VIGAS. Figura 1. Graus de liberdade de uma viga no plano

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1 VIGS 1 INTRODUÇÃO viga é um dos elementos estruturais mais utiliados em ontes, assarelas, edifícios rincialmente ela facilidade de construção. Qual a diferença entre a viga e a barra de treliça? Uma viga ode ser eemlificada or meio de uma barra horiontal que, aoiada em seus etremos e submetida a forças transversais, tem seu eio deformado verticalmente, ou seja, a configuração geométrica de seu eio se modifica. forma de carregamento da viga fa com que ela seja solicitada, reonderantemente, elo momento fletor e ela força cortante. Por outro lado, as barras de treliças são solicitadas aenas or forças normais de tração ou comressão, desde que atendidas as hióteses que ermitam considerar seus nós como ideais. Em alguns casos, as vigas também odem ser solicitadas aialmente. DETERINÇÃO GEOÉTRIC DS VIGS s vigas têm características geométricas semelhantes aos elementos que constituem as treliças (barras), ois uma das dimensões é muito suerior às outras duas. Cada barra, analisada bidimensionalmente, tem três graus de liberdade ara se movimentar no lano (duas translações e uma rotação). Esses deslocamentos odem ser evitados or meio de aoios eternos e de ligações entre as barras. Figura 1. Graus de liberdade de uma viga no lano 3 VÍNCULOS EXTERNOS (POIOS) lém dos tios de aoios definidos anteriormente nas aulas sobre treliças (aoios móvel e fio), as vigas também odem ser vinculadas eternamente or meio de engastes. Enquanto o aoio móvel retira um grau de liberdade do elemento (um translação) e o aoio fio retira dois graus de liberdade (duas translações), o engaste retira três graus de liberdade, ois, além de evitar os 1/1

2 deslocamentos de translação, também imede a rotação do elemento nesse onto. Nesse caso, odem surgir três reações de aoio no engaste: duas forças e um momento. Rv Rh Rh Rv oio móvel oio fio Rh Rv Engaste Figura. Tios de aoio e reações 4 ESFORÇOS SOLICITNTES E VIGS s vigas são solicitadas, redominantemente, elo momento fletor e ela força cortante. Em algumas situações, também oderão estar solicitadas ela força normal ou elo momento fletor. 4.1 Cálculo das reações de aoio Para avaliar os esforços solicitantes nas vigas, inicialmente é necessário determinar as reações de aoio, o que será feito de maneira análoga ao caso das treliças. Os aoios devem ser substituídos elas reações que os mesmos odem roorcionar, sendo os valores das reações de aoio determinados or meio das três equações de equilíbrio: F F Tomando-se, como eemlo, o caso de uma viga simlesmente aoiada com um carregamento constituído or uma viga uniformemente distribuída, tem-se: i /1

3 B Rh L L Rv L/ L/ RvB Figura 3. Graus de liberdade de uma viga no lano ós a substituição dos aoios elas reações, em seu diagrama de coro livre odem ser alicadas as equações de equilíbrio: + F 0 RH L 0 L RVB L 0 RVB F 0 RV + RVB L 0 RV L L 4. Convenção de sinais ara os esforços momento fletor e força cortante O momento fletor () é considerado ositivo quando traciona o lado de baio da viga. força cortante (V) é considerada ositiva quando ercorre o elemento no sentido horário. Figura 4 mostra os sentidos adotados como ositivos ara esses esforços. força normal (N) é considerada ositiva se for de tração. comressão tração V V Figura 4. Sentidos ositivos ara o momento fletor () e a força cortante (V) 4.3 Determinação dos esforços solicitantes Para se determinar o valor dos esforços solicitantes em uma determinada seção da viga, basta efetuar um corte nesta seção, searando a estrutura em duas artes. Na seção cortada estarão os esforços solicitantes, aos ares, devido ao efeito de ação e reação (3ª lei de Newton). 3/1

4 L/ L/4 S 3L/4 L/ L/4 L/8 3L/4 3L/8 L/ L/4 Vs s s Vs 3L/4 L/ Figura 5. omento fletor e força cortante na seção S nalisando o equilíbrio de um dos lados, or eemlo, a arte à esquerda, odem ser obtidos os valores de s e de V s, conforme segue: L L + F 0 Vs 0 Vs 4 L 4 L L L L 3L + s 0 s 0 s força normal foi omitida do desenho, tendo em vista que seu valor é nulo, ois não eistem forças alicadas na direção do comrimento da barra. 4.4 Diagramas de esforços solicitantes Os diagramas de esforços solicitantes são gráficos que aresentam uma visão global dos esforços ara todas as seções do elemento estrutural. Uma das maneiras de serem desenhados é or meio da análise de uma seção transversal situada em uma osição genérica do elemento. Por eemlo, adotando uma coordenada a artir do aoio esquerdo da viga, e analisando a arte à esquerda de uma seção situada distante desse aoio, como mostra Figura 4, odem ser obtidas as equações dos esforços: 4/1

5 / L/ S L/ L/ V() () Figura 6. omento fletor e força cortante na seção S distante do aoio à esquerda L L F + 0 V ( ) 0 V ( ) Ou seja: V L ( ) L + 0 ( ) 0 ( ) s Que ode ser simlificado em: ( ) ( L ) L Figura 7 ilustra a reresentação gráfica dessas equações. No caso da força cortante, indicase o sinal do esforço. No caso do momento fletor, isto não será necessário, ois é usual desenhar o diagrama da região tracionada da viga. É imortante observar que as equações ara os esforços devem ser definidas or trechos, nos quais o carregamento ode ser descrito or uma única função. análise de viga da Figura 8 ilustra o rocedimento a ser seguido. Nesse caso, eistem 3 trechos a serem analisados. No rimeiro, ( variando no intervalo entre e B), o carregamento ode ser descrito ela função constante (). No trecho seguinte (BC), o carregamento ode ser descrito ela função () 0. No último trecho (CD), teremos a mesma função () 0. 5/1

6 L/ L L/ V + L²/8 Figura 7. Diagrama de esforços ara duas situações de carregamento F B C D () V() B () V() F () B C V() Figura 8. nálise dos esforços em diferentes trechos 6/1

7 LIST de EXERCÍCIOS 7/1

8 5 TENSÕES NS VIGS Neste item serão estudadas as tensões normais (σ ) e as tensões tangenciais (τ ), também denominadas de tensões de cisalhamento, que ocorrem nas vigas sujeitas a um carregamento. enas os casos de elementos que aresentam seção transversal simétrica serão analisados. Pode-se classificar a fleão, em relação aos esforços atuantes, da seguinte maneira: Fleão ura: quando só eiste a atuação do momento fletor (o esforço normal e o esforço cortante são nulos); Fleão simles: quando ocorre a atuação simultânea do momento fletor e do esforço cortante (o esforço normal é nulo); Fleão comosta: quando ocorre a atuação simultânea do momento fletor e do esforço normal. Pode-se também classificar a fleão de acordo com a direção de alicação dos esforços em relação ao eio de simetria de viga (Figura 9): Fleão normal: quando o lano de atuação do momento fletor contém um dos eios rinciais de inércia da seção transversal; Fleão oblíqua: quando o lano de atuação do momento fletor não contém um dos eios rinciais de inércia da seção transversal. C C a) b) Figura 9. a) Fleão normal; b) Fleão oblíqua 8/1

9 Na maioria das situações usuais de vigas, a solicitação é to tio fleão normal simles, objeto de estudo neste teto. Os eios, e estão osicionados no centróide C da seção transversal, de modo que o eio está orientado na direção do comrimento da viga. 5.1 Estudo das tensões normais Considere a viga submetida à fleão em torno do eio (observe que o momento fletor atua no lano ). viga aresenta deformações devido à ação de forças eternas e ode intuir que sua face inferior sofre alongamentos, enquanto que a face suerior sofre encurtamentos. Isto sugere que a arte inferior da barra se encontra tracionada e arte suerior comrimida, ou seja, na arte inferior ocorrem tensões normais de tração e na arte suerior ocorrem tensões normais de comressão. d Figura 10. Barra solicitada or fleão simles Isolando um trecho com comrimento d da viga, conforme mostrado na Figura 11 e, considerando que as seções transversais ermanecem lanas aós a deformação, observa-se que as deformações das fibras são roorcionais à sua distância ao eio, bem como as tensões normais (como conseqüência da Lei de Hooke: σ E. ε ). Pode-se concluir que as tensões normais são roorcionais à cota do onto onde atuam, isto é, ocorre uma distribuição linear de tensões na seção transversal (Figura 11). O local da seção transversal onde as tensões normais são nulas é conhecido or linha neutra (LN). No caso da fleão simles, a linha neutra é coincidente com os ontos onde 0. s forças F c e F t são as resultantes das tensões normais de comressão e tração, resectivamente, e d a distância entre elas. 9/1

10 σ σ Fc d d d d Ft Figura 11. Distribuição linear de tensões normais Na forma de equação a distribuição linear de tensões é equivalente a: σ c. (c é uma constante) Para se obterem os valores das tensões normais é necessário determinar o valor da constante c e a origem do eio e, conseqüentemente, dos eios e. Para essa finalidade serão feitas duas deduções, a artir de condições de equilíbrio: a) força resultante das tensões normais que atuam na seção deve ser nula, ou seja, N0: σ. d c.. d c.. d N F F 0 t c Como a constante c deve ser diferente de ero, conclui-se que. d 0, o que só ocorre quando a origem do eio for o centróide da seção transversal. ssim, a origem do sistema de coordenadas será o centróide da seção transversal (Figura 9). b) O momento resultante das tensões normais que atuam na seção deve estar em equilíbrio com o momento fletor atuante (): σ.. d c... d F. d F. d c.. d c t O momento de inércia da seção transversal, em relação ao eio (I) é uma característica geométrica e seu valor deende da forma e das dimensões da seção: Pode-se obter o valor da constante c: I. d c. I c I Conclui-se que o valor da tensão normal em um onto qualquer da seção (com ordenada ) será dado ela equação: 10/1

11 σ c. σ I. Pode-se observar que os ontos mais solicitados da seção transversal são aqueles mais distantes da linha neutra, isto é, os que aresentam os maiores valores de. Para efeito de dimensionamento da seção transversal, o objetivo é determinar a máima tensão atuante. σ ma I ma W Define-se, então, outra característica geométrica da seção transversal chamada de módulo de resistência à fleão em relação ao eio (W ): W I ma Cabe ressaltar que ao se analisar a fleão em torno do eio, aarece no equacionamento aresentado o arâmetro I, denominado momento de inércia à fleão (em torno em ), e de fundamental imortância ara a obtenção dos níveis de tensões normais ao longo da seção. De modo análogo, também ode ser calculado o I, quando se considera a fleão em torno do eio. 11/1

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