CAPÍTULO VII FLEXÃO PURA

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1 1 CAPÍTULO VII FLEXÃO PURA I. VIGAS CARREGADAS TRANSVERSALMENTE Uma viga é um elemento linear de estrutura que apresenta a característica de possuir uma das dimensões (comprimento) muito maior do que as outras duas (dimensões da seção transversal). A linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais constituise no eio longitudinal da peça, e dizemos que uma viga é carregada transversalmente quando suas cargas são perpendiculares à este eio. Sabemos que uma viga que tem cargas perpendiculares ao seu eio, desenvolve em suas seções transversais solicitações de Momento Fletor (M) e Esforço Cortante (Q), sendo o Fletor responsável pela fleão e o Esforço Cortante responsável pelo cisalhamento da viga. O Esforço Cortante tem muitas vezes uma influência desprezível no comportamento da peça e podemos, com a finalidade acadêmica, despreza-lo, estudando o efeito da fleão isolada. Note-se que estamos cometendo uma aproimação ao estudarmos a fleão isolada. Na prática, temos a obrigação de pelo menos verificar o efeito do esforço Cortante. Feitas estas considerações, podemos iniciar classificando a fleão em: FLEXÃO PURA - Desprezado o efeito do Esforço Cortante FLEXÃO SIMPLES - Momento Fletor e Esforço Cortante considerados. Sabemos também que a posição do carregamento em relação à posição da seção transversal da peça deve ser analisada.

2 2 Convencionando por e y os eios principais centrais de inércia da seção transversal da viga (temos condições de determinar estes eios e também os momentos de inércia que à eles correspondem). Vamos chamar de Plano de Solicitações (PS) ao plano onde se desenvolvem as solicitações, que corresponde ao plano do carregamento. A posição deste plano pode ser a mais diversa possível, e devemos comparar esta posição com a posição dos eios principais centrais de inércia da seção transversal. Podemos obter as seguintes situações: PS contém eio y PS contém eio PS não contém nenhum eio principal central de inércia da seção De acordo com estas observações podemos classificar a fleão em: RETA - Ocorre quando o Plano de Solicitações contém um dos eios principais centrais de inércia da seção ( ou y), que está representada nos dois primeiros eemplos. OBLÍQUA - Ocorre quando o Plano de Solicitações é desviado em relação aos eios principais centrais de inércia da seção, representada no terceiro eemplo. A classificação definitiva para a fleão ficaria:

3 3 II. FLEXÃO PURA RETA É o caso mais simples e o mais comum de fleão. Podemos ainda dizer que na fleão o natural é o Plano de Solicitações vertical pois é o plano que contém as cargas peso. Vamos iniciar o nosso estudo por um caso simples de uma viga de seção transversal retangular, e sujeita a cargas peso, conf. abaio:,y - eios principais centrais de inércia da seção retangular z - eio longitudinal da peça. Isolando o trecho compreendido entre as seções S 1 e S 2 podemos com a observação tirar diversas conclusões que nos levam a conhecer o funcionamento de uma peça sujeita à fleão. Conclusões: 1. No eemplo citado as fibras de baio se alongaram, e isso nos diz que deve haver uma tensão normal de tração capaz de provocar este alongamento. 2. As fibras de cima se encurtaram e o fizeram porque houve uma tensão normal de compressão que as encurtou. 3. Eiste uma linha na seção transversal na altura do eio longitudinal constituída por fibras que não alongaram e nem encurtaram, nos fazendo concluir que nesta linha não eiste tensão normal. Chamamos esta linha de LINHA NEUTRA (LN) e neste eemplo ela coincide com o eio, que é principal central de inércia da seção transversal retangular.

4 4 Numa fleão reta a LN é sempre um dos eios principais centrais de inércia da seção: PS contendo eio y? LN coincide com o eio PS contendo eio? LN coincide com o eio y Numa fleão reta LN e PS são sempre perpendiculares entre si. OBS: A Linha Neutra (LN) representa fisicamente o eio em torno do qual a seção gira. 4. Quanto mais afastada for a fibra da LN maior será a sua deformação e conseqüentemente maior será a tensão que lhe corresponde (lei de Hooke). A. TENSÕES NORMAIS DESENVOLVIDAS Vamos adotar para a formação da epressão que nos permite calcular as tensões normais desenvolvidas em uma seção transversal, o seguinte eemplo: - Viga de seção retangular (bh), onde os eios principais centrais de inércia são os eios de simetria (,y). - Plano de Solicitações verticais (cargas peso). notações e convenções:? - Tensões Normais : (+) tração (-) compressão J - Momento de inércia da seção em relação ao eio, principal central de inércia (pci). M - Momento Fletor atuante na seção transversal devido à ação das cargas (+) traciona as fibras da parte de baio da seção transversal (-) traciona as fibras de cima y - ordenada genérica da fibra considerada, ou seja, da fibra para a qual se quer calcular as tensões normais.

5 5 Conhecido o funcionamento da peça e as grandezas que influem em seu funcionamento à fleão podemos simplesmente montar uma equação que nos permita calcular a tensão normal desenvolvida nos diversos pontos que constituem a seção em estudo:?y = M J. y Observando esta epressão, podemos notar que a tensão desenvolvida depende diretamente do momento fletor que atua na seção (responsável pela tendência de giro), e é inversamente proporcional ao momento de inércia da seção, o que se eplica, pois o momento de inércia representa fisicamente resistência ao giro. A tensão também é diretamente proporcional a ordenada y, que representa a distância da fibra em que se deseja calcular a tensão até a linha neutra, ficando de acordo com a lei de Hooke (proporcionalidade entre tensão e deformação), pois as deformações crescem com a distancia à Linha Neutra. OBS: 1. Esta epressão nos permite calcular a tensão normal desenvolvida devido ao momento fletor em qualquer ponto de qualquer seção da viga considerada. 2. Se tivéssemos eemplificado com o Plano de Solicitações horizontal, as seções girariam em tôrno do eio y e a epressão ficaria: y?. y = M J B. TENSÕES NORMAIS EXTREMAS (MÁX. E MÍN) As máimas tensões de tração e de compressão ocorrem nos pontos mais afastados da Linha Neutra, porque são nestes pontos que a deformações são máimas(lei de Hooke). Para facilitarmos o cálculo das tensões normais máimas, vamos dividir a nossa peça em duas categorias:

6 6 1. Peças Simétricas em relação ao eio : E: Seção Retangular Observe que em peças simétricas a distancia da fibra mais tracionada e da fibra mais comprimida até a Linha Neutra é igual à metade da altura total da peça (h/2)? mát = M J. y mát? mác = M J. y mác y mát =?y mác? = h/2 então:?mát =??mác? 2. Seções não simétricas em relação ao eio : E: Seção "T" Nestes casos?ymác?? ymát então:? mát??? mác? OBS: Nas seções não simétricas as convenções devem ser observadas com cuidado pois a simples inversão de qualquer sentido ou sinal torna os resultados diferentes dos observados na prática.

7 7 C. MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (W) Por definição, módulo de resistência à fleão é a relação entre o momento de inércia da seção em relação à um eio e a distância do ponto mais afastado da seção àquele eio. Como estamos eemplificando o caso de cargas verticais em que o eio de rotação (LN) é, teríamos: W = J y má Podemos substituir este conceito na epressão que nos dá a tensão máima e teríamos:?má = M J. ymá ou?má = M W Note-se que não se faz distinção entre y mát e y mác, portanto a utilização prática desta constante se dá no cálculo da tensão máima em peças simétricas, onde eles são iguais. Muitas vezes, em peças comerciais, o valor do módulo de resistência à fleão é tabelado. Se estivéssemos tratando do caso de Momento Fletor em torno do eio y (rotação em torno de y), a epressão ficaria: Jy My Wy =?má = má W ] y D. SEÇÕES E POSIÇÕES MAIS CONVENIENTES A melhor forma para a seção transversal de uma viga sujeita à fleão é aquela que tem grande parte de sua área em regiões o mais afastadas possíveis de sua LN. E: Para uma mesma seção, ou seja, para um mesmo material empregado, nós podemos aproveita-lo da melhor forma possível, ou na melhor posição possível, fazendo uma simples análise do seu módulo de resistência à fleão.

8 8 E 1: Qual a forma mais conveniente para ser utilizada em uma viga sujeita à fleão, optando-se entre uma seção quadrada e outra circular, ambas de mesma área? E 2: Qual a posição mais conveniente de uma seção retangular b B, para servir como seção transversal de uma viga, sujeita à fleão (PS vertical) EXERCÍCIOS: 1. Uma viga de seção retangular cm suporta um momento fletor positivo de 20 kn.m. A peça é construida com material que apresenta? T = 18 MPa e? C = 32 MPa. Determine o coeficiente de segurança desta viga. R: 2,7 2. Projetar uma peça com seção retangular com altura igual ao dobro da base para servir como viga conforme a figura abaio. A viga será construida com material dútil que apresenta tensão deescoamento de 400 MPa. Despreze o esforço cortante e adote segurança 2,5. R: b? 9,5 cm h? 19 cm

9 9 3. Determine a medida "b" da seção transversal da viga da figura abaio. A viga deve resistir ao carregamento indicado com segurança 5. O material apresenta :?T = 8 kn/cm 2??C? = 16 kn/cm 2 R: b?33,31 cm 4. Calcular o coeficiente de segurança para a viga abaio. O material é frágil e apresenta:? T = 200 MPa?? C? = 300 MPa R: 2,34 5. A viga da figura deve ser construida com material dútil que apresenta tensão de escoamento de 300 MPa. A seção transversal deve ser uma coroa circular de Re = 2.Ri. Dimensione-a com segurança 3. R: Re = 5,14 cm

10 10 6. Determinar o máimo valor possível para a carga "q" à fim de que a peça abaio de seção retangular cm resista ao carregamento indicado com segurança 3. Dados:?T = 30 MPa??C? = 120 MPa s = 3 R: q? 26,67 kn/m 7. A viga da figura é construida com material frágil e tem seção transversal constante, retangular e vasada, com as dimensões indicadas. Calcule o máimo valor para a carga P possível à fim de que se tenha coeficiente de segurança 3. Dados:? T? 20 kn / cm 2? C? 40 kn / cm 2 R: P? 10,38 kn 8. Determine o máimo valor posível para a acarga P da estrutura abaio à fim de que ela trabalhe com segurança 2. Dados:? t =50 MPa?? c? = 70 MPa R: 2,86 kn.

11 11 9. Determine o coeficiente de segurança da viga abaio, sendo dados do material:? T = 10 kn/cm 2?? C? = 15 kn/cm 2