Resistência dos Materiais

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1 Resistência dos Materiais Eng. Mecânica, Produção UNIME Lauro de Freitas, Maio, 2016.

2 5 Análise e projeto de vigas em flexão

3 Conteúdo Introdução Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor Problema Resolvido 5.1 Problema Resolvido 5.2 Relações entre Força Cortante e Momento Fletor Problema Resolvido 5.3 Problema Resolvido 5.5 Projeto de Vigas Prismáticas em Flexão Problema Resolvido 5.8

4 Introdução Objetivo Análise e projeto de vigas. Vigas - elementos estruturais que suportam forças em vários pontos ao longo do elemento. Carregamentos transversais de vigas são classificados como forças concentradas ou como forças distribuídas. Forças aplicadas resultam em forças internas consistindo de força cortante que provoca tensões de cisalhamento e momento fletor que provoca tensões normais. Tensões normais dependem somente do valor do momento fletor e da geometria da seção. σ x = My σ I m = M c = M I S Requer a determinação da localização da distância entre a linha neutra e ponto onde se deseja a tensão.

5 Introdução Classificação das vigas de acordo com seus apoios.

6 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor Determinação dos valores máximos absolutos da força cortante e do momento fletor exige a identificação da força e do momento fletor na seção solicitada. Força cisalhante e momento fletor em um ponto são determinadas pela passagem de um corte na seção de aplicação e uma análise de equilíbrio nas partes de cada lado do corte. Existe convenção para as forças de cisalhamento V e V e o par de momento M e M

7 Problema Resolvido 5.1 SOLUÇÃO: Considerar a viga inteira como um corpo rígido, determinar as reações de apoio. Para a viga de madeira com o carregamento mostrado, trace os diagramas de força cortante e momento fletor e determine a tensão máxima provocada pelo momento fletor. Aplicar análise de equilíbrio no corpo livre para determinar as forças de cisalhamento interna e o momento fletor atuante. Identificar a seção onde ocorre o máximo momento fletor. Aplicar as fórmulas de flexão elástica para determinar a tensão normal máxima correspondente.

8 Problema Resolvido 5.1 SOLUÇÃO: Considerar a viga inteira como um corpo rígido, determinar as reações de apoio para F y =0= M B : R B =46 kn R D =14 kn Análise de equilíbrio do corpo livre: F y =0 20 kn V 1 =0 V 1 = 20 kn M 1 =0 (20 kn ) (0 m )+M 1 =0 M 1 =0 F y =0 20 kn V 2 =0 V 2 = 20 kn M 2 =0 (20 kn ) (2.5 m )+M 2 =0 M 2 = 50 kn m V 3 =+ 26 kn V 4 =+ 26 kn M 3 = 50 kn m M 4 =+ 28 kn m V 5 = 14 kn M 5 =+ 28 kn m V 6 = 14 kn M 6 =0

9 Problema Resolvido 5.1 Identificar a seção onde ocorre o máximo momento fletor. V m =26 kn M m = M B =50 kn m Aplicar as fórmulas de flexão elástica para determinar a tensão normal máxima correspondente. S= 1 b 6 h2 = 1 (0.080 m) ( m )2 6 = m 3 σ m = M B = N m S m 3 σ m = Pa

10 Problema Resolvido 5.2 A estrutura apresentada é construída de uma viga de aço perfil W250 x167 e dois membros curtos soldados entre si e a viga. (a) Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga com o carregamento dado. (b) determinar a tensão normal máxima nas seções à direita e à esquerda do ponto D. SOLUÇÃO: Substitua a força de 45 kn por um sistema equivalente de força e momento em D. Encontrar as reações em B, considerando a viga como um corpo livre. Realizar análise de equilíbrio nas seções da viga em pontos próximos do apoio e pontos de aplicação de carga resultando o corpo livre para determinar as forças de cisalhamento interna e o momento fletor. Aplicar as fórmulas de flexão elástica para determinar a tensão normal máxima à esquerda e à direita do ponto D.

11 Problema Resolvido 5.2 SOLUÇÃO: Substitua a carga de 45 kn por um sistema equivalente de força e momento em D. Encontrar as reações em B. Nas seções da viga aplicar análises de equilíbrio no resultado do corpo livre. De A para C : F y =0 45 x V =0 V = 45 x kn M 1 =0 (45 x) ( 1 x 2 ) +M=0 M = 22,5 x2 kn m De C para D : F y =0 108 V =0 V = 108 kn M 2 =0 108 ( x 1,2 )+M=0 M=(129, x) kn m De D a B : V = 153 kn M= (305,1 153 x ) kn m

12 Problema Resolvido 5.2 Aplicar as fórmulas de flexão elástica para determinar a tensão normal máxima à esquerda e à direita do ponto D. Do Apêndice C para uma viga de aço do tipo W250 x167, W = 2080 x 10 3 mm 3 em relação ao eixo X-X. Á esquerda de D: σ m = M W =226,8 106 N mm = 109 MPa mm 3 Á direita de D : σ m = M W =199,8 106 N mm = 96 MPa mm 3

13 Relações entre Força Cortante e Momento Fletor Relações entre força e força cortante: F y =0 : V (V +ΔV ) w Δx=0 ΔV = w Δx dv dx = w M C '=0: x D V D V C = w dx x C Relações entre força cortante e momento fletor: ( M +ΔM ) M V Δx+wΔx Δx 2 =0 ΔM =V Δx 1 w ( Δx )2 2 dm dx =V x D M D M C = x C V dx

14 Problema Resolvido 5.3 SOLUÇÃO: Considerando a viga inteira como um corpo livre, determine as reações em A e D. Aplicar a relação entre força e força cortante para desenvolver o diagrama de força cortante. Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. Aplicar a relação entre força cortante e momento fletor para desenvolver o diagrama de momento fletor.

15 Problema Resolvido 5.3 SOLUÇÃO: Considerando a viga inteira como um corpo livre, determine as reações em A e D. M A =0 0=D (7,2 m ) (94 kn ) (1,8 m ) (54 kn ) (4,2 m ) (60 kn ) (8,4 m ) D=125 kn F y =0 0= A y 94 kn 54 kn+125 kn 60 kn A y =83 kn Aplicar a relação entre força e força cortante para desenvolver o diagrama de força cortante. dv dx = w dv = w dx - inclinação zero entre as forças concentradas. - variação linear ao longo do segmento da força distribuída.

16 Problema Resolvido 5.3 Aplicar a relação entre força cortante e momento fletor para desenvolver o diagrama de momento fletor. dm dx =V dm =V dx - O momento fletor em A e E é igual a zero. - variação do momento fletor entre A, B, C e D é linear. - variação do momento fletor entre D e E é quadrática. - Onde o diagrama de força cortante passa pelo zero neste ponto haverá momento fletor máximo. - O somatório total de momento fletor em qualquer ponto da viga tem que ser zero.

17 Problema Resolvido 5.5 SOLUÇÃO: Considerando a viga inteira como um corpo livre, determinar as reações em C. Aplicar a relação entre força e força cortante para desenvolver o diagrama de força cortante. Esboce os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga em balanço mostrada. Aplicar a relação entre força cortante e momento fletor para desenvolver o diagrama de momento fletor.

18 Problema Resolvido 5.5 SOLUÇÃO: Considerando a viga inteira como um corpo livre, determinar as reações em C. F y =0= 1 w 2 0 a+r C R C = 1 w 2 0 a M C =0= 1 w 2 0 a ( L a ) 3 +M C M C = 1 w 2 0 a ( L a 3) Resultados da integração das distribuições de força e força cortante devem ser equivalentes. Aplicar a relação entre força e força cortante para desenvolver o diagrama de força cortante. a V B V A = w ( 1 x ) 0 0 a dx= [ w 0( x x2 2a )]0 V B = 1 w 2 0a= ( área sob a curva de força ) - Nenhuma força cortante entre B e C. - Compatível com a análise do corpo livre. a

19 Problema Resolvido 5.5 Aplicar a relação entre força cortante e momento fletor para desenvolver o diagrama de momento fletor. a M B M A = 0 M B = 1 3 w 0 a2 ( w 0( )) x x2 2 a dx= [ a w 0( x2 2 x3 6a )]0 L M B M C = ( 1 w 2 0 a ) dx= 1 w 2 0 a ( L a ) a M C = 1 6 w 0 a (3 L a )=a w 0 2 ( L a 3 ) Resultados em C são compatíveis com a análise do corpo livre.

20 Projeto de Vigas Prismáticas em Flexão A maior tensão normal é encontrada na superfície onde o momento máximo de flexão ocorre. σ m = M max c I = M max W Um projeto seguro requer que a tensão máxima normal seja inferior à tensão admissível do material utilizado. Este critério leva à determinação do mínimo módulo de resistência à flexão aceitável. σ m σ adm W min = M max σ adm Entre as escolhas para a seção das vigas que tem um módulo de resistência aceitável, aquela com o menor peso por unidade de comprimento portanto a menor área de seção transversal será menos cara e a melhor escolha.

21 Problema Resolvido 5.8 SOLUÇÃO: Considerando-se a viga inteira como um corpo livre, determine as reações em A e D. A viga de aço simplesmente apoiada, deve suportar as forças distribuídas e concentradas mostradas. Sabendo que a tensão normal admissível para a classe de aço a ser utilizado é de 160 MPa, selecione o perfil de mesa larga que deve ser usado. Desenvolver o diagrama de força cortante para a viga. A partir do diagrama, determine o momento fletor máximo. Determine o módulo de resistência mínimo aceitável para a seção da viga. Escolha a melhor seção padrão que atenda a este critério.

22 Problema Resolvido 5.8 Considerando-se a viga inteira como um corpo livre, determine as reações em A e D. M A =0=D (5 m ) ( 60 kn ) (1. 5 m ) (50 kn ) (4 m ) D=58. 0 kn F y =0= A y kn 60 kn 50 kn A y =52.0 kn Desenvolver o diagrama de força cortante e determinar o momento fletor máximo. V A = A y =52. 0 kn V B V A = (área sob a curva de força distribuída )= 60 kn V B = 8 kn Momento fletor máximo ocorre quando V = 0 ou x = 2.6 m. M max =( área sob a curva da força cortante entre A e E ) =67. 6 kn

23 Problema Resolvido 5.8 Determine o módulo de resistência da seção mínimo aceitável. W min = M max 67.6 kn m = σ adm 160 MPa = m 3 = mm 3 Escolha a melhor seção padrão que atenda a este critério. W