MECÂNICA APLICADA II

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1 Escola Superior de Tecnologia e Gestão MECÂNICA APLICADA II Engenharia Civil 2º ANO EXERCICIOS PRÁTICOS Ano lectivo 2004/2005

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3 MECÂNICA APLICADA II I - Teoria do estado de tensão I.1 - Uma barra, com a secção quadrada de 40x40 mm 2, está submetida a uma força de tracção de 16 kn, conforme se representa na figura. Junta colada Secção 40 x 40 mm Nestas condições determine: a) a orientação a a dar a uma junta de colagem de forma a que a tensão normal não exceda 2 N/mm 2. b) qual a tensão tangencial correspondente? I.2 - O estado de tensão num ponto referido a um referencial [,, ] das tensões: x x x é dado pelo seguinte tensor σ = [MPa] a) Represente um elemento de volume no ponto, orientado segundo os eixos, com as tensões que o actuam. b) Calcule as tensões principais e as direcções principais (sua orientação em relação aos eixos [,, ] x x x ) c) Calcule a tensão normal e a tensão tangencial numa faceta cuja normal faz ângulos de 45º e 60º, respectivamente, com os eixos x 1 e x 2. d) Represente um elemento de volume tridimensional com as tensões que o actuam orientado ' ' ' segundo os eixos x1, x2, x 3 em torno do eixo x 2. que se obtém de [,, ] x x x por rotação de 30º no sentido directo Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos 1

4 I.3 - O tensor das tensões obtido num dado ponto de um corpo tem as seguintes componentes, expressas em N/mm 2. σ = σ [N/mm 2 ] a) Determine a componente σ 11 de modo que possa existir uma faceta, em torno do ponto, relativamente à qual seja nulo o vector de tensão. b) Determinar as componentes do vector normal unitário à referida faceta. c) Determine as tensões principais e as direcções principais de tensão no ponto considerado.~ I.4 - Considere o estado de tensão no ponto P definido no referencial [,, ] tensor: Sabendo que: 90 σ = a 0 a b [ MPa] x x x pelo seguinte O valor da maior tensão principal é 110 MPa e ocorre numa faceta caracterizada pelo versor normal n = ( 0,0,1) ; - O valor de a e de b são positivos; - O valor da tensão tangencial máxima no plano definido por [ x, x ] a) Determine os valores das constantes a e b. b) Qual o valor das tensões principais? 1 2 é 39 MPa; c) Determine o versor da normal a uma faceta em que a tensão normal vale 80 MPa. d) Determine as componentes do vector tensão que actua na faceta definida pelo versor n= ( 1, 2, n3 ) Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos

5 I.5 - Um cubo elementar destacado dum corpo, submetido a uma solicitação exterior, actuam as tensões indicadas no esquema: x 3 30 [Mpa] Determine: a) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos [, ] x x. 1 2 b) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos principais de tensão b.1) analiticamente b.2) graficamente c) A orientação das normais às facetas onde actuam x 1 x 2 as tensões principais. d) As componentes da tensão numa faceta igualmente inclinada sobre as três faces do cubo, a qual intersecta o cubo segundo as rectas a tracejado. (Sol.: σ N =16.7 MPa; τ =33.0 MPa) e) As componentes isotrópica e tangencial do tensor das tensões. Qual destas componentes é responsável pela variação de forma do corpo. Justifique. I.6 - Num ponto de uma estrutura conhecem-se as seguintes condições relativamente ao estado de tensão nas três facetas do elemento triangular infinitesimal representado na figura. A tensão normal na faceta AB é nula. τ A tensão tangencial na faceta BC é nula e a tensão normal vale 10 N/mm 2 com o sentido indicado. τ σ Sabendo que se trata de um estado plano de tensão, determine: a) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos [, ] x x. 1 2 b) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos principais de tensão. Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos 3

6 τ INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA c) Represente um elemento orientado segundo os eixos principais com as tensões que o actuam. d) Determine o versor da normal a uma das facetas em que a tensão tangencial é de 2 N/mm 2. I.7 - Represente esquematicamente a circunferência de Mohr para cada um dos seguintes estados planos de tensão. I.8 - Num ponto de uma superficie de uma placa verifica-se devido à actuação independente de duas solicitações (solicitação 1 e solicitação 2), os estados de tensão planos indicados na figura. τ τ τ a) Qual a razão física que permite concluir que as tensões t, assinaladas na figura, tanto na solicitação 1 como na solicitação 2, são iguais a 30 N/mm 2? Justifique matematicamente a resposta. 4 Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos

7 b) Calcule as tensões normais e tangenciais máximas que se geram no ponto da placa em questão devido à actuação simultânea das duas solicitações, indicando a orientação das facetas em que tais tensões ocorrem. I.9 Determine em cada uma das alíneas seguintes as direcções principais dos estados de tensão resultantes da sobreposição dos estados planos indicados : I.10 - Resolva as alíneas do problema I.1 recorrendo ao círculo de Mohr. I.11 - De um estado de tensão num ponto sabe-se que duas facetas, A e B, ortogonais entre si têm tensão normal igual a 10 MPa. Sabe-se também que a tensão tangencial máxima vale 5 MPa. Recorrendo à circunferência de Mohr determine o valor das tensões principais. I.12 - Considere dois estados de tensão num ponto (estado A e estado B). - Sabe-se que em ambos a menor tensão principal é nula. - Sabe-se também que o valor da tensão principal máxima do estado A coincide com o da tensão normal que, no estado B, ocorre na faceta onde a tensão tangencial é máxima. Recorrendo à circunferência de Mohr, calcule a relação entre as tensões tangenciais máximas dos dois estados de tensão. Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos 5

8 I.13 - Considere a seguinte faceta de um estado plano de tensão: y 10 5 Sabendo que o ângulo que a normal a esta faceta faz com a direcção principal máxima é de 30º no sentido anti-horário. I Determine as tensões principais. x I.14 - Numa chapa de aço que constitui a parede de uma caldeira (estado plano de tensão) verificouse num determinado ponto o seguinte estado de tensão: σ 11 = 40 N/mm 2 ; σ 12 = -20 N/mm 2 ; σ 22 = 80 N/mm 2 a) Qual o valor da tensão principal máxima? (R: 88.3 N/mm 2 ) b) Qual a máxima tensão tangencial a que pode ficar submetida uma faceta genérica centrada no ponto? Qual a tensão correspondente? (R: τ máx =28.3 N/mm 2 ; σ (n) =66.3 N/mm 2 ) I.15 - Um tubo oco de material isótropo está submetido simultaneamente, a uma tracção longitudinal e a uma torção. As tensões produzidas por estes esforços nas facetas transversais (1) e longitudinais (2) de um ponto na parede exterior do tubo são as seguintes : σ 11 = 60 N/mm 2 σ 12 = -20 N/mm 2 σ 22 = 0 N/mm 2 Determine a orientação das facetas submetidas à tracção pura. I.16 - Determine e oriente as tensões principais dos estados planos de tensão indicados, conhecidas as componentes de tensão normais em três direcções: σ 1 = 60 N/mm 2 σ 2 = -20 N/mm 2 σ 3 = 0 N/mm 2 a) α = β = 45º b) α = β = 60º 6 Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos

9 I.17 - Determine e oriente as tensões principais do estado plano de tensão indicado, conhecidas as componentes da tensão actuante em duas direcções. Faceta 1: σ 1 = MPa y α 2 τ 2 σ N2 α 1 = 60º σ 1 θ = 52.1º Faceta 2: θ σ = MPa N α 1 τ = 3.66 MPa α 2 = 30º x I.18 - A figura representa um provete da rocha de fundação duma barragem, o qual vai ser submetido a um ensaio triaxial para determinação da sua resistência. A pressão lateral a aplicar ao provete é de p = 10 N/mm 2. Admita que o estado de tensão no provete é uniforme. a) Determine a máxima tensão de compressão axial que pode ser aplicada ao provete de forma que a tensão tangencial máxima não exceda 20 N/mm 2. Em que faceta(s) se verifica esta tensão. b) Calcule a tensão normal e tangencial numa faceta octaédrica, nas condições da alínea a). c) Mostre que a tensão normal em qualquer faceta perpendicular ao plano xy é independente de σ e é igual à pressão lateral. Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos 7

10 II- Teoria do estado de deformação II.1 - Um elemento rectangular ABCD deforma-se ficando com a forma A B C D como se indica na figura. Admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos determine: a) As componentes da deformação ε 11, ε 12, ε 22. b) A extensão da diagonal AC em função das componentes ε ij. II.2 - Num ponto de um corpo deformado determinaram-se no plano [OXY] as seguintes componentes de deformação : ε xx = 4 x 10-5 ε yy = -2 x 10-5 ε xy = 2 x 10-5 a) Traçe o círculo de Mohr correspondente a este estado de deformação e determine as extensões principais e a sua orientação. b) Quais as orientações em que é nula a extensão e qual o valor da distorção. II.3 - Um estado de deformação na vizinhança de um ponto P é caracterizado por: Determine: ε I = 4 x 10-3 ε II = 12 x 10-4 ε III = -3.5 x 10-4 a) A extensão na direcção definida pelo vector a = ( 0.2, 0.3, 0.5) b) Os invariantes de deformação. c) A extensão volumétrica exata e na hipótese dos pequenos deslocamentos.. 8 Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos

11 II.4 - No interior do maciço de amarração de uma ponte colocou-se a roseta espacial de extensómetros esquematizada na figura. Sabe-se que a direcção em que está colocado o extensómetro 3 é uma direcção principal de deformação. As medidas registadas nos extensómetros foram: ε 1 = 200 x 10-8 ε 2 = x 10-8 ε 3 = 200 x 10-8 ε 4 = x 10-8 a) Determine os valores das extensões principais. b) Determine o valor da extensão no plano I-II numa direcção que faz com a parte positiva do eixo I um ângulo de 30º no sentido dos ponteiros do relógio. c) Qual a distorção máxima no plano I-II e entre que direcções se verifica? II.5 - A placa representada na figura (ν=0.2, E=200 GPa) está sujeita ao seguinte estado homogéneo de deformação. ε 11 =0.001 ε 12 =0.001 ε 22 =0.002 a) Qual o comprimento do lado AC após a deformação? b) Qual o comprimento do lado DC após a deformação? c) Determine as direcções entre as quais não existem variações angulares. Para essas direcções qual o valor das extensões. Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos 9

12 II.6 - A placa de dimensões 1x1 representada na figura (a) é sujeita a um campo de deformações homogéneo ficando com a forma indicada na fig. (b). (0.001;1.002) (1.001;0.002) Determine: a) As componentes do tensor das deformações infinitésimais ε ij. b) A distorção entre as fibras A e B, inicialmente ortogonais, após a deformação. II.7 - A placa de aço (ν=0.3, E=200 GPa) esquematizada na figura está sujeita a um estado de deformação homogéneo plano. As variações de comprimento sofridas pelas arestas AB, AC e AD são: L AB = +(4x10-1 ) mm, L AC = +(2 3x10-1 ) mm e L AD = +(8x10-1 ) mm. a) Determine o tensor das extensões no ponto A. b) Em que direcção da placa se regista a máxima extensão? Qual o valor dessa extensão? 10 Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos

13 II.8 - No interior de uma estrutura submetida a um estado de deformação plano (no plano 1-2) está colocada uma roseta de extensómetros conforme indicado na figura, tendo-se medido as seguintes extensões: e a = 100x10-6 e b = 200x10-6 e c = 100x10-6 e d = 10x10-6 a) Verifique se existe erro nas medições efectuadas. Justifique. b) Considerando correctas as medições efectuadas nos extensómetros a, b e c, determine o valor da extensão máxima que se verifica em torno do ponto P. Qual a direcção em que ocorre? Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos 11

14 III- Relações constitutivas para materiais elásticos lineares. Lei de Hooke. III.1 - Determine a relação entre as circunferências de Mohr das tensões e das deformações para estados planos de tensão. III.2 - Uma placa de aço (E=210 GPa, ν=0.30), solicitada no seu plano, está submetida ao seguinte estado plano de tensões: σ x = 91 MPa σ y = -49 MPa σ xy = 56 MPa Calcule o valor das deformações principais e a orientação das respectivas fibras: a) analiticamente; b) graficamente. (Solução: ε I = 625E-6; ε II = -60E-6; ε III = -485E-6) III.3 - Devido a uma determinada solicitação instala-se numa barragem de gravidade um estado de deformação plano (no plano transversal 1-2) de que se conhecem as seguintes componentes do campo de deslocamentos (em centímetros): u u (x,y) = u 1 2 = x = x x. x ( E= 26 GPa; ν= 0.20 ) 12 Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos

15 a) Determine os valores das tensões principais no ponto (x 1 = 10 cm; x 2 = 20 cm) e a orientação das facetas onde actuam. Oriente as tensões principais nas facetas onde actuam. b) Devido a uma solicitação mediram-se, junto ao ponto P (no plano 1-2), extensões em 3 direcções fazendo ângulos de 45º, 90º e 135º com a direcção 1, como se ilustra na figura. ε 1 = 100E-6 ε 2 = 50E-6 ε 3 = -100E-6 Determine, quando actuarem simultaneamente as duas solicitações, a orientação das direcções entre as quais se observa a máxima distorção. III.4 - A circunferência de Mohr da figura representa o estado de tensão no plano X-Y num corpo constituído por um material isotrópico e submetido a um estado plano de deformação em que e Z =0. Considerando para características do material, E= 30 GPa e?= 0.3, determine: a) O tensor das tensões principais; b) O tensor das extensões principais. Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos 13

16 III.5 - A placa quadrada ABCD transformou-se no losango A B C D após ter sido submetida a um campo de deformações homogéneo e plano (ver figura abaixo). Características do material da placa: E = 30 GPa? = 0,2 π a) Sabendo que θ = rad, determine as componentes do tensor das deformações. A mesma placa foi submetida a outra solicitação de que se conhecem as componentes do tensor das tensões referidas a um outro sistema de eixos rodado relativamente ao primeiro do ângulo de 30º como mostra a figura: σ σ σ σ ' 11 ' 22 ' 12 ' 33 = 400MPa = 400MPa = 200MPa Sabendo que a este estado de tensão corresponde um estado plano de deformação em que a deformação nula ocorre segundo a direcção 3, determine: =? b) O valor de s 33. Nas questões seguintes considere a actuação simultânea das duas solicitações. c) Qual o valor das extensões principais no plano [, ] x x? 1 2 d) Qual a orientação das facetas em que a distorção é máxima? 14 Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos

17 IV- Critérios de segurança. Critérios de cedência e critérios e rotura. IV.1 Considere, num ponto de uma peça de aço macio (Fe360), instalado o seguinte estado de tensão: σ = [MPa] Admita que a tensão limite de elasticidade (ou tensão de cedência) é σ ced =235 MPa. a) Utilizando um critério de cedência, apropriado ao material, averigue a sua segurança relativamente à cedência. Justifique a resposta. IV.2 O estado plano de tensão representado na figura ocorre num ponto crítico dum pilar de aço Fe360 (σ ced =235 Mpa) de um edificio. a) Determinar o factor de segurança relativamente à cedência usando: a.1) o critério de Tresca a.2) o critério de Von-Mises b) Represente gráficamente a superficie de cedência, em ambos os casos, e represente aí o ponto correspondente ao estado de tensão. Compare os resultados. Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos 15

18 IV.3 Na secção crítica de uma viga metálica (Fe360, σ ced =235 MPa ), submetida a um carregamento uniforme p (kn/m), determinaram-se os seguintes campos de tensões: Determine o máximo valor da carga p que pode ser aplicada à viga de modo que a tensão de cedência não seja ultrapassada. Utilize o critério de Von-Mises. 16 Mecânica Aplicada II Exercícios Práticos