Sumário e Objectivos. Sumário: Tensões de corte em Secções de parede delgada. Centro de corte. Tensões de corte em peças mistas ou compostas.

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Brian Brás de Sousa
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1 Sumário e Objectivos Sumário: Tensões de corte em Secções de parede delgada. Centro de corte. Tensões de corte em peças mistas ou compostas. Objectivos da Aula: Ser capaz de calcular as tensões de corte em peças delgadas não simétricas e mistas. Ser capaz de determinar o centro de corte. 1

2 Viga Carregada 2

3 Tensões de Corte 3

4 Vigas em Consola 4

5 Tensões de Corte em Vigas com Secções Rectas Abertas de Paredes Delgadas Na secção anterior procedemos ao cálculo das tensões tangenciais verticais,τ xy, na secção de vigas sujeitas a um esforço transverso V. Os planos de corte foram considerados a uma distância do eixo dos zz e paralelos a Oxz, sendo Ox coincidente com a direcção do eixo da viga. No caso das secções rectas serem abertas e de paredes delgadas é possível considerar planos de corte com orientações distintas, nomeadamente com orientações tais que o plano de corte seja paralelo a Oyx como se representa na figura seguinte. Nestas condições podem calcular-se as tensões, τ xz que ocorrem na faceta perpendicular ao eixo dos zz e que têm a direcção do eixos dos xx, como se representa na figura. As tensões que aparecem no banzo são iguais a τ zx, como resulta da simetria do tensor das tensões. 5

6 Tensões de Corte em Vigas com Secções Rectas Abertas de Paredes Delgadas y a z τ xz = VS Ie onde S é o momento estático da área abcd em relação ao eixo dos zz. 6

7 Vigas de Secção Aberta. Fluxo das Tensões de Corte 7

8 Exemplo 14.1 Considere a viga cuja secção tem a forma de T como se representa na figura e determine as tensões que se desenvolvem junto ao plano de corte que intersecta a secção em a-b como se representa na figura. Determine também as forças resultantes. Admita que a viga está sujeita a uma solicitação tal que produz um esforço cortante T=5kN na secção em que se pretendem as tensões. 8

9 Exemplo 14.1 É indispensável determinar a posição do centro de gravidade da Secção. Para isso considera-se que y A y + A y g = = = A A mm Uma vez conhecida a posição do centro de gravidade há necessidade de calcular o momento de Inércia, que é I z = ( ) ( ) = mm

10 Exemplo 14.1 É necessário calcular também o momento estático da área de corte que é 4 3 S = ( ) = mm Uma vez determinados os momentos de Inércia da Secção e o momento estático da área de corte pode aplicar-se a fórmula de Jouravsky e determinar as tensões de corte que são 5 VS τxz = = = 0.29MPa 6 3 Ize Para determinar a força resultante convém calcular a tensão τxz máxima na secção que corresponde à área de corte 60 30, cujo momento estático é: 4 3 S = ( ) = mm 5 TS τxz = = = 0.44MPa 6 3 Ize / 2 F = = 396N 10

Centro de Corte No caso da viga em U representada na figura, cujo centro de gravidade é G, as forças F 1 tendem a produzir torção no caso do plano de solicitação passar por G, como resultado da

11 Centro de Corte No caso da viga em U representada na figura, cujo centro de gravidade é G, as forças F 1 tendem a produzir torção no caso do plano de solicitação passar por G, como resultado da acção do momento resultante que é F 1 h, sendo τ xz max F1 = b e 2 e a espessura do U considerada pequena quando comparada com as restantes dimensões. V F 1h = Vd d = F1h V V- Esforço Transverso 11

12 Exemplo

13 Exemplo 15.1-Resolução 13

14 Exemplo 15.1-Resolução 14

15 Exemplo 15.1-Resolução 15

16 Exemplo 15.1-Resolução 16

17 Exemplo 15.1-Resolução 17

18 Exemplo 15.1-Resolução 18

19 Exemplo 15.1-Resolução 19

20 Exemplo 15.1-Resolução 20

21 Exemplo 15.1-Resolução 21

22 Exemplo 15.1-Resolução 22

23 Exemplo 15.1-Resolução 23

24 Exemplo 15.1-Resolução 24

25 Exemplo 15.1-Resolução 25

26 Exemplo 15.1-Resolução 26

27 Exemplo 15.1-Resolução 27

28 Exemplo 15.1-Resolução 28

29 Exemplo 15.1-Resolução 29

30 Exemplo 15.1-Resolução 30

31 Exemplo 15.1-Resolução 31

32 Exemplo 15.1-Resolução 32

33 Exemplo 15.1-Resolução 33

34 Exemplo 15.1-Resolução 34

35 Exemplo 15.1-Resolução 35

36 Exemplo 15.1-Resolução 36

37 Exemplo 15.1-Resolução 37

38 Exemplo 15.1-Resolução 38

39 Exemplo 15.1-Resolução 39

40 Exemplo

41 Exemplo 15.2-Resolução 41

42 Exemplo 15.2-Resolução 42

43 Exemplo 15.2-Resolução 43

44 Exemplo 15.2-Resolução 44

45 Exemplo 15.2-Resolução 45

46 Exemplo 15.2-Resolução 46

47 Exemplo 15.2-Resolução + 47

48 Vigas Compostas 48

49 Vigas 49

50 Vigas Compostas 2 2 Mz = σx1yda + σx2yda = k E1 y da + E2 y da = A1 A2 A1 A2 =k + ( EI 1 1 EI 2 2) x1 = 1 x = 1ky σ E ε E M z k= EI + EI dm z dk = EI + EI x1 = 1 x = 1dky dσ E dε E x2 = 2 x = 2ky σ E ε E x2 = 2 x = 2dky dσ E dε E dσ dσ E dm EI EI 1 z x1 = y E dm EI EI 2 z x2 = y

51 ( ) F x = F A + F H - F A +d F A =0 ou FH =dfa Vigas Compostas - Tensão de Corte Caso 1: Acima da Secção de corte há só um material Sendo F H = τ xy bdx τ xy dy = E1dM z d F A = dσx1 ydy = abcd abcd EI 1 1+ EI z = E dm Sabcd EI 1 1+ EI 2 2 = E V S EI+ E I b 1 abcd c a 1 2 d b 51

52 Vigas Compostas Caso 2: Acima da Secção de corte há dois materiais 1dM z 2dM z d dy + d dy = E dy + E F A = dσx1 σx2 y ydy = cdef abcd cdef EI 1 1+ EI 2 2 cdef EI 1 1+ EI z 2 z = EdM Scdef + E dm Sabcd EI 1 1+ EI 2 2 EI 1 1+ EI 2 2 τ xy = E1V Scdef E2V EI+ E I b + EI+ E I S b abcd e c a 1 2 f d b 52

53 Vigas Compostas- Método da Secção Equivalente Caso 1: Homogeneização no material 1 Dividindo o numerador e o denominador por τ xy = E V S EI+ E I b 1 abcd E1 c a 1 d b τ xy = V Sabcd V S I + ni b = I b 1 2 eq abcd 2 53

54 Vigas Compostas - Método da Secção Equivalente Caso 1: Homogeneização no material 2 τ Dividindo o numerador e denominador por c a 1 d b τ xy xy = E V S EI+ E I b E2 1 abcd = mv Sabcd mv mi + I b = I 1 2 eq S b abcd 2 ms abcd momento estático da Secção equivalente 54

55 Peças Mistas A determinação das tensões de corte pode ser feita considerando o método da secção equivalente como foi considerado para o caso da determinação dos esforços axiais, sendo também possível considerar um método directo e deduzir as fórmulas adequadas para esse efeito. Sendo o momento de inércia equivalente, no caso de uma viga constituída por dois materiais I = I + n I eq 1 2 com n= E E

56 Problemas Propostos 1. Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga pontual P, representada na figura seguinte. A secção da viga foi obtida a partir de um perfil em I e dois perfis U colados como se representa na figura. A cola utilizada na ligação tem uma tensão máxima admissível ao corte de 300kPa e o material dos perfis tem tensões normais admissíveis de 150MPa e tensões de corte admissíveis de 80Mpa. Determine a carga máxima P que a viga pode suportar desprezando o peso próprio da viga e considerando as tensões admissíveis atrás referidas. 56

57 Problemas Propostos (cont.) 57

58 Problemas Propostos 2. Considere as secções representadas na figura e determine a posição do centro de corte. Admita que V = P. As secções são consideradas de espessura constante e igual a 15mm. 58

59 Problemas Propostos 3. Considere uma viga constituída por dois materiais distintos, cuja secção tem a forma representada na figura seguinte. Considere que as várias partes são coladas e determine as tensões de corte na secção nas várias zonas de colagem admitindo que o esforço cortante na secção é de 5kN. A unidade em que estão expressas as dimensões é o mm. O módulo de Young do material 1 é 200GPa e o módulo de Young do material 2 é 100GPa 59

60 Problemas Propostos (cont) 60

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