seção circular. dados! = 380 MPa = 38 kn/cm 2 s = 2 = 210 Pa = MPa = kn/cm 2 TMÁX = N11 = 41,1 kn MÁX = N1 = 68,6 kn cabos que sofrem tração_seção circular (" d 2 /4): N11 / #! / s 4 N11/" d 2 # 38/2 d 2 $ 8 N11/" 38 d 2 $ 8 41,1/" 38 d 2 $ 2,76 d! 1,66 cm aso fosse necessário adotar somente uma dimensão para todas as barras da estrutura, pode-se adotar a dimensão obtida por meio dos cálculos para cabos que sofrem compressão, já que esse é o resultado que prevê a maior seção necessária (ou mínima possível) ou seja, as barras teriam seção quadrada, de lado a = 6,68 cm ou, se arredondarmos, a = 7 cm. cabos que sofrem compressão_seção quadrada (a 2 ): N1 / #! / s N1/a 2 # 38/2 a 2 $ N1 2/38 a 2 $ 68,6 2/38 a 2 $ 3,61 a! 1,90 cm flambagem N1 # " 2 / L 2 s! L = 5 m = cm \\ = b h 3 /12 = a 4 /12 68,6 # " (a 4 /12) / ( ) 2 2 a 4 $ 68, / " a 4 $ 1985,89 cm a! 6,68 cm

8 diagramas ftool força normal e força cortante força normal H I Os resultados obtidos pelo ftool confirmam os dos cálculos manuais. les também revelam a diferença que o sistema de polia faz sobre os esforços da estrutura: no caso onde há polia, ou seja, há forças de tensão da corda atuando nos nós H e, as forças normais nas barras por onde a corda passa (trecho H) são bem menores do que se não houvesse a polia. lém disso, o diagrama nos mostra que as barras, e H são tensionadas na mesma intensidade, assim como as barras,, H são comprimidas, seguindo a regra que diz que se duas barras são alinhadas e não há cargas externas as forças nessas duas barras são iguais, enquanto na terceira a força é nula. No diagrama observa-se que as barras da direta são tensionadas e da esquerda comprimidas, enquanto as centrais não possuem forças normais, com exceção da barra que é comprimida. Logo, o apoio responde com uma força vertical negativa, devido à tensão, enquanto no apoio I a força vertical é positiva, já que há compressão. força cortante H Pelo diagrama de força cortante e momento fletor percebe-se que treliças com cargas pontuais nos nós são submetidas apenas a força normal, não apresentando nenhum outro esforço. I

9 diagramas ftool momento fletor e deformada momento fletor H O diagrama do ftool revela que o momento fletor em todas as barras é nulo. sse resultado já era esperado, afinal, como não há força cortante agindo na estrutura, consequentemente também não há momento. I deformada H H I I Observa-se que a deformada da treliça com ou sem polia é a mesma. s barras se mantêm retas, pois elas só apresentariam concavidade caso houvesse flambagem. omo o dimensionamento foi feito com segurança, elas apenas sofrem encurtamento/alongamento imperceptíveis e deslocamento. Na treliça analisada, a estrutura tende a girar no sentido anti-horário e na parte superior há mais deformação devido à carga. ssim, observa-se que apesar das barras, e H, do mesmo modo que, e H respondem a forças normais de mesma intensidade, cada barra se desloca em um ângulo diferente.

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11 sobre o exercício passo-a-passo de resolução da treliça omo no caso anterior, escolheu-se trabalhar esta estrutura através do método de quilíbrio dos Nós. ntretanto, neste caso há a presença de forças distribuídas. Isso significa definir forças equivalentes pontuais que se aplicarão sobre os nós para o correto dimensionamento da estrutura. q = carga distribuída agindo sobre o painel (força horizontal para a direita, aplicada nos nós e = q e = 2q) = n n = = 14 q = 14 kn 2q = 28 kn modelo esquemático modelo no ftool

12 cálculos manuais reações de apoio verificação de apoios 2n = b + r 2 7 = = 14 cálculo das reações de apoio V M H + H H + H = 56! H = 7 kn (da equação do nó ) H + 7 = 56 H = 63 V + V 28 V + V = 28! V = 126 kn (da equação abaixo) V = V = 98 kn V 2 V = 126 kn

13 cálculos manuais método dos nós Observa-se que, como no caso anterior, os apoios são fixos, o que garante que todas as barras funcionem como estrutura bi apoiada. O carregamento distribuído foi dividido em dois trechos e então definiram-se os carregamentos pontuais equivalentes em função dos nós sobre os quais se apóia. Isto proporcionou o correto dimensionamento das forças normais às barras e das seções das mesmas. Os esforços horizontais são distribuídos através da estrutura para os dois apoios. É interessante observar que esta geometria faz com que o apoio recebe muito mais esforço horizontal que o apoio. sen! = 1/!5 =!5/5 cos! = 2/!5 = (2/5)!5 sen " = 2/!5 = (2/5)!5 cos " = 1/!5 =!5/5 _nó _nó 14 + N2 sen! N2 = 14 5/!5 N2 = 14 5!5/5 N2 = 14!5 N2 = 31,3 kn V N3 = 28 kn N4 = N1 N4 V 28 + N1 + N2 cos! 28 + N1 14!5 cos! N1 = 28 ( !5/5) N1 = ,99 N1! N1! 0

14 cálculos manuais método dos nós _nó _nó N2 cos! + N3 + N5 sen" = N6 sen" 31,3!5/ N5!5/5 = N6!5/5 (N6 N5)!5/5 = 31,3!5/5 28 N6 N5 = 31,3 28!5 N6 N5 = 93,9! N5 = 31,3 N6 (da equação abaixo) N6 ( 31,3 N6) = 93,9 2 N6 = 125,2 N6 = 62,6 kn V N6 cos" + N7 + N10 cos" 62,6!5/5 + N7 + N10!5/5 N7 + N10!5/5 = 62,6!5/5! N10 = 62,6 kn N7 = 56 kn (da equação abaixo) N6 sen" = N10 sen" 62,6 sen" = N10 sen" N10 = 62,6 kn V N2 sen! = N5 cos" + N6 cos" 31,3 2!5/5 = N5 2!5/5 + N6 2!5/5 N5 + N6 = 31,3 N5 = 31,3 N6! N6 = 62,6 kn N5 = 31,3 ( 62,6) (da equação acima) N5 = 31,3 kn _nó _nó N8 sen! = N5 cos" + N7 + N9 cos" + 14 N8!5/5 = 31,3!5/ N9!5/ N8!5/5 = 84 + N9!5/5 H + N9 cos! = N10 cos! H = 62,6!5/5 + 78,3!5/5 H = 7 kn N8 = 84!5 + N9 N8 = 187,8 + N9! N9 = 31,3 N8 (da eq N8 = 187,8 + (31,3 N8) (da equação abaixo) 2 N8 = 219,1 N8 = 109,5 kn V N4 + N5 sen! = N9 sen! + N8 sen! N9 + N8 = 31,3 N9 = 31,3 N8! N8 = 109,5 kn (da equação acima) N9 = 78,2 Kn

15 cálculos manuais dimensionamento tabela com resultados força carga (kn) tração/ compressão N 1 0 N 2 31,3 compressão Nesta estrutura, as barras N8 e N9 são as que as que estão submetidas às maiores forças normais e em função destas é que foram dimensionadas as demais barras. Optou-se por barras de seção quadrada para as barras que sofrem compressão e por seção circular para as que sofrem tração. N 3 28 compressão N 4 0 N 5 31,3 tração N 6 62,6 compressão N 7 56 tração N 8 109,5 tração N 9 78,2 compressão N 10 62,6 compressão dados! = 380 MPa = 38 kn/cm 2 s = 2 = 210 Pa = MPa = kn/cm 2 TMÁX = N8 = 109,6 kn MÁX = N9 = 78,3 kn cabos que sofrem tração_seção circular (" d 2 /4): N8 / #! / s 4 N8/" d 2 # 38/2 d 2 $ 8 N8/" 38 d 2 $ 8 109,5/" 38 d 2 $ 7,34 d! 2,71 cm cabos que sofrem compressão_seção quadrada (a 2 ): N9 / #! / s N9/a 2 # 38/2 a 2 $ N9 2/38 a 2 $ 78,3 2/38 a 2 $ 4,12 a! 2,03 cm flambagem N9 # " 2 / L 2 s! L =!5 m =! cm \\ = b h 3 /12 = a 4 /12 78,3 # " (a 4 /12) / (! ) 2 2 a 4 $ 78, / " a 4 $ 453,34 cm a! 4,61 cm ssim como no anterior, pode-se adotar a dimensão obtida por meio dos cálculos para cabos que sofrem compressão como o valor adotado para todas as barras, já que esse é o resultado que prevê a maior seção necessária (ou mínima possível) ou seja, as barras teriam seção quadrada, de lado a = 4,61 cm ou, se arredondarmos, a = 5 cm.

16 diagramas ftool força normal e força cortante força normal No caso das forças normais, o gráfico obtido pelo ftool comprova que o carregamento distribuído pode ser reduzido a cargas pontuais sem que haja alteração de resultado. O modelo eletrônico também confirma os valores obtidos pelo cálculo manual feito anteriormente. Quanto ao diagrama, observa-se que a estrutura tende a girar no sentido horário de modo que as barras no trecho,, e são comprimidas, e, conseqüentemente, no apoio a resultante vertical é positiva. esse modo, o apoio responde com uma força vertical negativa, afinal, com o movimento horário, o trecho, imediatamente atrelada a ele, está sendo tracionado. s barras mais solicitadas são exatamente as conectadas aos apoios, principalmente a. Já o treco responde a nenhum esforço normal. força cortante O diagrama de forças cortantes revela que no caso de apenas cargas pontuais nos nós, a estrutura responde como o esperado, ou seja, não há esforços cortantes. Porém, quando há um carregamento distribuído em algum trecho, há também solicitação no mesmo. esse modo, no diagrama deste último caso, observa se que há forças cortantes entre, mas ela não passa pelo nó, assim ela varia de +14KN a -14KN entre e. sse tipo de solicitação, apesar de não ser ideal para as estruturas de treliças, pode eventualmente ocorrer, por exemplo, quando há ventos.

17 diagramas ftool momento fletor e deformada momento fletor ssim como os diagramas de forças cortantes, os de momento fletor demonstram que há diferenças entre cargas pontuais apenas e carregamentos distribuídos. No primeiro não há momentos solicitantes em nenhuma barra, como esperado, enquanto no segundo as barras e há. Nesse diagrama também se observa que os esforços são absorvidos pelo nó, assim são divididos em dois trechos. ssim há dois pontos críticos: o centro das duas barras submetidas ao momento fletor. deformada deformada da estrutura evidencia a tendência de giro no sentido horário. s barras da treliça só apresentam concavidade no quando de estas recebem carregamento distribuído, que conseqüentemente geram momentos fletores como já observado anteriormente. Neste caso, a concavidade é para o exterior da estrutura (já que as fibras internas são tracionadas, enquanto as externas, comprimidas). Quando não há carregamento distribuído, as barras só sofrem deslocamento e alongamento/encurtamento, afinal são submetidas apenas a forças normais de tração ou compressão.