RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

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1 Terceira Edição CAPÍTULO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Análise de Tensões no Estado Plano Capítulo 6 Análise de Tensões no Estado Plano 6.1 Introdução 6. Estado Plano de Tensões Transformações do Estado Plano de Tensões 6.3 Tensões Principais 6.4 Tensões Máima de Cisalhamento 6.5 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões 6.6 Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas 6 -

2 6.1 Introdução O estado de tensões em um ponto pode ser representado por 6 componentes,,, z tensão normal, z, z tensão de cisalhamento (Note que:,, ) z z z z O mesmo estado de tensão é representado por um conjunto diferente de componentes, se os eios são rotacionados. Nosso objetivo aqui é verificar as transformações de tensão no elemento, a partir de uma rotação nos eios coordenados e em seguida, fazer a mesma análise para a transformação das deformações Estado Plano de Tensões Estado Plano de Tensões situação onde duas das faces do cubo elementar estão isentas de tensões. Consideremos o eio z como perpendicular a estas faces, temos: 0 z z z As únicas componentes que restam são:,, O estado plano de tensões ocorre, por eemplo, na superfície livre de um elemento estrutural ou elemento de máquina, i. e., em qualquer ponto da superfície não sujeita a uma força eterna. 6-4

3 Transformações do Estado Plano de Tensões Dado um estado de tensões em um ponto P, veremos como determinar as componentes σ, σ, τ, associadas ao elemento, depois deste ter sido girado de um ângulo, em torno do eio z Transformações do Estado Plano de Tensões Seja o equilíbrio de um elemento prismático com as faces perpendiculares aos eios, e. Asen sen Asen cos Asen cos Asen sen F 0 A Acos cos Acos sen F 0 A Acos sen Acos cos As equações podem ser reescritas para produzir cos sen cos sen sen cos III I II lembrar que: sen sencos cos cos sen 1 cos cos 1 cos sen 6-6

4 Transformações do Estado Plano de Tensões Podemos encontrar σ, substituindo na ep. para σ o ângulo por θ + 90 o. Como: cos (θ o )= -cosθ e sen(θ+180 o )= -senθ, encontramos: cos sen II Somando membro a membro as epressões (I) e (II), encontramos: A soma das tensões normais em um elemento em estado plano de tensões independe da orientação deste elemento. Tratando as tensões de forma algébrica, a tensão de tração é positiva e a tensão de compressão é negativa. Para a tensão de cisalhamento, se convencionou que serão positivas as tensões em cujas faces do elemento se está estudando e que tendem a girálo no sentido anti-horário Tensões Principais Os valores máimos e mínimos de σ ocorrerão para valores de θ nos quais: d d 0 sen cos0tgp d d A equação define dois valores de θ p defasados de 90º. As faces do cubo elementar obtido pela rotação do ângulo θ p definem planos chamados planos principais no ponto P e as tensões normais nesses planos são conhecidas como Tensões Principais e são dadas pela seguinte epressão ma,min Substituindo θ = θ p na epressão (III), vemos que não há tensão de cisalhamento nos planos principais

5 6.4 Tensões Máima de Cisalhamento A tesão de cisalhamento máima se dá onde: d d 0 cos sen 0tg c d d A equação define dois valores de θ c defasados de 90º. Substituindo θ = θ c nas epressões (I), (II) e (III), temos ma e med Observa-se que tgθ c é a inversa negativa de tgθ p ; Portanto, estes dois ângulos diferem de 90º; Logo, θ c e θ p estão afastados de 45º; Isto significa que os planos onde ocorrem as tensões de cisalhamento máimas estão a 45º dos planos principais. 6-9 Eemplo 6.1 Para o estado plano de tensões mostrado, determine: (a) Os planos principais, (b) As tensões principais, (c) A tensão máima de cisalhamento e a tensão normal correspondente nestes planos. 6-10

6 Eemplo 6.1 Solução 1 SOLUÇÃO 01: (a) Determine os planos principais: 40 p tan 1,333 53,1 e 33,1 p 50MPa 10 MPa 40MPa 6,6 e 116,6 p (b) Determine as tensões principais: cos.6,6 40sen.6, cos.6,6 40sen.6,6 70MPa ma min 30MPa sen.6,6 40cos.6,6 0 OK! 6-11 Eemplo 6.1 Solução 1 50MPa 40MPa 10 MPa (c) Calcule os planos onde ocorrem a tensão de cisalhamento máima e o valor desta tensão ma 50MPa tan c 0, , 4 c sen 18,4 40cos 18,4 A correspondente tensão normal nestes planos é: med 0MPa 6-1

7 Eemplo 6.1 Solução SOLUÇÃO 0: (a) Determine os planos principais: 40 p tan 1,333 53,1 e 33,1 p 50MPa 10 MPa 40MPa (b) Determine as tensões principais: ma,min ma min 6,6 e 116,6 p 0 70MPa 30MPa Eemplo 6.1 Solução (c) Calcule os planos onde ocorrem a tensão de cisalhamento máima e o valor desta tensão ma ma 50MPa 50MPa 10 MPa 40MPa 45 c p 18.4, 71.6 c A correspondente tensão normal nestes planos é: med 0MPa 6-14

8 Eemplo 6. Uma força horizontal P de 670N é aplicada na etremidade D da alavanca ABD. Determine: (a) As tensões normal e de cisalhamento em um elemento localizado no ponto H de lados paralelos aos eios e ; (b) Os planos principais e as tensões principais no ponto H SOLUÇÃO: a) As tensões normal e de cisalhamento em um elemento localizado no ponto H de lados paralelos aos eios e. 1. Determinar a força em notação vetorial;. Encontrar o sistema equivalente na origem C; 3. Determinar os esforços internos na seção transversal; 4. Encontrar as propriedades geométricas da seção transversal; 5. Encontrar as tensões normal e de cisalhamento no ponto; 6. Desenhar o elemento plano do estado de tensões no ponto. 6-16

9 SOLUÇÃO: Esforços internos na seção transversal; F 670 ˆ R k N M 167,5iˆ 301,5 ˆj N.m C V z Elemento plano do estado de tensões no ponto. P M M z z A I I T VM VM J I t I t z S z S C z 6-17 SOLUÇÃO: b) Os planos principais e as tensões principais no ponto H. tan p p cos sen cos sen ou ma,min 6-18

10 6.5 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões As equações anteriores podem ser combinadas encontrando-se a equação de um círculo, chamado de círculo de Mohr para as tensões. R med sendo e R med Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões Passos para a construção do círculo de Mohr: 1. Retire um ponto do elemento que se deseja estudar, no qual as tensões normais e de cisalhamento são conhecidas, indicando o sentido correto dessas tensões;. Num sistema de eios coordenados marque os pontos X(σ ;-τ ) e Y(σ ;τ ) e interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (σ med ;0). Com centro em C e raio CX, trace o círculo, encontrando os pontos A, B, D e E. 3. Os pontos A de coordenadas (σ ma ;0) e B (σ min ;0) representam as tensões principais. O ângulo CAX é o ângulo θ p. 6-0

11 6.5 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões Após o círculo ser desenhado, os demais valores são encontrados geometricamente ou calculados. OC med CX R As tensões principais são obtidas em A e B. ma min ma OA OC CX med R OB OC CX med R CD R Os planos principais são dados por tan p A direção de rotação de O para Oa é a mesma que de CX para CA. 6-1 Eemplo 6.3 Para o estado plano de tensões mostrado, (a) Construa o círculo de Mohr; (b) Determine as tensões principais; (c) Determine a tensão de cisalhamento máima e a correspondente tensão normal. 6 -

12 SOLUÇÃO: X Y ; X 50; 40 XY ; XYY10; Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões Com o círculo de Mohr definido, o estado de tensão para qualquer outra orientação pode ser encontrado. Para um estado de tensão a um ângulo θ em relação aos eios, construa um novo diâmetro X Y com um ângulo θ relativo ao diâmetro XY. As tensões normal e a tensão de cisalhamento para esta nova orientação, são conseguidas pelas coordenadas de X Y. 6-4

13 Eemplo 6.4 Para o estado de tensão mostrado, determine (a) As tensões e os planos principais; (b) As componentes de tensão para um elemento girado de 30º no sentido anti-horário. 6-5 SOLUÇÃO: (a) Planos principais e tensões principais: X Y ; X 100; 48 XY ; XYY60; 48 med MPa R CF FX MPa 6-6

14 SOLUÇÃO: (b) Tensões no elemento a 30 o no sentido anti-horário: X Y ; X 100; 48 XY ; XYY60; 48 med MPa R CF FX MPa Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr para carga aial centrada: P, 0 A P A Círculo de Mohr para torção pura: Tc Tc 0 0 J J 6-8

15 6.6 Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas Seja um vaso cilíndrico de parede fina que possui comprimento l e diâmetro d, com uma espessura de parede (t) muito pequena em relação a este diâmetro. Suponha que neste tubo eista uma pressão interna p. Esta pressão irá atuar no interior do tubo de maneira a fazer com que eista um crescimento em seu diâmetro e um crescimento em seu comprimento. Para que estas variações ocorram, é necessário que apareçam tensões na parede do vaso que são as tensões principais do elemento 1 tensão tangencial tensão longitudinal Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas Determinação da tensão tangencial A figura ao lado mostra uma porção do cilindro de comprimento Fz 01 t p r pr 1 t Determinação da tensão longitudinal A figura ao lado mostra uma porção do cilindro à esquerda de uma seção transversal perpendicular ao eio F 0 rt p r pr 1 t 6-30

16 6.6 Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas Circulo de Mohr Os pontos A e B correspondem a tensão tangencial, σ 1, e a tensão longitudinal, σ, respectivamente. Tensão de cisalhamento máima (pontos D e E) no plano do elemento é igual ao raio do círculo: 1 pr (no plano) = 4 t É obtida quando se gira o elemento inicial de 45 o dentro do plano tangente à superfície Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas Circulo de Mohr No entanto, a tensão de cisalhamento máima na parede do vaso é maior. Ela é igual ao raio do circulo de diâmetro OA e corresponde a uma rotação de 45 o com o plano das tensões, sendo seu valor: = ma pr t 6-3

17 6.6 Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas Seja um vaso de pressão esférico de raio interno r e com parede de espessura t, que contém um fluido à pressão p. Pela simetria, as tensões que se eercem nas quatro faces de um pequeno elemento da parede devem ser iguais. 1 pr t Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas O circulo de Mohr para o plano das tensões se reduz a um ponto. 1 (no plano) constante = 0 Tensão de cisalhamento máima na parede do vaso (fora do plano das tensões): 1 pr = 4 t ma 1 Ela é igual ao raio do circulo de diâmetro OA e corresponde a uma rotação de 45 o com o plano das tensões 6-34