Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial

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1 1/8 Resistência dos ateriais 003/004 urso de Gestão e Engenharia Industrial 10ª ula e 11ª ula Duração - Horas Data - 3 de Novembro de 003 Sumário: onceito de viga. Vigas Isostáticas. Equações de Equilíbrio de Forças e omentos. Reacções de poio. Esforços Transversos e omentos Flectores. Esforço ial. Diagramas de Esforços. Objectivos da ula: Rever a forma de álculo de Reacções de poio em Vigas Isostáticas e prender a traçar os Diagramas de Esforços Transversos e omentos Flectores. Resumo do onteúdo da ula 1- Introdução Uma peça linear pode estar sujeita a forças laterais, esforços transversos e momentos flectores como se representa na figura 10.1, podendo ser considerada plana ou tridimensional conforme o tipo de solicitação a que está sujeita. No caso das acções estarem contidas num plano, o chamado plano de solicitação que também contém o eio da peça linear, a viga é dita viga plana, é sobre este tipo de vigas que se vai fazer incidir a maior parte do estudo sobre peças lineares. O tipo de ligações ao eterior usualmente consideradas estão também representadas. s peças lineares consideradas são do tipo viga plana isostática, isto é, são vigas cujo eio está contido no plano de solicitação e para as quais as equações da Estática são suficientes para efeitos de cálculo das reacções de apoio. Os tipos de apoios considerados são: o encastramento, que impede todos os movimentos de rotação e translação, o apoio duplo que impede dois movimentos de translação e o apoio simples que impede um movimento de translação. No caso das vigas planas, no encastramento desenvolvem-se três reacções, duas forças e um momento, no apoio duplo desenvolvem-se duas reacções que são duas forças e no apoio simples desenvolve-se uma reacção que é uma força. Nas secções de corte consideradas em nas vigas da figura 10.1, estão representados os esforços que se desenvolvem e que são esforços transversos, T e momentos Flectores,, estes esforços surgem em consequência da necessidade de cada um dos sólidos elementares em que a viga foi decomposta estarem em equilíbrio. Os diagramas de corpo livre para as duas vigas planas consideradas estão representados na figura 10..

2 /8 Encastramento poio Duplo poio Simples T T T T Figura 10.1: Esforços Transversos e omentos Flectores Encastramento poio Duplo poio Simples θ sen θ cosθ sen θ θ cosθ θ /senθ / senθ Figura 10.: Diagramas de orpo ivre Neste capítulo pretende-se proceder ao cálculo das reacções nos apoios de vigas planas sujeitas a acções eternas e ao cálculo dos esforços transversos e momentos flectores nas várias secções das vigas. Os tipos de acções mais frequentes, a que uma viga pode estar sujeita, são as acções ditas concentradas e as acções ditas distribuídas. carga concentrada numa viga é considerada aplicada num ponto para efeitos de cálculo e as cargas distribuídas estão distribuídas numa parcela da viga. ara efeitos de cálculo, as acções, desde que possível, são reduzidas a cargas distribuídas por unidade de comprimento e a cargas concentradas.

3 3/8. Esforços Internos e Eternos s cargas eteriores e as reacções de apoio constituem o conjunto dos esforços eternos na viga, as forças directamente aplicadas são em geral conhecidas e as reacções de apoio necessitam em geral de ser calculadas. Os esforços internos são os esforços que se desenvolvem numa secção da viga e são obtidos considerando um corte na viga passando na referida secção e impondo o equilíbrio estático de cada uma das partes em que a viga ficou dividida. ara efeitos de cálculo das Reacções de apoio em vigas planas isostáticas é suficiente considerar as equações de equilíbrio de forças e momentos, conhecidas da Estática. onsidere-se uma viga isostática plana, por eemplo uma das vigas representadas na figura s equações de equilíbrio de forças a considerar são duas, a equação de equilíbrio de forças segundo e a equação de equilíbrio de forças segundo F = 0 F = O eio dos é considerado coincidente com o eio da viga, o eio dos é considerado perpendicular ao eio dos e contido no plano de solicitação e o eio dos zz é normal ao plano O. lém das duas equações de equilíbrio de forças já referidas é necessário considerar a equação de equilíbrio de momentos segundo z num ponto z = p() p() p() p() Figura 10.3: Vigas Isostáticas lanas O número de equações necessárias para efeitos de cálculo das reacções são três, eventualmente duas no caso de não eistirem forças aiais. s equações de equilíbrio estático a considerar para efeitos de cálculo dos esforços internos são as equações de equilíbrio de momentos e forças, referidas no cálculo das reacções, no caso da viga estar sujeita a forças no plano de solicitação.

4 4/8 fim de eemplificar o cálculo de reacções e esforços internos, vão considerar-se alguns casos simples.1.vigas Encastradas onsiderem-se as vigas encastradas representadas na figura 10.4 e calculem-se as reacções de apoio. No caso das vigas da figura não eistem esforços aiais e é necessário considerar apenas duas equações de equilíbrio, uma equação de equilíbrio de forças segundo e uma equação de equilíbrio de momentos segundo z. s duas reacções eistentes são uma reacção R e um momento, como se representa na figura. p()=p R R F = 0 R = z = 0 = F = 0 R = p p z = 0 = / Figura 10.4: Reacções de poio em Vigas Encastradas No caso de se tratarem de outras solicitações, as equações de equilíbrio a considerar ainda seriam as mesmas, mas as forças intervenientes seriam distintas. Eemplo 10.1 onsidere a viga encastrada representada na figura 10.5 e determine a) s reacções de poio. b)os Esforços Transversos e os omemtos Flectores nas Secções - e-. Resolução a) álculo das Reacções de poio F = 0 R = 80 0 = 100kN z = 0 = = 480kN.m R = 100kN; = 480kN.m

5 5/8 10kN/m 3.0m.0m 0kN R T T 0kN 8m T 0kN R T Figura 10.5: Viga Encastrada b)álculo dos Esforças Transversos em - e - O esforço T é igual à resultante das forças à direita da Secção -, ou seja T = = 70kN O esforço T é igual à resultante das forças à direita da Secção -, ou seja T = 0 10 = 40kN álculo dos omentos flectores em - e - O momento é igual ao momento em - das forças à direita da Secção -, ou seja = = 5kN.m O momento é igual ao momento em - das forças à direita da Secção -, ou seja = = 60kN.m..Vigas Simplesmente poiadas onsiderem-se as vigas simplesmente apoiadas representadas na figura 10.6 e calculemse as reacções de apoio. No caso das vigas da figura não eistem esforços aiais e é necessário considerar apenas duas equações de equilíbrio, uma equação de equilíbrio de forças segundo e uma equação de equilíbrio de momentos segundo z. s reacções são uma reacção R em e uma reacção R em, como se representa na figura.

6 6/8 p()=p R R R R / / F = 0 R R = z = 0 R = / R = /; R = / F = 0 R R = p 0 R p z = = / R = p/; R = p/ Figura.6: Reacções em Vigas Simplesmente poiadas O cálculo das reacções de apoio é em geral necessário para efeitos de cálculo dos Esforços Transversos e omentos Flectores. Eemplo 10. onsidere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.7 e determine a) s Reacções de poio. b) Os Esforços Transversos e os omemtos Flectores nas Secções - e-. Resolução Equações de equilíbrio de forças e momentos F = 0 R R D = = 135kN z = 0 7 R D = = 47.5kN.m Resolvendo o sistema de equações obtido, obtém-se: R = 67.5; R D = 67.5

7 7/8 15kN/m.0m 30kN.0m D T 15kN/m T R 30kN 15kN/m R D T 15kN/m 3.5m 3.5m 15kN/m 30kN R D T R Figura.7: Viga simplesmente poiada b) álculo dos Esforças Transversos em - e - O esforço T é igual à resultante das forças à esquerda da Secção -, ou seja T = = 37.5kN O esforço T é igual à resultante das forças à esquerda da Secção -, ou seja = = 37.5kN T álculo dos omentos flectores em - e - O momento é igual ao momento em - das forças à esquerda da Secção -, ou seja = = 105kN.m O momento é igual ao momento em - das forças à direita da Secção -, ou seja = = 105kN.m.3.Vigas Simplesmente poiadas com tramo em consola onsiderem-se as vigas simplesmente apoiadas com tramo em consola representadas na figura 10.8 e calculem-se as reacções de apoio. No caso das vigas da figura não eistem esforços aiais e é necessário considerar apenas duas equações de equilíbrio, uma equação de equilíbrio de forças segundo e uma equação de equilíbrio de momentos segundo z. s reacções são uma reacção R em e uma reacção R em, como se representa na figura.

8 8/8 p()=p R /3 R R R /3 /3 /3 /3 F = 0 R R = z = 0 R /3 = /3 R = /; R = / F = 0 R R = p z = 0 R /3 = = 4p /18 5p /18 R = p/3; R = 3p/4 Eemplo 10.3 Figura 10.8: Vigas Simplesmente poiadas com tramo em onsola onsidere a viga simplesmente apoiada com tramo em consola representada na figura 10.9 e determine a) s Reacções de poio. b) Os Esforços Transversos e os omentos Flectores nas Secções - e -. Resolução a) álculo das Reações de poio Equações de equilíbrio de forças e momentos F = 0 R R D = = 115kN z = R D = = 365kN.m Resolvendo o sistema de equações obtido, obtém-se: R = 33.8( 8 )kn;r D = 81.1(1)kN b) álculo dos Esforças Transversos em - e - O esforço T é igual à resultante das forças à esquerda da Secção -, ou seja T = 33.88( 8 ) 0 = 13.8( 8 )kn O esforço T é igual à resultante das forças à direita da Secção -, ou seja T = 5kN

9 9/8 0kN/m.0m.5m D 5kN 1.0m 1.0m T 0kN/m T R 0kN/m 0kN/m R D T 5kN 5kN T R R D Figura.9: Viga simplesmente poiada com tramo em consola álculo dos omentos flectores em - e - O momento é igual ao momento em - das forças à esquerda da Secção -, ou seja = 33.8( 8 ) 0 1 = 7.7(7 )kn.m O momento é igual ao momento em - das forças à direita da Secção -, ou seja = 5 1 = 5kN.m 3. Diagramas de Esforços O diagrama de esforços transversos é um gráfico que mostra o valor do esforço transverso em função da distância ao longo do eio da viga e o diagrama de momentos flectores é um gráfico que mostra o valor do momento flector em função da distância ao longo do eio da viga. ara traçar os diagramas de esforços (entendidos como esforço transverso e momento flector) é necessário considerar um corte na viga a uma distância da origem e determinar os valores dos esforços transversos e momentos flectores em função de e desenhar o gráfico das funções obtidas. ara ilustrar o processo, considerem-se os eemplos seguintes. No traçado dos diagramas de esforços transversos e momentos flectores usa-se a convenção de sinais representada na figura10.10.

10 10/8 Esforços Transversos ositivos omentos Flectores ositivos Esforços Transversos Negativos - omentos Flectores Negativos Figura 10.10: onvenção de Sinais Eemplo 10.4 onsidere a viga encastrada representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. T R T T = = Figura 10.11: Viga Encastrada- arga ontual Resolução: Em geral, é necessário calcular as reacções de apoio, no caso da viga encastrada pode evitar-se o cálculo das reacções de apoio considerando a origem do sistema de eios na etremidade livre da viga como se representa na figura O esforço transverso numa secção a uma distância da etremidade livre são como se representa na figura T= e =.

11 11/8 O traçado dos diagramas é facilmente feito tendo em conta que T é constante e igual a e é linear sendo a recta de inclinação, como se representa na figura T = R - = Eemplo 10.5 Figura 10.1: Viga Encastrada sujeita a uma arga ontual onsidere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga pontual, representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. R a R = b/; R c = a/ b R R R T 0<<a a<< T Resolução: Figura 10.13: Viga Simplesmente poiada sujeita a uma arga ontual Determinação das Reacções de poio

12 1/8 F = 0 R R = z = 0 R = a ou R = b / ;R = a / ara efeitos de cálculo dos esforços transversos e momentos flectores a viga tem de ser dividida em duas partes, uma entre e, 0<<a e outra entre e, a<<, como se representa na referida figura. Os esforços transversos são: T = R =b/ para 0<<a T = R = R = a / para a<< sendo este esforço, de acordo com a convenção de sinais, negativo. Os momentos flectores são: = R = b / para 0<<a = R ( a ) = b / ( a ) para a<< De acordo com a convenção de sinais, estes momentos flectores, são positivos. Os diagramas de esforços estão representados na figura Esforços Transversos R = b/ R a b R R = a/ - R = b/; R c = a/ omentos Flectores ab/ Figura 10.14: Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente poiada-arga ontual Eemplo 10.6 onsidere a viga encastrada sujeita a uma carga uniformemente distribuida, representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.

13 13/8 p()=p T R R T T = p = / Figura 10.15: Viga Encastrada Sujeita a uma arga Uniformemente Distribuída Resolução: álculo das Reacções de poio F = 0 R = z = 0 = p p / O esforço transverso numa secção a uma distância da etremidade livre da viga é: T=p O momento flector numa secção a uma distância da etremidade livre da viga é: = p / Os diagramas de esforços estão representados na figura p()=p p T = p R R = p p = p / / - = / Figura 10.16: Diagramas de Esforços - Viga Encastrada - arga Uniformemente Distribuída

14 14/8 Eemplo 10.7 onsidere a viga simplesmente apoiada, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. R p()=p R R p()=p T T p()=p R = /; R c = / T = p/ p p/ p = / Figura 10.17: Viga Simplesmente poiada Sujeita a uma arga uniformemente Distribuída Resolução: álculo das Reacções de poio F = 0 R R = p 0 R p z = = / ou seja: R = R = p / O esforço transverso, numa secção a uma distância da etremidade da viga, é igual à diferença entre a reacção R e a resultante da carga distribuída ao longo de um comprimento : T = p / p O momento flector, numa secção a uma distância da etremidade da viga, é igual ao momento resultante da reacção de apoio R menos o momento da resultante da carga distribuída ao longo de um comprimento, ou seja: = p / p / Os diagramas de esforços estão representados na figura

15 15/8 Esforços Transversos T ( ) = p / p p/ omentos Flectores p/ ( ) = px / p / R = R = p / p /8 Figura 10.18:Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente poiada - arga Uniformemente Distribuída Eemplo onsidere a viga encastrada sujeita a uma carga linearmente distribuída, representada na figura.19 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. p()=p/ p()=p/ R R T R = p/ p = /6 p T = / p 3 = /6 T Figura 10.19: Viga Encastrada sujeita a uma carga linearmente distribuída Resolução: álculo das Reacções de poio F = 0 R = p / 0 p z = = / 6

16 16/8 uma distância da etremidade livre a intensidade da carga p() é p()=p/, como se representa na figura O esforço transverso, numa secção a uma distância da etremidade livre da viga, é igual à resultante da carga triangular de altura e base p/, ou seja: T = ( p / ) / = p / O momento flector, numa secção a uma distância da etremidade livre da viga, é igual ao momento resultante da carga triangular de altura e base p/: 3 = (p / ) ( / ) / 3 = p / 6 Os diagramas de esforços estão representados na figura p()=p/ Esforços Transversos R p/ T() = p / R = p/ p = /6 p /6 omentos Flectores - ( ) = p 3 /6 Figura 10.0: Viga Encastrada sujeita a uma arga inearmente Distribuída Eemplo onsidere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga linearmente distribuída, representada na figura 10.1 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.

17 17/8 p()=p/ p()=p/ T R R R R = p/ R = p/6 T = p / - p p/6 = p 3 /6 - p / p/6 T R Figura 10.1: Viga Simplesmente poiada Sujeita a um arregamento inearmente Distribuído Resolução: álculo das Reacções de poio F = 0 R R = 0 R = ou seja: R = p / 6; R = p / 6 = p / p / 6 O esforço transverso, numa secção a uma distância da etremidade da viga, é calculado determinando a diferença entre a reacção de apoio e a resultante da carga distribuida na área trapezoidal de comprimento, tendo em conta que a carga distribuída é p/p, ou seja: p ( p / p) T ( ) = R = p / p p / 6 O momento flector, numa secção a uma distância da etremidade da viga, é obtido por adição do momento resultante da reacção R com o momento resultante da carga trapezoidal de comprimento : ( p / p p) p ( p / p) ( ) = R 3( p / p p) ( ) = p 3 / 6 p / p / 6

18 18/8 Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.. p()=p/ p/6 Esforços Transversos - p/6 R R omentos Flectores T() = p / - p p/6 () = p /6- p / 3 p/6 Figura 10.: Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente poiada Sujeita a arga inearmente Distribuida 4. Equações de Equilíbrio onsidere-se uma viga rectilínea sob a acção de forças e momentos eteriores, como se representa na figura 10.3, um elemento da viga de dimensão d, a uma distância da origem do sistema de eios deve estar em equilíbrio sob a acção de forças eteriores e de esforços internos, momentos e esforços transversos. p() pd d T d TdT d T d TdT Figura 10.3: Esforços Transversos e omentos Flectores num Elemento de Dimensão Infinitesimal

19 19/8 s cargas eteriores aplicadas no elemento de dimensão d, têm uma resultante igual a pd, os esforços de corte ou transversos resultantes nas secções de corte são, T e TdT, como se representa na figura equação de equilíbrio de forças segundo o eio dos é: Simplificando obtém-se: ( T dt) T pd = 0 dt d = p equação de equilíbrio de momentos no elemento de dimensão d é: 10.3 ( 1 T dt ) d ( d ) pd( d) = 0 Desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira obtém-se: ou no limite Td d d = T d que representa a equação de equilíbrio de momentos no elemento de dimensão d. Substituindo a equação 10.4 na equação 10.3, obtém-se: = d = p d 10.5 Observando a equação 10.4 e 10.5, conclui-se que o máimo do momento flector ocorre para valores nulos do esforço transverso T, as equações 10.3, 10.4 e 10.5 resultam só da consideração do equilíbrio estático e são portanto independentes do material da viga. equação 10.3, pode ser integrada entre duas secções, uma a uma distância 1 e outra a uma distância da origem, obtendo-se: = dt = = 1 Designando por T1 o esforço transverso a uma distância 1 e por T o esforço transverso a uma distância da origem, a equação anterior toma a forma: T = T1 pd pd

20 0/8 equação 10.4, pode ser integrada entre duas secções, uma a uma distância 1 e outra a uma distância da origem, obtendo-se: = d = = 1 Designando por 1 o esforço transverso a uma distância 1 e por o esforço transverso a uma distância da origem, a equação anterior toma a forma = 1 Td O valor de T() pode ser obtido considerando a equação 10.6 e considerando =, ou seja: T ( ) = T 1 pd Substituindo este valor na equação 10.7 obtém-se: ( ) = 1 T1( 1) pd d s equações 10.8 e 10.9 podem ser utilizadas para calcular as epressões dos esforços transversos e momentos flectores a uma distância de um ponto de referência 1. Estas equações podem ser utilizadas para efeitos de traçado dos diagramas de esforços em alternativa ao processo utilizado no parágrafo anterior. 5. Diagramas de Esforços utilizando as Equações de Equilíbrio Os eemplos anteriormente considerados podem ser refeitos fazendo uso das equações de equilíbrio estático e da convenção de sinais anteriormente apresentada, estes eemplos podem ser bastante elucidativos quanto à utilização das referidas equações quer no que respeita à obtenção dos diagramas quer no que respeita à interpretação dos mesmos. lguns dos referidos eemplos serão repetidos considerando agora as equações de Equilíbrio Estático. Eemplo onsidere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.4 e fazendo uso das equações de equilíbrio estático, determine: a) Os diagramas de Esforços b) O momento máimo e o ponto em que ocorre. 1 Td

21 1/8 Resolução a) O cálculo das reacções de apoio é o primeiro passo, e este cálculo como foi indicado anteriormente conduz às reacções seguintes: R = b / ; R = a / viga tem de ser dividida em dois tramas, o tramo 1 que corresponde a 0<<a e o tramo que corresponde a a<<, no ponto em que está aplicada a carga pontual eiste uma discontinuidade no esforço transverso. carga p() nos dois tramos é p()=0. ara 0<<a o esforço transverso é: T ( ) = T (0) p( ) d = T (0) 0 ou seja tendo em conta que T(0)= R e que p()=0,o esforço transverso T() é: T ( ) = R = b / d a b R = b / ; R = a / 0 < < a p( ) = 0 T ( ) = T (0); ( ) = (0) R a < < p( ) = 0 T ( ) = T ( a ); ( ) = ( a) T ( ) d a T b / T ( / ) ( / ) ( / ) d T ( / ) Esforços Transversos dt / d = p( ) = 0 salto para T= omentos Flectores d / d = T = b / dt / d = 0 d / d = T = a / = b / = a ( ) / a/ Figura 10.4: Viga Simplesmente apoiada Sujeita a uma arga ontual ara 0<<a o momento flector é tal que. d / d = T ( ) = R = b / > 0 ou seja é rectilíneo uma vez que a inclinação é constante e crescente até =a, uma vez que a inclinação é positiva, ou seja integrando a equação anterior

22 /8 ( ) = (0) T ( ) d = R = b / 0 uma vez que (0)=0, () representa a área do diagrama de esforços Transversos entre 0 e. No ponto =a eiste uma discontinuidade de esforços transversos e considerando o equilíbrio de forças no elemento de dimensão d representado na figura conclui-se que é: T ( a ) = T ( a ) ou T ( a ) = T ( a ) = a / onsiderando o equilíbrio de momentos no referido elemento conclui-se que: ( a ) = ( a ) ou seja eiste continuidade de momento para =a, embora eista uma mudança de inclinação como resulta do facto de o esforço transverso à direita e à esquerda ter valores distintos, sendo um valor positivo e outro negativo. ara a<< o esforço transverso é: T ( ) = T ( a ) p( ) d = T ( a ) =-a/ 0 O momento flector para a<< é tal que: d / d = T ( ) = R = a / < 0 ou seja é rectilíneo tendo em conta que a inclinação é constante e decrescente ente =a e =, atendendo que a inclinação é negativa, integrando a equação anterior obtém-se. ( ) = ( a ) T ( ) d = R a R d = a( ) / a Os diagramas resultantes estão representados na figura a b) O momento máimo ocorre no ponto a que corresponde um esforço transverso nulo, neste caso o referido ponto corresponde a =a. O momento correspondente é: =ab/. Eemplo onsidere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.5 e fazendo uso das equações de equilíbrio estático, determine: a)os diagramas de Esforços b)o momento máimo e o ponto em que ocorre.

23 3/8 Resolução a)o cálculo das reacções de apoio é o primeiro passo, este cálculo, como foi indicado anteriormente, conduz às reacções seguintes: R p / ; R p / = = Neste caso não há necessidade de dividir a viga em troços tendo em conta que a carga é uniformemente distribuída em todo o tramo, não havendo lugar a discontinuidades de carregamento ou ligação ao eterior. carga p() é p()=p e consequentemente é: T ( ) = T (0) p( ) d = T (0) p 0 Tendo em conta que T(0) é igual à reacção no apoio, a epressão de T() toma a forma: T ( ) = T (0) p = R p = p / p p / T Esforços Transversos dt / d = p p / R = p / ; R = p / p( ) = p T ( ) = T (0) p ( ) = (0) T ( ) d 0 omentos Flectores d / d = 0 p / 8 d / d > 0 d / d < 0 Figura 10.5: Viga Simplesmente poiada Sujeita a uma arga Uniformemente Distribuída O momento flector é obtido por integração da equação d/d=t(), ou seja: ( ) = (0) T ( ) d = p / p / 0 b) O momento flector máimo ocorre quando for T()=0, ou seja para =T(0)/p. Tendo em conta que T(0) é igual à reacção em e que tem o valor de p/, a distância a

24 4/8 que ocorre o momento máimo é =/. O momento máimo é: ( / ) = p / 8 Eemplo 10.1 onsidere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.6 e determine: a) s Reacções de poio b) b)os diagramas de Esforços c) c)os valores máimos dos Esforços e sua localização Resolução: a)fazendo uso das equações de equilíbrio estático obtém-se: 6kN/m 6.0m 4.0m Reacções de poio R = 5.kN ; R = 10. 8kN ( ) = (0) 3 5. T 5. T ( ) = 6 5. Esforços Transversos dt / d = 6 dt / d = 0 omentos Flectores d / d = 0 T ( ) = ( ) = Figura10.6: Viga Simplesmente poiada parcialmente carregada com arga Uniformemente Distribuída F = 0 R R = 36kN z = 0 10 R = 36 3 ou seja: R = 5.kN e R = 10. 8kN b) ara 0<<6 a equação de equilíbrio de forças é:

25 5/8 dt = 6 donde se conclui que T ( ) = T (0) 6 = 6 5. d equação de equilíbrio de momentos para 0<<6 é: d = T ( ) = 6 5. d donde se conclui que ( ) = (0) 3 5. = 3 5. ara 6<<10 a equação de equilíbrio de forças é: dt = 0 donde se conclui que T ( ) = T (6) d p( ) d = equação de equilíbrio de momentos para 6<<10 é: d = T ( ) = 10.8 d donde se conclui que ( ) = (6) T ( ) d = = Os diagramas que resultam das epressões acabadas de obter estão representados na figura c) O valor máimo do momento ocorre para T()=0 o que corresponde a ser no intervalo 0<<6 e ao valor T ( ) = 6 5. = 0, donde se conclui que =4.m. ara este valor de, o momento é: ( 4.) = = 5.9kN. m Eemplo onsidere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.7 e determine: a) s Reacções de poio b) Os diagramas de Esforços c) Os valores máimos dos Esforços e sua localização.

26 6/8 10kN/m 0kN T Esforços Transversos T ( ) = T ( ) = 0 R 4.0m R.0m omentos Flectores ( ) = 10 5 R = 10 kn ; R = 50kN ( ) = 40 0 Figura 10.7: Viga Simplesmente poiada com Tramo em onsola Resolução: a)fazendo uso das equações de equilíbrio estático obtém-se: F = 0 R R = 60 = 0 4 R = = = 00 s reacções de apoio são em consequência das equações anteriores R = 10 kn R = 50kN b)no troço 0<<4 a equação de equilíbrio de forças é dt = 10 que conduz a T ( ) = T (0) d 10d = No troço 0<<4 a equação de equilíbrio de momentos é d = T () que conduz a = d = ( ) (0) (10 10) d No troço 4<<6 a equação de equilíbrio de forças é dt = 0 que implica que seja: T ( ) = T (4) d 0d = T (4) = = 0kN 4 tendo em conta que no ponto eiste uma discontinuidade do esforço transverso sendo o esforço transverso À direita de igual a 30kN e à esquerda de igual a 0kN, como resulta da eistência de uma reacção concentrada em. No troço 4<<6 a equação de equilíbrio de momentos é: d = T () que d implica que seja:

27 7/8 ( ) = (4) 0d = = Os diagramas resultantes das equações obtidas estão representados na figura roblemas ropostos para Resolução na ula 1. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e, para as vigas simplesmente apoiadas representadas nas figuras 10.8 a) f) =1500N.m 000N/m =1m 0.5m 0.5m a) =3000N =1500Nm kn/m d) 4kN/m 0.5 m 0.5m 3m m b) 1000N/m 3kN/m e) 3kN/m 0.5m 0.5m c) 0.5m 0.5m 0.5m f) Figura 10.8: Vigas Simplesmente poiadas. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e, para as vigas simplesmente apoiadas com tramos em consola representadas nas figuras 10.9 a) f)

28 8/8 =1500N.m 000N/m =1m 0.5m 0.5m =3kNm a) =kn kn/m d) 4kN/m 0.5 m 0.5m 0.5m 3m m b) 1000N/m 3kN/m e) 3kN/m 0.5m 0.5m 0.5m 0.5m 0.5m c) f) Figura 10.9: Vigas com tramos em onso 3. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e, para as vigas encastradas representadas nas figuras a) e b) knm 4.5kN/m knm 5kN/m 0.5m 0.5m 0.5m 0.5m 5kN 0.5m a) b) 7- eituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, ecânica e Resistência dos ateriais, Ediliber Editora, arlos oura ranco, ecânica dos ateriais, Teoria e plicação, cgraw-hill, J. F. Silva Gomes, pontamentos de ecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.