Resistência dos Materiais Eng. Mecânica, Produção UNIME Prof. Corey Lauro de Freitas, Fevereiro, 2016.

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1 Resistência dos Materiais Eng. Mecânica, Produção UNIME Prof. Corey Lauro de Freitas, Fevereiro, 2016.

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3 1 Introdução: O conceito de tensão

4 Conteúdo Conceito de Tensão Revisão de Estática Diagrama de Corpo Livre da Estrutura Diagrama de Corpo Livre das Componentes Equilíbrio dos Nós Análise de Tensão Análise e Projeto Carga Axial e Tensão Normal Carga Centrada e Carga Excêntrica Tensão de Cisalhamento Exemplo de Tensões de Cisalhamento Tensão de Esmagamento em Conexões Análise de Tensão e Exemplos de Projetos Determinação da Tensão Normal - Barras Tensões de Cisalhamento - Conexões Tensões de Esmagamento - Conexões Tensões em Barras com Duas Força Tensões sobre um Plano Inclinado Tensão Máxima Tensão sob Carregamentos Gerais Estado de Tensão Fator de Segurança

5 Conceito de Tensão O objetivo principal do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao futuro engenheiro de maneira simples e lógica os meios para analisar e projetar várias máquinas e estruturas que suportam cargas, aplicando alguns princípios fundamentais. Tanto a análise e desenho de uma determinada estrutura envolvem a determinação de tensões e deformações. Este capítulo é dedicado ao conceito de Tensão.

6 Revisão de Estática A estrutura é projetada para suportar uma carga de 30 kn. A estrutura consiste de uma barra com seção transversal retangular e uma barra com seção transversal circular, unidas por pinos (momento igual a zero nas rótulas e junções). Realiza-se uma análise estática para determinar a força interna de cada elemento estrutural e as forças de reação nos apoios.

7 Diagrama de Corpo Livre da Estrutura A estrutura é separada dos apoios e as forças de reação são indicadas. Condições para o equilíbrio estático: M C =0= A x (0. 6 m ) (30 kn ) (0. 8 m ) A x =40 kn F x =0= A x +C x C x = A x = 40 kn F y =0= A y +C y 30 kn=0 A y +C y =30 kn A y e C y não podem ser determinados a partir dessas equações.

8 Diagrama de Corpo Livre das Componentes Além da estrutura completa, cada componente (barra) deve satisfazer as condições de equilíbrio estático. Considere o diagrama de corpo livre da barra AB: M B =0= A y (0.8 m ) A y =0 Substituindo a equação de equilíbrio na equação anterior, temos C y =30 kn Resultados: A=40 kn C x =40 kn C y =30 kn As forças de reação são direcionados ao longo do eixo da barra.

9 Equilíbrio dos Nós A estrutura é separada em duas barras simples, ou seja as barras são submetidas a apenas duas forças que são aplicadas nas extremidades. Para o equilíbrio, as forças devem ser paralela a um eixo entre os pontos de aplicação de força, igual em magnitude, e em direções opostas. Os nós devem satisfazer as condições de equilíbrio estático, e as forças podem ser obtidas através do triângulo de forças correspondentes: F B =0 F AB = F BC 30 kn = F AB =40 kn F BC =50 kn

10 Análise de Tensão A estrutura pode suportar com segurança a carga de 30 kn? A partir de uma análise estática: F AB = 40 kn (compressão) F BC = 50 kn (tração) d BC = 20 mm Em qualquer seção através da barra BC, a força interna é de 50 kn com uma intensidade de força ou tensão de σ BC = P N A = =159 MPa m A partir das propriedades do material para o aço, a tensão admissível é σ all =165 MPa Conclusão: a estrutura suporta com segurança a carga de 30 kn, uma vez que a tensão solicitante é menor do que a tensão admissível.

11 Análise e Projeto O projeto de novas estruturas requer a seleção de materiais apropriados e dimensões de componentes que atendam requisitos de desempenho. Por razões baseadas no custo, peso, disponibilidade, etc; a barra BC será construída de alumínio ( all = 100 MPa). Qual a escolha apropriada para o diâmetro desta barra? σ all = P A A=π d 2 4 A= P σ all = N Pa = m 2 d = 4 A π = 4 ( m 2 ) π =2, m=25. 2 mm Uma barra de alumínio de 26 milímetros ou mais de diâmetro é suficiente.

12 Carga Axial e Tensão Normal A resultante das forças internas para uma barra axialmente carregada é normal para uma seção de corte perpendicular ao eixo axial da barra. A intensidade da força nessa seção é definida como a tensão normal. σ = lim ΔA 0 ΔF ΔA σ med = P A A tensão normal em um determinado ponto pode não ser igual à tensão média, mas a resultante da distribuição de tensões deve satisfazer: P=σ med A= df= σ da A A distribuição real das tensões é estaticamente indeterminada, ou seja, não pode ser encontrada a partir das condições de equilíbrio somente.

13 Carga Centrada e Carga Excêntrica A distribuição uniforme de tensão em uma seção infere que a linha de ação para a resultante das forças internas passa pelo centroide da seção considerada. A distribuição uniforme de tensão só é possível se a linha de ação das cargas concentradas nas extremidades das seções passarem através do centroide da seção considerada. Este tipo de carregamento é chamado de carga centrada. Se a barra estiver excentricamente carregada, então a resultante da distribuição de tensões em uma seção deve produzir uma força axial aplicada no centroide e um momento conjugado. A distribuição de tensões em barras excentricamente carregadas, não pode ser uniforme ou simétrica.

14 Tensão de Cisalhamento Forças P e P são aplicadas transversalmente à barra AB. Correspondentes forças internas atuam no plano de seção transversal C e são chamadas forças de cisalhamento. A resultante da distribuição da força de cisalhamento interna é definida no corte da seção e é igual à carga P (força cortante). A tensão média de cisalhamento correspondente é, τ med = P A A distribuição da tensão de cisalhamento varia de zero na superfície da barra até um valor máximo que pode ser muito maior do que o valor médio. A distribuição das tensões de cisalhamento não pode ser considerada uniforme.

15 Exemplo de Tensões de Cisalhamento Cisalhamento Simples Cisalhamento Duplo τ med = P A = F A τ med = P A = F 2 A

16 Tensão de Esmagamento em Conexões Parafusos, rebites, pinos criam tensões ao longo da superfície de esmagamento, ou de contato, nos elementos que eles se conectam. A resultante da distribuição de força na superfície é igual e oposta à força exercida sobre o pino. A intensidade da força média correspondente é chamada de tensão de esmagamento σ e = P A = P t d

17 Análise de Tensão e Exemplos de Projetos Determinar as tensões nas barras e conexões da estrutura mostrada. A partir de uma análise estática: F AB = 40 kn (compressão) F BC = 50 kn (tração) Deve-se considerar a máxima tensão normal em AB e BC, e a tensão de cisalhamento e tensão de esmagamento em cada conexão.

18 Determinação da Tensão Normal - Barras A barra está com uma tensão normal devido uma força axial de 50 kn (tração). No centro da barra, a tensão normal média na seção transversal circular (A =314x10-6 m 2 ) é BC = +159 MPa. Nas extremidades achatadas da barra, a menor área transversal ocorre na linha central do furo, A=(20 mm ) (40 mm 25 mm )= m 2 σ BC,ext = P N A = =167 MPa m A barra AB é comprimida com uma força axial de 40 kn e tensão normal média de 26,7 MPa. As seções de área mínima nas extremidades, não sofrem tensões devido a compressão da barra.

19 Tensões de Cisalhamento - Conexões A área da seção transversal de pinos em A, B e C, A=πr 2 =π ( 25 mm 2 ) 2 = m 2 A força no pino em C é igual à força exercida pela barra BC, o valor médio da tensão de cisalhamento no pino em C é τ C, med = P N A = =102 MPa m O pino em A é em cisalhamento duplo com uma força total igual à força exercida pela barra AB dividida por dois. τ A,med = P kn =20 =40, 7 MPa A m

20 Tensões de Cisalhamento - Conexões Divida o pino B em 5 partes para determinar a seção com a maior força cortante, P E =15 kn P G =25 kn (Maior ) Avaliar a tensão de cisalhamento média correspondente, τ B,med = P G A kn =25 =50,9 MPa m

21 Tensões de Esmagamento - Conexões Para determinar a tensão de esmagamento nominal em A na barra AB, temos t = 30 mm e d = 25 mm, σ e = P td kn =40 =53,3 MPa (30 mm ) (25 mm ) Para determinar a tensão de esmagamento no apoio em A, temos t = 2 (25 mm) = 50 mm e d = 25 mm, σ e = P td kn =40 =32, 0 MPa (50 mm ) (25 mm )

22 Tensões em Barras com Duas Forças Forças axiais aplicadas em um elemento de barra, provocam apenas tensões normais em um plano de corte perpendicular ao eixo barra. Forças transversais agindo em parafusos e pinos provocam apenas tensões de cisalhamento no plano perpendicular ao eixo do parafuso ou pino. Vamos mostrar que as forças axiais ou transversais podem produzir tanto tensões normais e de cisalhamento com relação a um plano que não seja um corte perpendicular ao eixo barra.

23 Tensões sobre um Plano Inclinado Passe uma seção através da barra formando um ângulo θ com o plano normal. Das condições de equilíbrio, as forças distribuídas sobre o plano deve ser equivalente à força P. Decompondo P em componentes normais e tangenciais à seção oblíqua, F=P cosθ V =Psen θ As tensões normais e de cisalhamento média sobre o plano inclinado são σ = F A θ = P cosθ A 0 cosθ = P A 0 cos 2 θ τ = V = Psenθ = P senθ cosθ A θ A 0 A 0 cosθ

24 Tensão Máxima Tensões normais e cisalhantes em um plano inclinado σ = P A 0 cos 2 θ τ= P A 0 sen θ cosθ A tensão máxima normal ocorre quando o plano de referência é perpendicular ao eixo da barra (θ=0), σ m = P A 0 τ ' =0 A tensão máxima de cisalhamento ocorre para uma inclinação de + 45 º com relação ao eixo da barra, τ m = P A 0 sen 45 cos 45= P 2 A 0 =σ '

25 Tensão sob Carregamentos Gerais Um elemento submetido a uma combinação de cargas em geral é cortado em dois segmentos por um plano que passa por Q A distribuição de componentes da tensão interna pode ser definida como, σ x =lim ΔA 0 τ xy =lim ΔA 0 ΔF x ΔA ΔV y x ΔA τ xz =lim ΔA 0 ΔV z x ΔA Para o equilíbrio, uma distribuição igual e oposta de forças internas e tensões deve ser exercida sobre o outro segmento do elemento.

26 Estado de Tensão Componentes de tensão são definidas para os planos cortados paralelamente aos eixos x, y e z. Para o equilíbrio, tensões iguais e opostas são exercidas sobre os planos ocultos. A combinação de forças geradas pela tensão devem satisfazer as condições para o equilíbrio: F x = F y = F z =0 M x = M y = M z =0 Considere os momentos em torno do eixo z: M z =0=(τ xy ΔA ) a (τ yx ΔA ) a τ xy =τ yx Similar, τ yz =τ zy e τ zx =τ xz Segue-se que apenas 6 componentes de tensão são necessárias para definir o estado completo de tensão.

27 Fator de Segurança Considerações para um fator de segurança: Elementos estruturais ou máquinas devem ser concebidos de tal forma que as tensões de trabalho (solicitantes) sejam menores do que a resistência final do material (resistente). FS=Fator de segurança FS= σ u Tensão limite = σ all Tensão admissível Incerteza nas propriedades do material Incerteza de cargas Incerteza das análises Número de ciclos de carga Tipos de falha Requisitos de manutenção e os efeitos de deterioração Importância da barra para a integridade de toda estrutura Risco à vida e à propriedade Influência sobre a função da máquina

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