Departamento de Engenharia Mecânica ENG Mecânica dos Sólidos II. Teoria de Vigas. Prof. Arthur Braga
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1 Departamento de Engenharia Mecânica ENG Teoria de Vigas Prof. rthur Braga
2 Tensões de Fleão em Barras (vigas Deformação do segmento IJ M N ρ Δφ I J ( ρ y Δφ Compresão ρ ρ y I J y M N Eio Neutro (deformação nula Tração
3 Tensões de Fleão em Barras (vigas Deformação longitudinal ε I J IJ M N ρ Δφ I J ( ρ y Δφ ε y ρ IJ I J M N M N dφ y d Deformação cisalhante 1 ε y γ y Simetria (fleão pura
4 Tensões de Fleão em Barras (vigas Curvatura O w O curvatura no ponto B é definida como: dφ Δφ 1 1 k lim lim ds Δs Δs Δs O B ρ Δφ ρ B Δs C Δφ φ Para w << 1
![[ ] (,, ( y](/docs-images/74/70242283/images/5-2.jpg "y σ σ I M y")
5 Tensões de Fleão em Barras (vigas σ y [ ] (,, ( y y σ σ I M y y ( σ Tensões Normais de Fleão M M
6 Teoria da Elasticidade Problema F 1 Corpo sujeito a ação de esforços eternos (forças, momentos, etc. F 7 F 8 F F 3 Determinar F 4 Esforços internos (tensões Deformações F 6 Deslocamentos F 5
7 Teoria da Elasticidade Relações entre deslocamentos e deformações u y u u y yy ε ε ε y u u u u u y u y y y y y y γ ε γ ε γ ε
8 Teoria da Elasticidade Relações constitutivas (tensão vs. deformação ε ε ε yy σ σ yy σ ν ν α ΔT E E E σ σ yy σ ν ν α ΔT E E E σ σ yy σ ν ν α ΔT E E E ε ε ε y y σ y G σ G σ y G G E ( 1ν
9 Teoria da Elasticidade Equações de Equilíbrio σ σ y y σ σ y σ y yy σ y σ σ y y σ
10 Teoria da Elasticidade 15 Equações Equilíbrio (3 Deformação vs. Deslocamentos (6 Tensão vs. Deformação (6 15 Variáveis: F 7 u σ ε, u y, σ, ε, yy u yy, σ, ε, σ, ε y y, ε, σ, ε, σ y y F 6 F 8 F 5 F 1 F F 4 F 3 Condições de contorno
11 Teoria de Vigas q( 3D Teoria de Vigas (aproimação n( y q( n( 1D
12 Teoria de Vigas Hipótese Cinemática u u (, (, u( w( Φ P w P u P
13 Teoria de Vigas Q Q Φ Q u w -φ Hipótese Cinemática (, ( ( (, ( w u u u φ
14 Teoria de Vigas Teoria de Bernoulli-Euler u u (, (, u( w( dw d φ dw d 9 dw d
15 Teoria de Vigas Definição de Esforços Generaliados O Esforço Normal σ N N σ d
16 Teoria de Vigas Definição de Esforços Generaliados O Momento Fletor dn σ ( d σ M σ d M
17 Teoria de Vigas Definição de Esforços Generaliados O Esforço Cortante σ V V σ d
18 Teoria de Vigas Equilíbrio (Tensão Plana σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ d d d
19 Teoria de Vigas Equilíbrio (cont. σ d d d d σ dn d σ d n( logo σ σ d n( dn n( d y
20 Teoria de Vigas Equilíbrio (cont. σ d d d d σ dm d σ d V logo σ σ d dm V ( d
21 Teoria de Vigas Equilíbrio (cont. σ d d d d σ σ d q( dv d q( logo σ σ d dv q( d y
22 Teoria de Vigas Equilíbrio Etensão (Esforços iais Fleão (Esforços de Fleão dn d n( dm d dv d V ( q(
23 Teoria de Vigas Deformações ε ε ε 1 u u u du d d w d u Relações Constitutivas du σ Eε E E d σ Gε d w d
24 Teoria de Vigas Relações Constitutivas em termos dos esforços generaliados N du d w σ d E d E d d d du E d M du σ d E d d E d w d d EI d w d onde I é o momento de inércia da seção transversal da viga: I d
25 Teoria de Vigas Momento de Inércia I d Seção Retangular Seção Tubular h D I b 3 bh 1 I t π D t D 4 3 π D t 8
26 Momento de Inércia Seção Tubular t D Para D >> t
27 Momento de Inércia 4.5# 4.# 3.5# 3.#.5# t D.# 1.5# 1.#.5#.# # 1# # 3# 4# 5# 6# 7# D/t
28 Momento de Inércia 3%# ERRO RETIVO 5%# %# 15%# 1%# t D 5%# %# # 1# # 3# 4# 5# 6# 7# D/t
29 Teoria de Vigas q( 3D Teoria de Vigas (aproimação n( y q( n( 1D
30 Teoria de Vigas Teoria de Bernoulli-Euler u u (, (, u( w( dw d φ dw d 9 dw d
31 Teoria de Vigas Definição de Esforços Generaliados O Esforço Normal σ N N σ d
32 Teoria de Vigas Definição de Esforços Generaliados O Momento Fletor dn σ ( d σ M σ d M
33 Teoria de Vigas Definição de Esforços Generaliados O Esforço Cortante σ V V σ d
34 Teoria de Vigas Equilíbrio (Tensão Plana σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ d d d
35 Teoria de Vigas Equilíbrio Etensão (Esforços iais Fleão (Esforços de Fleão dn d n( dm d dv d V ( q(
36 Teoria de Vigas Deformações ε ε ε 1 u u u du d d w d u Relações Constitutivas: ESTDO UNIXI DE TENSÕES du d w σ Eε E E d d σ Gε
37 Teoria de Vigas Etensão (Esforços iais Fleão (Esforços de Fleão dn d N n( du E d dm d dv d M V ( q( EI q( d w d n( y y
38 Tensões de Fleão em Barras (vigas Deformação do segmento IJ M N ρ Δφ I J ( ρ y Δφ Compresão ρ ρ y I J y M N Eio Neutro (deformação nula Tração
39 Tensões de Fleão em Barras (vigas Deformação longitudinal ε I J IJ M N ρ Δφ I J ( ρ y Δφ ε y ρ IJ I J M N M N dφ y d Deformação cisalhante 1 ε y γ y Simetria (fleão pura
40 Tensões de Fleão em Barras (vigas Curvatura O y O curvatura no ponto B é definida como: dφ Δφ 1 1 k lim lim ds Δs Δs Δs O B ρ Δφ ρ B Δs C Δφ φ
41 Teoria de Vigas Etensão (Esforços iais Fleão (Esforços de Fleão dn d N n( du E d dm d dv d M V ( q( EI q( d w d n( y y
42 Teoria de Vigas Etensão (Esforços iais Tensões Fleão (Esforços de Fleão σ du E d Eε N σ d w E d Eε M I
43 Teoria de Vigas E. 1 (fleão: Viga bi-engastada sujeita a carregamento transversal uniforme q( - q cte. dm d dv d M V ( q EI d w d Condições de Contorno w( dw ( d w( dw ( d
44 Teoria de Vigas (E. 1 continuação dm V ( d dv q d d w M EI d EI 4 d w 4 d q w( 4 q 4EI c 1 3 c c 3 c 4 Utiliando-se as condições de contorno: c q, c3, c, e c1 4EI 4 q 1EI w( 4 q 4EI 4 3
45 Teoria de Vigas (E.1 continuação w( 4 q 4EI 4 3 M ( d w q EI d 1 w ma w( 4 q 384EI M M ( M ( ma q 1 ma { } q 3π D σ para viga de seção tubular (D/t >> 1 t
46 Teoria de Vigas Etensão (Esforços iais Fleão (Esforços de Fleão dn d N n( du E d dm d dv d M V ( q( EI q( d w d n( y y
47 Teoria de Vigas (E. E. (fleão: Viga simplesmente apoiada sujeita a carregamento transversal concentrado P / / 4 d w 4 d q(, EI q(,, < < < < função q( não está definida em /
48 Teoria de Vigas (E ( c c c c w d w d ( ( ( ( d d d d w d w d < < Para < < Para
49 Teoria de Vigas (E. Condições de contorno ( i w( ( ii M ( w''( ( iii w( ( iv M ( w''( Quatro condições de contorno para oito constantes! Deve-se considerar as condições de continuidade em /
50 Teoria de Vigas (E. Deslocamentos e rotações devem ser contínuos em / w( w( w'( w'( Condições de continuidade para o esforço cortante e momento fletor são obtidas a partir do equilíbrio de um elemento de volume em torno do ponto / P / /
51 Teoria de Vigas (E. P P ( M ( V ( M ( V EI P w w P V V w w M M '''( '''( ( ( ''( ''( ( (
52 Teoria de Vigas (E. (i (ii (iii (iv (v (vi (vii (viii w( c4 w ( c w( d4 w ( d 3 3 w ( w( d 8 d3 c1 8 c3 w' ( w'( 1 3d 1 4 d3 3c1 4 w ''( w''( 6d 6c1 w'''( w'''( 1 P EI 6d1 6c 1 c 3 P EI
53 Teoria de Vigas (E. Resolvendo para as constantes: ( vii c d ( vii ( v c d ( vii ( v ( vi 3c 4 c3 1 ( viii ( vi c P 1EI, e c P 16EI 1 3
54 Teoria de Vigas (E. Solução: < < < < EI P EI P w, , ( < < < < EI P EI P w, , '(
55 Teoria de Vigas (E. P P w'( 16EI P w'( 16EI w( 3 P 48EI
56 Resultados Tabelados P P δ ( 3 6EI ( δ ma θ ma 3 δ P ma 3EI θ P ma EI a P θ ma P EI δ ma θ ma δ ma Pa (3 a 6EI θ Pa ma EI M δ ma θ ma M δ ( EI δ M ma EI M θ ma EI
57 Resultados Tabelados q ( 6 q δ ( 4 4EI δ ma θ ma 4 δ q ma 8EI 3 θ q ma 6EI P δ ma θ ma 3 ( 3 4, P 48EI δ ( P 3 4 6EI 3 < 8( 3, > 3 δ P ma 48EI θ P ma 16EI q δ ma q 3 θ δ ( ( ma δ ma 4EI 4 5q 384EI 3 θ q ma 4EI
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