Sumário: Tensões Tangenciais Resultantes do Esforço Transverso em Secções Rectangulares, em I e em T.

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Suzana Lagos Castanho
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1 Sumário e Objectivos Sumário: Tensões Tangenciais Resultantes do Esforço Transverso em Secções Rectangulares, em I e em T. Objectivos da Aula: Ser capaz de determinar a forma como se distribuem as tensões tangenciais para algumas formas das secções. Ser capaz de utilizar a fórmula de Jouravsky. 1

2 Ponte 2

3 Corpo Humano 3

4 Barcos 4

5 5

6 Distribuição de Tensões Resultantes do Esforço Transverso Equação de Equilíbrio de Momentos dm = dx T 6

7 Tensões Axiais ou Longitudinais 7

8 Forças Resultantes das Tensões Axiais As tensões σ x distribuem-se na secção recta como se representa na figura 15.2 e variam entre σ x e σ x + dσ x no troço prismático da viga de comprimento infinitesimal dx, sendo os momentos resultantes das distribuições de tensões M e M+dM. Seccionando a viga pelo plano bdgh as forças axiais resultantes das tensões são F A e FA+ dfa, no troço prismático abcdefgh, podem ser calculadas a partir das tensões do seguinte modo F M M S MS I I I z z abeg abeg A = σxda = yda = = abeg abeg z z z onde S abeg representa o momento estático da área abeg em relação ao eixo dos zz F + d (M + d ) ( M+ dm) S cdfh z z z M z S cdfh A+ d M M FA= ( σx + d σx)da= yda= = cdfh cdfh z z z I I I 8

9 Equilíbrio de Forças na Direcção Longitudinal No troço prismático abcdefgh, de comprimento infinitesimal dx, actuam as forças axiais F A e F A + df A e um esforço interno, com a direcção do eixo dos xx, designado por esforço rasante ou de escorregamento, F H que resulta das tensões τyx distribuídas na secção de corte bdgh que fica a uma distância y 1 do eixo dos zz, estas forças têm todas a direcção do eixo dos xx e devem estar em equilíbrio como resulta da consideração da equação de equilíbrio estático de forças segundo xx, ou seja F x = F A + F H -( F A +d F A ) =0 ou Sendo F FH =dfa H = τ xy bdx dm d F A = S Iz τ yx dm S = dx bi z Fórmula de Jouravsky τ yx = TS b I z (1855) 9

10 Fórmula de Jouravsky No caso de existirem esforços transversos segundo os eixos dos yy e dos zz a fórmula de Jouravsky pode ser escrita para cada um dos planos de solicitação com a seguinte forma T ys T z zs y τyx = τ yx = h I y Nestas expressões os momentos de inércia I z e I y são momentos de inércia de toda a secção e os momentos estáticos S z e S y são momentos estáticos de uma das partes em que a secção ficou dividida pelo plano de corte, considerado ao nível e com a orientação em que se pretendem as tensões de corte na secção. bi z 10

representa na figura. A secção recta da viga é uma secção rectangular de dimensões b h.

11 Exemplo 14.1 A A Considere a viga encastrada sujeita a uma carga pontual, P, na extremidade livre, como se representa na figura. A secção recta da viga é uma secção rectangular de dimensões b h. Determine uma expressão para efeitos de cálculo das tensões de corte na secção recta A-A da viga. Faça um gráfico representativo do andamento das tensões de corte ao longo do eixo dos yy. 11

12 Exemplo Resolução O esforço transverso, T, é constante e igual a P. Nestas condições a tensão de corte é definida pela fórmula τ xy = PS Ib com h2 S= y 1 bydy 2 h/2 2 P y P h 2 xy = = y1 I 2 2I 2 y τ 1 O valor da tensão de corte máximo ocorre para y 1 = 0 neutro da secção e é que corresponde ao eixo 2 2 P h 12Ph 3P τ max = = = 3 2I 2 8bh 2A 12

13 Exemplo Resolução 13

14 Correcção à Tensão de Corte O valor da tensão máxima necessita em geral de sofrer uma correcção que depende do valor do coeficiente de Poisson, ν, pelo facto de não ser constante a tensão tangencial em toda a profundidade da secção, ou seja segundo o eixo dos zz para as tensões τ xy. Só no caso de ν ser igual a zero a que a fórmula acabada de deduzir para a tensão tangencial máxima se aplica sem correcção. A correcção a efectuar ao valor máximo obtido é dada pelo factor, α, ou seja τ max 3P =α 2A Com 2 ν h α= ν b 3 π n = 1 2 h n cosh nπ b 14

15 Exemplo 14.2 y P Secção Recta y x z h L e Considere a viga encastrada sujeita a uma carga pontual, P, na extremidade livre, como se representa na figura. A secção recta da viga é em I como se representa na referida figura, as espessura da alma e do banzo são iguais e designadas por e. Determine a forma como evolui a tensão de corte, na Secção da viga. Faça um esquema representativo da evolução das tensões na Secção. b 15

16 Exemplo 14.2-Resolução O esforço Transverso é constante e igual P. Para valores de y 1 compreendidos entre h/2 e h/2+e, ou seja no banzo, as tensões tangenciais τxy são τ xy = PS Ib sendo h2+ e S= y 1 bydy 2 h/2+ e 2 P y P h 2 xy = = + e y1 τ I 2 2I 2 y 1 Para valores de y 1 compreendidos entre 0 e h/2, ou seja na alma, as tensões tangenciais τ xy são τ xy = PS Ie sendo S h 2 = y 1 eyd y 2 h/2 2 h/2+ e P y Pb y P h 2 Pb h h xy = + = y1 + + e I 2 Ie 2 2I 2 2Ie 2 2 y h/2 τ 1 16

17 Exemplo 14.2-Resolução No Banzo b P 2 τmax = he + e 2I Na Alma a P h Pb τmax == + + 2I 2 2I 2 [ h e] 17

18 Exemplo 14.3 Uma viga em madeira, com 6 m de comprimento, está simplesmente apoiada nas extremidades e suporta uma carga de 15kN/m, incluindo o peso próprio. A secção recta da viga é constituída de vários elementos, conforme ilustrado na figura (dimensões em mm). O momento de Inércia da Secção é I z = mm 4. Determinar: a) A tensão máxima de flexão ( Tensão Axial). b) A tensão τ xy ao nível do eixo dos zz. c) A Tensão de corte horizontal sobre a secção a-a, da aba superior da viga 18

19 Exemplo 14.3 d) O espaçamento máximo entre os tacos B supondo que cada um deles pode suportar um esforço de corte de 4kN. e) Idem para os pregos c, supondo que cada um pode suportar um esforço de 6kN z B y a a c

20 Exemplo 14.2-Resolução a)tensão Axial ou de Flexão 15kN/m A R A =45kN B R B =45kN 45kN M max =67.5kNm 45kN 6m 3 M max max y MPa I z σ = =± =± M(x)=45x-15x 2 /2 20

21 Exemplo 14.3-Resolução b)tensão de Corte ao nível do eixo dos zz Momento Estático da área acima do eixo dos zz: S=( ) (50 50) 175+(300 50) 225= = mm 3 = m τ = = = z T S xy Ib 1.19MPa 3 21

22 Exemplo Resolução c) Tensão de Corte em a-a z S=(50 100) 200= mm 3 = m T S τ xz = = = Ib z MPa 22

23 Exemplo Resolução d) Espaçamento dos Tacos S=2 (50 50) 175+(300 50) 225= =4, mm 3 = m 3 O esforço Rasante na Secção é: R=T S/I z =( )/ =80760N/m O espaçamento é menor ou igual a 4000/R=0.05m ou seja o número de tacos por metro é 1/0.05= 20 tacos 23

24 Problemas Propostos 1. Considere a viga AB representada na figura constituída por três peças coladas entre si, como se representa. Determine a tensão de corte média nas juntas coladas da secção c-c. 24

25 Problemas Propostos 2. Considere uma viga cuja secção recta tem a forma representada na figura. No caso das tensões normais máximas admissíveis serem à tracção 150MPa e à compressão 300MPa e a tensão de corte admissível ser de 100MPa, determine o momento máximo que a viga pode suportar e o esforço de corte máximo que a viga pode suportar. 10cm 5cm 30cm 22.5cm 25

26 Problemas Propostos 3. Considere a viga representada na figura e despreze o efeito do peso próprio. Determine a tensão de corte na ligação entre as duas componentes do T e comente o resultado obtido. 26

27 Problemas Propostos (cont.) Direcção da Solicitação 27

28 Problemas Propostos 4. Considere a Viga Plana Isostática representada na figura, cuja secção recta também se representa e despreze o peso da viga para efeitos dos cálculos subsequentes. Determine a Tensão de Corte a uma distância de y=0mm do eixo neutro no caso de θ ser 0º, na secção que em que o esforço transverso for máximo. 28

29 Problemas Propostos (cont.) 29

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