Para efeito de cálculo o engastamento deve ser substituído por um tramo adicional biapoiado (barra fictícia = Barra 3)

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Elias das Neves Castilho
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1 Exercício 1 Determinar os diagramas de esforços solicitantes para a viga abaixo pelo Equação dos Três Momentos. Determinar todos os pontos de momentos máximos. Calcular também as reações de apoio. Solução: 1) Determinação do Grau de Hiperestaticidade GH=2 2) Numeração das barras e nós As barras devem ser numeradas a partir do número 1. Os nós devem ser numerados a partir do número 0. Para efeito de cálculo o engastamento deve ser substituído por um tramo adicional biapoiado (barra fictícia = Barra 3) 3) Equação dos 3M para EI constante por trechos (aplicar 2 vezes, GH=2) L i M i-1 + 2(L i+l i+1)m i + L i+1m i+1 = - (D i L i + E i+1 L i+1) i=1 L 1.M 0 +2.(L 1+L 2).M 1 +L 2.M 2 = - (D 1.L 1+E 2.L 2) i=2 L 2.M 1 +2.(L 2+L 3).M 2 +L 3.M 3 = - (D 2.L 2+E 3.L 3) ) Momentos fletores M 0 =0 M 1 =? M 2 =? M 3 =0 Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1

2 ' EcIc 5) Vão Reduzido => Adotado E c I c =EI L k = Lk EIk Barra 1 L 1 ' = EI EI 3=3m Barra 2 L 2 ' = EI 2 EI =2m Barra 3 (barra fictícia) L 3 ' =0 6) Fatores de forma (Tabela) Barra 1 (superposição dos efeitos dos carregamentos) O momento fletor de 125kN.m deve ser escorregado para barra da direita ou para barra da direita com o mesmo sentido. No caso, optou-se pelo escorregamento para barra da esquerda (barra 1) e sentido anti-horário. D 1 = q L2 Barra 2 L=3m a=3m b=0 a2 +M 1-3 L 2 = (-125) =+1,25 E 2 = P a b L 1+ b L D 2 = P a b L 1+ a L = = 1+ 2 = =+225 Barra 3 (barra fictícia não tem carregamento) E 3 =D 3 =0 L=m a=2m b=2m Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 2

3 7) Solução da Equação dos 3M L 1.M 0 +2.(L 1+L 2).M 1 +L 2.M 2 = - (D 1.L 1+E 2.L 2) (3+2).M 1 +2.M 2 = - (1, ) 10.M 1 +2.M 2 =-1773,75 ( 2) M 2 = - 886,875 5.M 1 L 2.M 1 +2.(L 2+L 3).M 2 +L 3.M 3 = - (D 2.L 2+E 3.L 3) 2.M 1 +2.(2+0).M 2 =-( ) Substituindo M 2 2.M 1 +(-886,875-5.M 1 )=-50 M 1 =-172,083kN.m (convenção usual: sinal negativo significa momento em cima da viga) M 2 =-26,58kN.m 8) Momentos fletores Colocam-se os resultados dos momentos finais na convenção usual na viga. Portanto, os momentos fletores em cada barra são: 9) Cálculo dos esforços cortantes e momentos máximos: Para determinar esses diagramas é necessário isolar cada barra para analisá-la separadamente (Barra 1=BARRA AB Barra 2=BARRA BC). BARRA AB Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 3

4 Considerando a BARRA AB como bi-apoiada com os carregamentos iniciais mais os momentos encontrados pode-se achar a solução com as três equações de equilíbrio. As reações de apoios verticais da BARRA AB serão as cortantes da viga contínua hiperestática. F x =0 Não tem força na horizontal. M A =0 Adotado anti-horário positivo. V B esq 3 R 1,5-7,083 = 0 V B esq = 13,19 kn No diagrama de esforço cortante: Negativo pela convenção de sinal da cortante que estabelece que quando o esforço cortante for percorrer a barra no sentido anti-horário ele será negativo. F y =0 V A dir + V B esq - R = 0 V A dir = 111,806 kn No diagrama de esforço cortante: Positivo pela convenção de sinal da cortante que estabelece que quando o esforço cortante for percorrer a barra no sentido horário ele será positivo. Colocam-se esses valores encontrados no diagrama de esforço cortante. Neste caso o diagrama de esforço cortante mostra um ponto de cortante igual à zero (V=0). Neste caso tem-se um momento máximo neste ponto. Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página

5 Para determinação deste momento tem-se que definir a equação de momento fletor para esse trecho, derivá-la e igualá-la a zero. Assim, obtém-se a cota x para cortante igual a zero. Com esse valor volta-se na equação de momento e tira-se o valor do momento máximo. Equação do momento fletor. Isola-se um trecho x da BARRA AB. Intervalo 0 < x < 3. Calcula-se o momento no ponto S a uma distância x do ponto A. Adotado para cálculo do M s sentido horário positivo (Tração em baixo momento positivo ao calcular o momento se der positivo desenha do lado de baixo da viga; se der negativo desenha do lado de cima da viga). M S =111,806 x - R x 2 = 111,806 x - 85 x x 2 M S = 111,806 x - 2,5 x 2 Equação do momento fletor para BARRA AB. Verificação da Equação de momento fletor. x M 0 M A =0 OK! 3 M B = - 7,083 OK! A equação de esforço cortante pode ser obtida derivando a equação de momento fletor: V= dm =111,806-2,5 2 x = 111, x Equação de esforço cortante dx para BARRA AB. Verificação da Equação de esforço cortante. x V 0 V dir A = 111,806 kn OK! 3 V esq B = -13,19 kn OK! Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 5

6 Igualando a equação a zero tem-se o valor de x para qual o momento fletor é máximo. V= dm =111, ,5 x = 111, x = 0 dx Portanto, x = 1,315 m Volta-se equação de momento e obtém-se o valor de momento máximo: M MAX = 111,806 1,315-2,5 1,315 2 M MAX = 73,533 kn. msinal positivo: desenha do lado de baixo da viga. BARRA BC Da mesma forma, considerando a BARRA BC como bi-apoiada com os carregamentos iniciais mais os momentos encontrados pode-se achar a solução com as três equações de equilíbrio. As reações de apoios verticais da BARRA BC serão as cortantes da viga contínua hiperestática. F x =0 Não tem força na horizontal. M B =0 Adotado anti-horário positivo. V C esq , ,083 = 0 V C esq = 38,59 kn Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 6

7 No diagrama de esforço cortante: Negativo pela convenção de sinal da cortante que estabelece que quando o esforço cortante for percorrer a barra no sentido anti-horário ele será negativo. F y =0 V B dir + V C esq = 0 V B dir = 111,06 kn No diagrama de esforço cortante: Positivo pela convenção de sinal da cortante que estabelece que quando o esforço cortante for percorrer a barra no sentido horário ele será positivo. Colocam-se esses valores encontrados no diagrama de esforço cortante. Apesar de não se ter cortante igual a zero (V=0) precisa-se encontrar o momento no ponto R. Adotado para cálculo do M R sentido horário positivo (Tração em baixo momento positivo ao calcular o momento: se der positivo desenha do lado de baixo da viga; se der negativo desenha do lado de cima da viga). M R =V B dir 2 172,083 = 50,729 kn. msinal positivo: desenha do lado de baixo da viga. 6) Determinação das reações de apoio R A = V A dir = 111,806 kn R B = V B esq + VB dir = 13, ,06 = 25,6 kn R C = V C esq = 38,59 kn 7) Traçado dos diagramas de esforços solicitantes: Diagrama de esforço cortante Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 7

8 Diagrama de momento fletor O momento concentrado no nó B de 125 kn.m aparece no diagrama na descontinuidade do traçado (Salto de 172,083 7,083 = 125 kn. m) Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 8

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