Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial

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1 1/ Resistência dos Materiais 003/004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial 14ª Aula Duração - Horas Data - 13 de Novembro de 003 Sumário: Flexão segundo os dois Eixos Principais de Inércia ou Flexão Desviada. Flexão Combinada com Esforço Axial Objectivos da Aula: Apreensão da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão Desviada e da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão combinada com Esforço Axial. Resumo do Conteúdo da Aula 1- Flexão Segundo os Dois Eixos Principais ou Flexão Desviada Considere-se o caso de uma viga prismática, o caso mais simples, sujeita a um momento flector, M, que actua segundo um plano que não contém nenhum dos eixos principais de inércia da secção como se representa na figura A normal ao plano em que actua o momento fa um ângulo α com o eixo dos. α M M M M M α Figura 14.1: Flexão não Simétrica

2 / O momento aplicado, M, pode ser decomposto em dois momentos actuantes segundo as direcções principais de inércia da Secção e que são de acordo com a figura, M e M. Uma ve que a Secção considerada tem simetria em relação aos eixos dos e dos, as fórmulas deduidas para as tensões axiais em termos do Momento-flector são aplicáveis, à flexão no plano Ox e no plano Ox, ou seja aplicando o princípio da Sobreposição de Efeitos, M I M σ x = + (14.1) I onde I representa o momento de Inércia em relação ao eixo dos e I representa o momento de Inércia em relação ao eixo dos. A distribuição de tensões na secção está representada na figura 14.. O eixo neutro da secção que corresponde a tensões axiais nulas ocorre quando for: + Figura 14.: Distribuição de Tensões na Secção M M + = 0 ou seja para I I MI M I =+ (14.) onde / representa a tangente do ângulo γ, o qual representa o ângulo que a linha neutra fa com o eixo dos e corresponde à equação de uma recta que passa pelo centroide da Secção. Tendo em conta que M = Msenα e M = Mcosα, a tangente do ângulo γ toma a forma

3 3/ tan gγ= I tan gα I Os ângulos α e γ só são coincidentes quando forem iguais a 0º ou a 90º ou quando os Momentos de Inércia da Secção forem iguais I= I. Todo este articulado é válido desde que se considere a flexão em relação aos eixos principais de inércia como se pode facilmente verificar. Sempre que a flexão for considerada em relação aos eixos de Inércia as fórmulas de Flexão deduidas podem utiliar-se independentemente de existir simetria da secção em relação aos eixos principais uma ve que em relação a estes eixos o produto de Inércia I x, é nulo. Exemplo 14.1 Considere a viga com tramo em consola representada na figura 14.3, sendo a distância entre apoios de 4m e o tramo em consola de 1m, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de intensidade kn/m, cujo plano de solicitação fa um ângulo β=60º com o eixo dos, como se representa na referida figura. A secção da viga é rectangular de dimensões 0 00mm. Determine as tensões axiais máximas a que a viga está sujeita. kn/m Secção Recta Direcção da Carga A B C β 00mm 4m 1m 0mm Figura 14.3: Viga com Tramo em Consola Solução Podem determinar-se os Esforços Transversos e Momentos Flectores e calcular o Momento Máximo instalado. Começa por calcular-se as Reacções de Apoio que são tais que A+ B= 50 R R 4R B = 15 ou seja R B = 31.5kN e R A = 18.75kN

4 4/ No troço AB os Esforços Transversos e os Momentos são T = x T=0 implica x=1.875m M = 18.75x 5x para x=1.875m é M=17.578kN.m para x=4m é M=-5kN.m No Troço BC da viga os Esforços Transversos e Momentos Flectores são T = 50 x M = 18.75x (x 4) 5x = 50x 5x 15 para x=4 M=-5kN.m para x=5 M=0 O momento Máximo é M=17.578kN.m e ocorre na secção que corresponde a x=1.875m, portanto num ponto entre apoios. Este momento tem componentes segundo e segundo que são M = M cosβ= cos 60 = = kn.m M = Msenβ= sen60 = = 15.3kN.m Antes de calcular as tensões há necessidade de calcular os Momentos de Inércia, I e I que são I = 0 00 /1 = mm I = 00 0 /1 = mm Os pontos onde as tensões são potencialmente mais elevadas são os quatro cantos da secção e nesses pontos as tensões axiais são Para =50mm e =-0mm σ M M = + = ( 0 ) + (50 ) = 58.85Mpa I I x Para =-50mm e =-0mm 3 3 M M x 5 ( 0 ) 5 ( 50 σ = + = + ) = I I MPa Para =-50mm e =0mm σ M M = + = (0 ) + ( 50 ) = Mpa I I x

5 5/ Para =50mm e =0mm σ M M = + = (0 ) + (50 ) = 3.49MPa I I x Exemplo 14. Considere-se uma viga cuja secção tem a forma em L como se representa na figura 14.4 e determine-se as tensões axiais de flexão na Secção da viga em que o Momento Flector é igual a 0kN.m segundo. 1 30mm 00mm θ 68.15mm mm 150m Figura 14.4: Secção não Simétrica Resolução Começa por Determinar-se a posição do centro de Gravidade que é tal que b = = 43.15mm b = = 68.15mm Seguidamente determinam-se os momentos de inércia e produto de Inércia em relação aos eixos O e O

6 6/ I = ( ) ( ) = mm I = ( ) ( ) = mm 1 I = ( )( ) ( )( ) = mm Os momentos de Inércia Principais são I+ I I I 6 4 max = 1 = + + = I I I mm I+ I I I 6 4 min = = + = I I I mm O ângulo θ é tal que 6 4 I tan gθ= = ou seja I θ= 8.187º I Uma ve conhecida a posição dos momentos de Inércia Principais podem considerar-se as fórmulas de flexão anteriormente deduidas e determinar as tensões axiais considerando a flexão em relação aos eixos principais 3 4 M cos 0 cos N.m M = θ= = 3 3 M = Msenθ= 0 sen8.187 = N.m As tensões são calculadas a partir da fórmula seguinte e nos pontos críticos. M M σ x = + I I

7 7/ - Momento Combinado com Esforço Axial Considere-se uma viga prismática sujeita a um esforço axial, P, com uma excentricidade e em relação ao eixo da viga, como se representa na figura Note-se que neste caso a viga fica sujeita ao efeito combinado de uma carga P e de um momento flector Pe, como se representa na referida figura. No caso do esforço axial ser de compressão deve ter-se em atenção que quando as deformações deixarem de ser linear elásticas podem ocorrer problemas de encurvadura. + e P P x x + Pe P P Figura 14.5: Flexão Composta com Esforço Axial A excentricidade e tem duas componentes, e, o momento resultante Pe pode decompor-se em dois momentos um segundo que é M = P e um momento segundo que é M = P. As tensões axiais que se desenvolvem na viga resultam do esforço axial, P e dos dois momentos M e M, sendo, por aplicação do princípio da sobreposição de efeitos, as tensões σ x P M = + M A I I (14.3) onde A representa a área da Secção e I e I representam os momentos de Inércia. Uma ve que o momento resultante foi decomposto em dois momentos segundo as direcções principais de Inércia tornou-se possível utiliar as fórmulas de flexão deduidas anteriormente.

8 8/ 3- Problemas Propostos 1. Considere uma viga com vão de 4m e com uma secção rectangular de dimensões, 15 0cm, como se representa na figura A viga está sujeita a uma carga pontual, P=6kN, no ponto médio que actua na direcção diagonal da secção, como se representa na referida figura. Determine as tensões longitudinais máximas e determine a orientação do plano neutro da secção. P P=6kN 00mm m m 150mm Figura Considere uma viga encastrada de secção cruciforme, como se representa na figura A viga está sujeita a uma carga, P=0N, com a orientação relativa à secção que se representa na figura. Determine: a) as tensões longitudinais máximas na secção que se encontra a 30cm do ponto de aplicação da carga. b) na referida secção os pontos que correspondem a tensões longitudinais nulas.

9 9/ mm 6mm 3.00m x P 5mm P 15mm Figura Considere a viga em consola representada na figura 14.8 sujeita a uma carga vertical no extremo no plano Ox e a uma carga com a direcção do eixo dos e com o sentido positivo do eixo dos, aplicada no ponto C e na faceta que corresponde a = -50mm: c) Determine as tensões nos pontos E e F da Secção A_ª d) Determine a orientação da linha neutra da Secção na secção que se localia a uma distância de 300mm da extremidade livre da viga. 800mm 300mm A B Secção A-A Secção B-B C C A x P=kN B E 0mm F P =0kN C 150mm P=kN Figura 14.8

10 / 4. Considere a viga simplesmente apoiada de m de comprimento, representada na figura 14.9, sujeita a um esforço axial N=50kN e a uma carga uniformemente distribuída de intensidade 5kN/m e determine as tensões máximas de tracção e compressão. A secção recta é rectangular de dimensões 80 0mm. 5kN/m Secção Recta 50kN 50kN 0mm m 80mm Figura 14.9: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Esforço Axial 4- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995, páginas Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.