Escola de Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Departamento de Engenharia Elétrica
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- Osvaldo Nunes Capistrano
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1 PROBLEMA 01 (Sussekind, p.264, prob.9.3) Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vãos: 2m x 2m
2 PROBLEMA 02 (Sussekind, p.264, prob.9.5) Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vãos: 3m x 4m
3 PROBLEMA 03 (Sussekind, p.265, prob.9.7) Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vãos: 2m x 2m
4 PROBLEMA 04 (Sussekind, p.266, prob.9.9) Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vãos: 2m x 2m
5 PROBLEMA 05 (Sussekind, p.266, prob.9.10) Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vãos: 2m x 3m
6 PROBLEMA 06 (Sussekind, p.266, prob.9.11) Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vãos: 4m x 3m
7 PROBLEMA 07 (Sussekind, p.269, prob.9.19/modificado) Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. distâncias horiz.: 4m/1m/1m/4m vert: 3,5m/1,5m
8 PROBLEMA 08 (extra) Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vãos: 1m x 1m
9 PROBLEMA 09 (extra) Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vãos: 3m x 4m
10 PROBLEMA 10 (Hibbeler, Mecânica/Estática, p.218, prob.6.44) Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vãos: 3m x 3m
11 PROBLEMA 11 Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vão 2m (60 o, 45 o, 30 o )
12 PROBLEMA 12 Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vão 4m (60 o, 45 o, 30 o )
13 PROBLEMA 13 Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vão 4m (60 o, 45 o, 30 o )
14 PROBLEMA 14 Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça.
15 PROBLEMA 15 Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça.
16 PROBLEMA 16 Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça. vão 4m (45 o, 30 o )
17 PROBLEMA 17 Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça.
18 PROBLEMA 18 Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça.
19 Problemas propostos Dimensionamento e verificação de treliças Exercício 1 Determinar o esforço normal na barra 1, indicada abaixo, sabendo-se que ela é a mais carregada da estrutura. Determinar qual o perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser idênticas. Dado de projeto: tensão admissível aço σ adm =150 MPa. 20 kn 40 kn 40 kn 40 kn 1 2m 40 kn 40 kn 20 kn 2m 2m 2m 2m 2m 2m Resposta: N1 = 180 kn D1=60mm t1=8mm Exercício 2 Determinar o esforço normal na barra 1, indicada abaixo, sabendo-se que ela é a mais carregada da estrutura. Determinar qual o perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser idênticas. Dados de projeto: tensão esmagamento alumínio σ C = 560 MPa e coeficiente de segurança à compressão 2, kn 60 kn 60 kn 60 kn 1 2m 60 kn 60 kn 30 kn 2m 2m 2m 2m 2m 2m Resposta: N1 = 270 kn D1=60mm t1=8mm
20 Exercício 3 Determinar o esforço normal nas barras 1 e 2, indicadas abaixo, sabendo-se que elas são as mais carregadas da estrutura. Determinar qual o perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser idênticas. Dados de projeto: tensão esmagamento alumínio σ C = 560 MPa, tensão escoamento alumínio σ T = 265 MPa (tração) e coeficiente de segurança à compressão 2,65 e à tração 2, kn 2m 60 kn 1 2 2m 2m 2m 2m 2m 2m Resposta: N1 = 540 kn (compressão) A1 > 25,6 cm 2 N2 =480 kn (tração) A2 > 36,2 cm 2 D2=100mm t2=14mm Exercício 4 Determinar o peso da estrutura do problema anterior, sendo que as barras comprimidas serão dimensionadas a partir do esforço na barra 1 e as barras tracionadas, a partir da barra Resposta: comprimidas: D1=80mm t1=12mm p1=20,1 kg/m tracionadas: D2=100mm t2=14mm p2=29,7 kg/m (13 x 2m x 20,1 kg/m) + [(6 x 2m)+(6 x 2,83m)] x 29,7 kg/m peso estrutura: 1383 kg
21 Exercício 5 Determinar o esforço normal nas barras 1 e 2, indicadas abaixo, sabendo-se que elas são as mais carregadas da estrutura. Determinar qual o perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser idênticas. Dados de projeto: tensão esmagamento alumínio σ C = 560 MPa, tensão escoamento alumínio σ T = 265 MPa (tração) e coeficiente de segurança à compressão 2,65 e à tração 2, kn 1 60 kn 2m 2 2m 2m 2m 2m 2m 2m Resposta: N1 = 480 kn (compressão) A1 > 22,7 cm 2 N2 =540 kn (tração) A2 > 40,75 cm 2 D2=100mm t2=16mm Exercício 6 Determinar o peso da estrutura do problema anterior, sendo que as barras comprimidas serão dimensionadas a partir do esforço na barra 1 e as barras tracionadas, a partir da barra Resposta: comprimidas: D1=80mm t1=12mm p1=20,1 kg/m tracionadas: D2=100mm t2=16mm p2=33,1 kg/m (10 x 2m x 33,1 kg/m) + [(9 x 2m)+(6 x 2,83m)] x 20,1 kg/m (Obs: para as barras ociosas adota-se o perfil mais leve) peso estrutura: 1365 kg
22 Exercício 7 Determinar a máxima carga P que poderá ser aplicada na treliça, sendo que a barra 1é a mais carregada e todas as barras são tubulares de diâmetro externo D= 80 mm e espessura de parede t=14mm. Dados: tensão admissível aço σ adm =183,9 MPa. 2P 4P 6P 6P 2P 2P P 4m 1 3m 3m 3m 3m 3m 3m Resposta: Pmax = 20 kn Exercício 8 Determinar a máxima carga P que poderá ser aplicada na treliça, sendo que a barra 1 é a mais carregada e todas as barras são tubulares de diâmetro externo D= 40 mm e espessura de parede t=8mm. Dados: tensão admissível aço σ adm =125 MPa. 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 1 2m 4P 3P 5P 6P Resposta: Pmax = 25 kn
23 Exercício 9 Verificar a segurança estrutural da treliça indicada abaixo, sabendo-se que as barras são formadas por barras chatas 32 x 6 mm e a barra mais solicitada é a barra 1. Dado de projeto: tensão de escoamento do aço σ Y =250 MPa (tração ou compressão). 20 kn 20 kn 2m 1 32mm 2m 6mm 2m 2m 2m Resposta: γ = 1,7 Exercício 10 Idem para a treliça abaixo composta por barras circulares. 80 kn 80 kn 20 kn φ 32mm 3m 40 kn 3m 1 4m 4m Resposta: γ = 1,72
24 Exercício 11 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, sabendo-se que as barras 1e 2 são as mais comprimidas. Todas as barras são tubulares de aço. Dados: diâmetro externo D= 100 mm, espessura de parede t= 12 mm e módulo de elasticidade E =210 GPa. 60 kn 1 60 kn 2m 2 2m 2m 2m 2m 2m 2m Resposta: N1 =480 kn Pcr,1 = 1695 kn N2 =424,3 kn Pcr,2 = 847,5 kn γ = 2 Exercício 12 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, sabendo-se que a barra 1 é a mais comprimida e todas as diagonais são tracionadas (Treliça Pratt). Todas as barras são tubulares de aço. Dados: diâmetro externo D= 100 mm, espessura de parede t= 12 mm e módulo de elasticidade E =210 GPa. 60 kn 1 2m 60 kn 2m 2m 2m 2m 2m 2m Resposta: N1 =540 kn Pcr,1 = 1695 kn γ = 3,14
25 Exercício 13 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, sabendo-se que as barras 1e 2 são as mais comprimidas. Todas as barras são tubulares de alumínio. Dados: diâmetro externo D= 100 mm, espessura de parede t= 12 mm e módulo de elasticidade alumínio E = 70 GPa. 60 kn 1 60 kn 2m 2 2m 2m 2m 2m 2m 2m Resposta: N1 =480 kn Pcr,1 = 565 kn N2 =424,3 kn Pcr,2 = 282,5 kn γ = 0,66 (FLAMBOU!!!) Exercício 14 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, sabendo-se que a barra 1 é a mais comprimida e todas as diagonais são tracionadas (Treliça Pratt). Todas as barras são tubulares de aço. Dados: diâmetro externo D= 100 mm, espessura de parede t= 12 mm e módulo de elasticidade E = 70 GPa. 60 kn 1 2m 60 kn 2m 2m 2m 2m 2m 2m Resposta: N1 =540 kn Pcr,1 = 565 kn γ = 1,05 (RISCO DE FLAMBAGEM!!!)
26 Exercício 15 Qual deve ser o perfil comercial a ser adotado para que a treliça de alumínio do exercício 13 tenha segurança à flambagem γ > 2. Resposta: D1=140mm t1=16mm γ = 2,48 Exercício 16 Qual deve ser o perfil comercial a ser adotado para que a treliça de alumínio do exercício 14 tenha segurança à flambagem γ > 2. Resposta: D1=120mm t1=14mm γ = 2,13 Exercício 17 Verificar a segurança à flambagem da treliça do exercício 9, sabendo-se que a barra mais comprimida é a barra 1. Dados: momento de inércia da seção retangular I= /12 mm 4 e módulo de elasticidade do aço E =210 GPa. Caso não seja verificada a segurança a flambagem qual deverá ser a dimensão b da seção quadrada para que se tenha γ = 2? Resposta: γ = γ = 0 b=40mm Exercício 18 Verificar a segurança à flambagem da treliça do exercício 10, sabendo-se que a barra mais comprimida é a barra 1. Dados: momento de inércia da seção retangular I= π/64. (32) 4 mm 4 e módulo de elasticidade do aço E =210 GPa. Caso não seja verificada a segurança a flambagem ( γ < 1 ) qual deverá ser o diâmetro da barra para que se tenha γ = 2? 20 kn 80 kn 80 kn Resposta: γ γ = 0 φ=87mm ou reduzir o comprimento de flambagem 40 kn
27 Tabela 1 Características perfis tubulares D (mm) t (mm) A (cm 2 ) W (cm 3 ) p (kg/m) ,4 4,8 5, ,0 5,5 6, ,4 5,9 7, ,2 12,5 8, ,1 15,1 10, ,7 17,0 12, ,0 34,4 17, ,6 38,2 20, ,0 41,3 22, ,2 65,4 26, ,8 71,8 29, ,2 77,2 33, ,6 111,0 36, ,3 120,6 41, ,7 128,9 45, ,3 174,0 48, ,0 187,4 54, ,4 199,3 59, ,7 235,5 64, ,5 248,7 69, ,0 260,5 74, ,4 291,0 74, ,5 305,6 80, ,5 318,6 85,9 D t A = área da seção transversal W = módulo resistente p = peso linear π 4 Obs: Momento de inércia da seção tubular Ι = [ D (D 2t ) ] 4 64
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46 Problemas propostos Dimensionamento e verificação de treliças
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