Curso de Engenharia Civil. Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil CAPÍTULO 3: FLEXÃO

Transcrição

1 Curso de Engenharia Civil Universidade Estadual de aringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil CÍTULO 3: FLEXÃO 3. Revisão de Esforços nternos étodo das Seção:

2 3. Revisão de Esforços nternos s resultantes F R e Ro reduidas ao C.G. da seção à direita, deve ter mesmo módulo e sentidos opostos das resultantes reduidas ao C.G. da seção à esquerda. Decompondo os vetores F R e Ro nas direções normal e paralela à seção, obtem-se: 3. Revisão de Esforços nternos Componentes de F R : V N F R r N r V Esforço Normal Esforço Cortante V V V

3 3. Revisão de Esforços nternos Componentes de F R : T Ro r r T omento Fletor omento Torçor 3. Revisão de Esforços nternos Convenção de Sinais: N: V: : T:

4 3.. Relação entre Carga, Força Cortante e omento Fletor p() V + (d /d)d O d V + (dv /d)d dv F 0 p( ) d d 0 0 V d d d dv Faendo : d d d d d p( ) () () () 3.. Estruturas lanas Carregadas no róprio lano Eercício : 3kN/m 6m

5 3.. Estruturas lanas Carregadas no róprio lano Eercício : 6kN/m 6m 3.. Estruturas lanas Carregadas no róprio lano Eercício 3: 5kN 0kN 5kN kn/m,5m,5m m m

6 3.. Estruturas lanas Carregadas no róprio lano Eercício 4: 40kN 0kN/m 80kN.m 3m 5m 3.. Estruturas lanas Carregadas no róprio lano Eercício 5: 40kN 5kN/m 0kN.m 4m 4m 4m

7 3. Tipos de Fleão Os tipos de fleão podem ser estabelecidos em função dos esforços solicitantes eistentes: Fleão ura : na seção transversal da barra age somente o momento fletor. Fleão Simples: agem o momento fletor e a força cortante. Fleão Composta: agem o momento fletor, a força cortante e a força normal. ara evitar torção, a resultante do carregamento transversal deve estar contida no plano de simetria da seção transversal. 3.3 Fleão ura Considere a viga B mostrada, com um eio vertical de simetria, cujo trecho CD encontra-se sobre fleão pura. Fleão Simples Compressão C D B Trecho C Cisalhamento DV Tração Fleão ura Compressão D C D B Trecho CD Fleão Simples Fleão ura Tração

8 3.3 Fleão ura Hipóteses básicas para fleão pura: a) aterial homogêneo, isotrópico e elástico-linear; b) Carregamento contido num plano vertical de simetria; c) s seções planas, orientadas perpendicularmente ao eio, permanecem planas mesmo depois da fleão (Hipótese de Bernoulli-Navier) Linha Neutra nalisando o trecho CD da viga mostrada: C D C D

9 3.3. Linha Neutra s linhas mn e pq giram e permanecem perpendiculares as fibras longitudinais (Hipótese de Bernoulli-Navier). Sob a ação do momento, as fibras da parte superior da viga estão sob compressão (diminuem de comprimento) e as fibras da parte inferior estão sob tração (aumentam de comprimento) Linha Neutra Em algum ponto entre as partes superior e inferior da viga, as fibras longitudinais estão sob tensão nula, não sofrendo variação de comprimento. LN Essa superfície é denominada superfície neutra e a interseção com o plano da seção transversal forma a LNH NEUTR da seção. ( 0 e ε 0)

10 3.3. Deformação Longitudinal nalisando as deformações entre duas seções distantes d: c d ρ : raio do arco cd na LN; L : comprimento do arco cd da barra indeformada, onde L ρ.dθ 3.3. Deformação Longitudinal c d O comprimento do arco ef distante acima da LN pode ser dado por: L` (ρ - ).dθ O comprimento original do arco ef era igual ao do arco cd, antes da deformação. Logo: δ L L δ ( ρ ) dθ ρ dθ δ dθ

11 3.3. Deformação Longitudinal c d deformação específica ε na fibra ef é dada por: δ ε L ε ρ dθ ρ dθ deformação específica ε varia linearmente com a distância da LN. deformação específica máima (ε má ) ocorre para o maior valor de. 3.4 Tensões Normais de Fleão no Regime Elástico Usando a Lei de Hooke, tem-se: E ε E ρ E ρ tensão normal varia linearmente com a distância da L.N. LN

12 3.4 Tensões Normais de Fleão no Regime Elástico osição da Lina Neutra: ara a fleão pura podemos dier que: F C LN F 0 F + F d Logo : C T E E d ρ ρ d 0 d 0 F T d 0 omento Estático da área da seção ara que d 0 a L.N.(eio ) deve passar pelo centróide da seção transversal., 3.4 Tensões Normais de Fleão no Regime Elástico Relação omento-curvatura: F C LN F T Se > 0 e > 0, o momento é negativo. Logo: F ( d) E E d ρ ρ d

13 3.4 Tensões Normais de Fleão no Regime Elástico Sendo d omento de nércia da seção transversal em torno do eio ""(L.N.) E ρ ρ E Equação omento - Curvatura 3.4 Tensões Normais de Fleão no Regime Elástico Fórmula de Fleão: a) b) E E ρ ρ ρ E E E Fórmula de Fleão

14 3.4. Tensões Normais áimas s máimas tensões (tração e compressão) ocorrem nos pontos mais distantes da L.N. C Tensão de compressão omento positivo Tensão de tração omento negativo C Tensão de tração Tensão de compressão 3.4. Tensões Normais áimas maior tensão de tração. maior tensão de compressão C distância da fibra tracionada mais afastada da L.N. C distância da fibra comprimida mais afastada da L.N. Tensões áimas: C C e Característica Geométrica - ódulo de Resistência: W C e W C

15 3.4. Tensões Normais áimas Tensões áimas: e W W Característica Geométrica - ódulo de Resistência: bh ara seção retangular: 3 e W b h 6 ara seção circular: π d 64 4 e W π d Critério para Dimensionamento e Verificação de Vigas ara o dimensionamento estrutural, as tensões máimas serão responsáveis pelas dimensões estruturais de modo a satisfaer as condições de segurança. ara materiais cuja adm(tração) adm(compressão) adm : adm e adm ara materiais cuja adm(tração) adm(compressão) : adm(tração) e adm(compressão)

16 3.5 Critério para Dimensionamento e Verificação de Vigas Eemplo : Uma barra de aço está submetida a ação de momentos conforme mostra a figura. Determine o valor do momento que provoca escoamento do material. dotar esc 50a. 60mm 0mm 3.5 Critério para Dimensionamento e Verificação de Vigas Eemplo : Dada a viga representada abaio, determinar as máimas tensões de tração e de compressão. 0kN 5kN/m 5kN 8kN.m 0cm 3m C 3m B m D 5cm 3cm 0cm 3cm

17 3.6 Fleão de Barras Constituídas por mais de um aterial Tensões de Deformações: Viga composta por dois materiais diferentes. 3.6 Fleão de Barras Constituídas por mais de um aterial Tensões de Deformações: deformação longitudinal em uma viga composta varia linearmente do topo até a base da barra. ε sendo ρ ρ raio de curvatura

18 3.6 Fleão de Barras Constituídas por mais de um aterial L.N. não passa pelo centróide da seção transversal de uma viga composta de dois materiais diferentes. s tensões normais podem ser obtidas a partir das deformações usando a relação tensão deformação para os dois materiais ( E. ε ). ssumindo que E > E : 3.6 Fleão de Barras Constituídas por mais de um aterial E C () ε E ε C ; ; E C () ssim, as tensões em cada material podem ser: ( ) B E ε B ε E E e () ρ ρ C

19 3.6. étodo da Seção Transformada Consiste em transformar a seção transversal de uma viga composta em uma seção transversal equivalente de uma viga imaginária, que é constituída de apenas um material. nova seção transversal é chamada Seção Transformada étodo da Seção Transformada osição da Linha Neutra: E 0 E d 0 ρ d 0 E Vamos introduir a notação : η E d + E d + ρ F d + E () d + η d 0 () d 0 Raão odular

20 3.6. étodo da Seção Transformada odemos criar uma seção transversal constituída de duas partes: () área com as mesmas dimensões; () área com larguras (dimensões paralelas a L.N.) multiplicada por η étodo da Seção Transformada L.N. da seção transformada está na mesma posição da viga original. s dimensões perpendiculares a L.N. permanecem as mesmas. ssim, multiplicar a largura do material por ηe /E é equivalente a transformá-lo no material.

21 3.6. étodo da Seção Transformada Relação omento Curvatura: E ρ E ρ ρ E ( d) + E d + E ρ d d ρ d ( E + E ) 3.6. étodo da Seção Transformada Tensões Normais no aterial : () T Onde T é o momento de inércia da seção transformada em relação a L.N. T η Tensões no aterial : () E + + E E E + E

22 3.6. étodo da Seção Transformada Tensões no aterial : s tensões no material na viga original não são as mesmas correspondentes da viga transformada. ( ) η ou T () E E + E 3.6 Fleão de Barras Constituídas por mais de um aterial Eemplo 3: Uma barra construída de aço e latão (E a 00Ga, E l 00Ga) tem a seção abaio. Determine a máima tensão no aço e no latão quando a barra fica sujeita à fleão pura com um momento kn.m. Latão ço Latão 40mm 5mm 0mm 5mm

23 3.7 Carregamentos Combinados Frequentemente a seção transversal do elemento é submetida a mais de um esforço interno simultaneamente. O método da superposição de efeitos pode ser utiliado para determinar a distribuição de tensões resultantes causada pelas cargas. 3.7 Carregamentos Combinados étodo da Superposição - rocedimentos: ) Determinar os esforços internos na seção transversal analisada; ) Calcular as componentes de tensões associadas a cada esforço interno: Força Normal omento Fletor 3) Superposição das tensões. F

24 3.7 Carregamentos Combinados Carregamento nclinado em um lano de Simetria: L s b V V N N L τ ) ( 3.7 Carregamentos Combinados Carregamento nclinado em um lano de Simetria: N N L ) ( (N) () (N+) N Fleão e Carga ial Combinadas

25 3.7 Carregamentos Combinados Carregamento ial Ecêntrico em um lano de Simetria: e L força não age através do centróide da seção transversal; distância e é chamada de ecentricidade da força. força ecêntrica é estaticamente equivalente a uma força aial e um momento fletor. e, agindo no centróide. 3.7 Carregamentos Combinados Carregamento ial Ecêntrico em um lano de Simetria: L.e (N+) () (N) e o

26 3.7 Carregamentos Combinados tensão normal em qualquer ponto da seção pode ser calculada por: ( e) posição da Linha Neutra é obtida faendo 0, onde: o e Se e 0, Se e, a L.N. (compressão ou tração) a L.N. 0 (fleão pura) 3.7 Carregamentos Combinados Eemplo 4: Uma viga tubular de comprimento L,5m é carregada por uma força inclinada no ponto médio do seu comprimento. Determine as tensões e tração e de compressão máimas na viga devido ao carregamento 4,45kN. 0,75m 0,75m 0,4m 60º 0,3m 3,60-5 m 4

27 3.8 Fleão ssimétrica Fleão ssimétrica ocorre em: Vigas com seções assimétricas; Vigas com seção simétrica e carga fora do plano de simetria. 3.8 Fleão ssimétrica ara cargas inclinadas passando pelo centróide, devese decompor a carga em duas componentes:

28 3.8 Fleão ssimétrica Os momentos em uma seção distante podem ser determinados em função das componentes e : ) ( cos ) ( ) ( ) ( L L L sen L θ θ 3.8 Fleão ssimétrica O momento fletor na seção é a resultante dos momentos e, e tem a inclinação θ com o eio :

29 3.8 Fleão ssimétrica tensão normal em um ponto da seção, de coordenadas (,), devido ao momento fletor, pode ser calculada em função de e : 3.8 Fleão ssimétrica posição da Linha Neutra nn é determinada faendo 0: tg β 0

30 3.8 Fleão ssimétrica Relação entre a Linha Neura e a nclinação do carregamento: tagβ tagβ tagβ tagβ tagθ senθ ( L ) cosθ ( L ) senθ cosθ 3.8 Fleão ssimétrica Casos Especiais: Carga no plano (θ 0º ou 80º), a L.N. Carga no plano (θ ± 90º), a L.N.

31 3.8 Fleão ssimétrica Eemplo 5: Calcular as tensões normais etremas e a posição da L.N. na seção transversal de uma viga abaio indicada. 40cm 5kN.m 60º 0cm 5cm 0cm 30cm 0cm 3.9 Caso Geral de Carga Ecêntrica É o caso em que a carga ecêntrica não pertencente a nenhum plano de simetria. a b força aial ecêntrica é estaticamente equivalente a um sistema constituído de uma força centrada e dos conjugados.b e.a

32 3.9 Caso Geral de Carga Ecêntrica s tensões devidas a força e os momentos e podem ser calculadas superpondo-se as tensões: + Onde e são medidos a partir dos eios principais. 3.9 Caso Geral de Carga Ecêntrica osição da Linha Neutra: 0;.e ;.e e e + + 0

33 3.9 Caso Geral de Carga Ecêntrica Eemplo 6: Um bloco retangular de peso despreível está sujeito a uma força vertical de 40kN, aplicada em uma de suas quinas. Determine a distribuição das tensões normais atuantes sobre a seção BCD. 40kN C 0,4m B 0,8m plicações plicação : Determine as tensões no ponto e no ponto B da viga carregada conforme figura abaio.

34 plicações plicação : Uma laje piso de concreto é reforçada por barras de aço de 6mm de diâmetro colocadas 3mm acima da face inferior da laje e espaçadas de 50mm entre seus centros. O módulo de elasticidade é de 5Ga para o concreto usado e de 05Ga para o aço. Sabendo que é aplicado um momento fletor de 4,5kNm a cada 300mm de largura da laje, determine (a) a tensão máima no concreto, (b) a tensão no aço. plicações plicação 3: Determine a maior força que pode ser aplicada ao suporte mostrado na figura, sabendo que a tensão admissível na seção BD é de 70a.