Sumário: Compatibilidade das Deformações. Roseta de Extensómetros. Relações Tensões - Deformações. Energia de Deformação. Critérios de Cedência.

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Compatibilidade das Deformações. Roseta de xtensómetros. Relações Tensões - Deformações. nergia de Deformação. Critérios de Cedência. Objectivos da Aula: Ser Capaz de utilizar as equações de compatibilidade e estabelecer e utilizar a lei de Hooke Generalizada. Fazer Controlo de Resistência. 1

2 Ponte

3 Aeroplano 3

4 Compatibilidade das Deformações As deformações têm de ser compatíveis para assegurar a continuidade do sólido na configuração deformada uma vez que não se contempla a hipótese do sólido se desintegrar quando sujeito às acções externas, admite-se portanto que durante o processo de deformação o sólido permanece contínuo como era à partida. Para se garantir esta situação e para se poder integrar as deformações e obter os deslocamentos, há necessidade de impor restrições às deformações uma vez que as deformações susceptíveis de serem possíveis não são independentes umas das outras. 4

5 Deformações 1 1 ui u j ij = ( ui, j + uj,i) = + xj xi xx yy zz u = x v = y w = z 1 u v = + y x xy 1 u w = + z x xz 1 v w = + z y yz 5

6 quações de Compatibilidade xx = u x yy = v y 1 u v = + y x xy 3 xx = y 3 yy x u x y v = y x 1 u v xy x y yx 3 3 xy = + xx yy xy + = y x xy 6

7 quações de Compatibilidade De igual modo se obtém as equações: xy 1 u v = + z y z x z = + y y z x y xz 1 u w yz 1 v w = + x x z x y 3 xx u = yz xyz xx zz xz + = z x xz yy zz + = yz z y yz xy xz yz xx + = x z y x y z xy xz yz yy + = y z y x x z xy xz yz zz + + = z z y x x y 7

8 Rosetas de xtensómetros c θ c y b θb a θa x y y 10º 45º x 60º x a b c 8

9 Roseta de xtensómetros A medida das xtensões é relativamente simples de fazer recorrendo a extensómetros eléctricos ou outros e vários processos de quantificação da extensão num ponto em determinada direcção foram desenvolvidos. O uso de rosetas de extensómetros é de facto o mais comum. As rosetas de extensómetros desenvolvem-se segundo três direcções que passam no ponto em que se pretende quantificar a extensão, como se representou na figura anterior através das linhas a-a, b-b e c-c. Comparando a distância entre os dois pontos na configuração inicial e deformada do sólido pode obter-se a extensão. através das equações que relacionam as deformações no sistema de eixos Ox y com as deformações no sistema de eixos Oxy obtém-se relações entre as extensões nas direcções a-a, b-b e c-c e as deformações no sistema de eixos Oxy, de acordo com as = θ + θ +γ senθ cosθ θ a b c xxcos a yysen a xy a a = θ + θ +γ senθ cosθ θ xxcos b yysen b xy b b = θ + θ +γ senθ cosθ θ xxcos c yysen c xy c c 9

10 xtensões e Direcções principais As extensões e direcções principais são obtidas considerando as expressões seguintes γ xy tan gθp = xx yy ( ) ( ) 1= xx+ yy + xx yy +γ xy ( ) ( ) = xx+ yy xx yy +γ xy 10

11 Relações Tensões - Deformações Os ensaios de tracção e compressão efectuados sobre provetes paralelepipédicos lineares de Mat. Isotrópicos = ou = xx xx representa o Módulo de lasticidade ou Módulo de Young 11

12 Relações Tensões - Deformações Os ensaios de tracção e compressão efectuados sobre provetes paralelepipédicos lineares conduzem a modelos simplificados de comportamento do material que numa perspectiva qualitativa podem considerar-se nalguns casos com a geometria representada na figura Linear lástico lasto - Plástico 1 1 1

13 Coeficiente de Poisson Por efeito da tensão de tracção xx o elemento prismático sofre um alongamento (1) (1) na direcção xx e sofre encurtamentos nas direcções de yy e de zz, yy e zz que são proporcionais a (1) xx sendo o coeficiente de proporcionalidade, ν, designado por Coeficiente d Poisson. (1) xx 13

14 Tracção em três Direcções Ortogonais

15 Lei de Hooke Generalizada (1) xx ν xx = = ν = () () ν xx = ν yy = () yy yy yy = (3) (3) ν xx = ν zz = (3) (3) ν zz = ν = (1) (1) yy xx xx yy zz zz (1) (1) ν zz = ν xx = xx () () ν = ν = zz yy yy (3) zz = zz = + + = 1 ν + ( ) (1) () (3) xx xx xx xx xx yy zz = + + = 1 ν + ( ) (1) () (3) yy yy yy yy yy xx zz = + + = 1 ν + ( ) (1) () (3) zz zz zz zz zz xx yy 15

16 Relações Tensões Deformações xx = ( 1 ν) xx +ν( yy +zz ) (1 +ν)(1 ν) yy = ( 1 ν) yy +ν( xx +zz ) (1 +ν)(1 ν) zz = ( 1 ν) zz +ν( yy +xx ) (1 +ν)(1 ν) 16

17 Módulo de Distorção As tensões tangenciais na ausência de tensões normais só produzem distorções no plano em que actuam que lhe são proporcionais. A constante de proporcionalidade entre a tensão tangencial ou de corte e a distorção designa-se por Módulo de Distorção do Material e representa-se por G = = 1 G 1 G 1 G γ xy xy τxy = = γ xz xz τxz = = γ yz yz τyz τ xy γ xy = ou γ xy = G τ G τ xz γ xz = ou γ xz = yz γ yz = ou γ yz = G (1 +ν) τ (1 +ν) τ (1 +ν) τ xy xz yz 17

18 Obtenção duma Relação entre o Módulo de Distorção e o Módulo de Young Δ l l Δ l l x y Δl Δl 1 1+ ν = xx = ( xx ν yy) = 1 1+ ν = yy = ( yy ν xx) = x y 1+ν = l 1+ν = l l l τ τ Δlx Δly π γ 18

19 Relação entre o Módulo de Distorção e o Módulo de Young π γ tan g tan g l + Δl π γ 4 y tan g = = 4 1 tang π 4 tang γ + l + Δlx γ ν τ γ 1+ν = = τ γ 1 1+ν 1+ + τ ou seja tendo em conta que τ =Gγ G = 1 + ν ( ) l l Δl Δl y x 1+ ν = l 1+ ν = l τ τ Δlx Δly π γ 19

20 Módulo de Compressibilidade Volumétrica A deformação volumétrica pode relacionar-se com a pressão hidrostática através de uma constante de proporcionalidade que se designa por módulo de compressibilidade volumétrica do material e que se representa por K 1 = + + = K v xx yy zz m ( ν) 1 ν 31 = ( + + ) = v xx yy zz m K = 31 ( ν) 0

21 nergia de Deformação Problema Uniaxial As energias de deformação lástica, U e, num caso e noutro e a energia dissipada no processo de deformação plástica, U d, estão representadas nas referidas figuras. A densidade de energia de deformação elástica, ou energia armazenada por unidade de volume pode ser calculada a partir da tensão e deformação e no caso da barra traccionada é due= xxxx = = = = U d due due a) b) 1

22 nergia de Deformação Problema Uniaxial A energia de deformação elástica total na barra traccionada obtém-se integrando a densidade de energia de deformação elástica e é 1 1 Ue= VxxxxdV = VxxdV = VxxdV

23 nergia de Deformação No caso tridimensional a Densidade de nergia de Deformação é 1 du = ( τ τ τ ) e xx xx yy yy zz zz xz xz xy xy yz yz A nergia de Deformação lástica total no sólido de volume V é 1 Ue= V ( xxxx+ yyyy+ zzzz+ τxyxy+ τxzxz+ τyzyz) dv 3

24 Critérios de Cedência-1 Alguns materiais, nomeadamente os materiais dúcteis, especialmente os materiais plásticos, têm um comportamento quando traccionados que pode ser designado por elástico perfeitamente plástico, este modelo de comportamento caracteriza-se pela existência de uma Tensão de Cedência,, a qual estabelece o início da deformação plástica. c a) b) cc Tensão de Cedência Uniaxial 4

25 Critérios de Cedência- No caso tridimensional a caracterização do estado de Tensão passa pela existência de seis componentes do tensor das tensões independentes, obrigando à consideração de funções que possam ser consideradas para definir a cedência nessas condições de solicitação. Desenvolveram-se várias teorias para quantificar a cedência de stados tridimensionais de tensão, algumas dessas teorias são de uso mais frequente no caso dos metais e por isso só essas vão ser referidas. 5

26 Teoria da Tensão de Corte Máxima - Caso Uniaxial A teoria da Tensão de Corte Máxima, resulta da constatação experimental de que os materiais dúcteis tendem a sofrer deslizamentos ao longo de planos criticamente orientados durante a cedência plástica. No caso da teoria da Tensão de Corte máxima esses planos são considerados como correspondendo a tensões de corte máxima, tendo estas tensões atingido um valor crítico nos referidos planos. τ max = ± 1 τ max ± 1 = τ cr 1 cp 6

27 Teoria da Tensão de Corte Máxima - Caso Bidimensional Os potenciais valores das tensões de corte máxima são 1 1 ou ou A aplicação da Teoria da tensão de corte máximo implica que se verifique uma das desigualdades seguintes 1 cp ou cp ou 1 cp 7

28 Critério de Cedência de Tresca A representação gráfica destas condições está feita na figura, no espaço de tensões de Westergard, o critério que resulta da aplicação desta teoria é muitas vezes designado por Critério de Cedência de Tresca, embora tenha sido primeiro apresentado por Coulomb. 8

29 Critério de Cedência de Tresca- Caso Tridimensional No caso tridimensional, o Critério de Cedência de Tresca, considerando as tensões principais, é 3 cp 1 cp 3 1 cp sendo no espaço de Westergard representado por um prisma hexagonal. 9

30 Teoria da nergia de Distorção Máxima A densidade de energia de deformação, como foi referido anteriormente pode calcular-se a partir das tensões principais fazendo uso da expressão du = ν + + ( ) e A parcela da energia de deformação por unidade de volume responsável pela dilatação do sólido pode ser expressa em termos da pressão média e é du ( ν) 31 1 ν m 6 ( ) dil = = Subtraindo a densidade de energia de dilatação à densidade de energia de deformação obtém-se a densidade de energia distorcional ou de desvio du 1 1G ( ) ( ) ( ) dis =

31 Teoria da nergia de Distorção Máxima De acordo com a teoria básica da energia distorcional, o valor da densidade de energia de desvio ou distorcional não deve exceder o valor correspondente ao máximo admissível em tracção simples o qual é ( ) ( ) ( ) cp Critério de Cedência de von Mises e no espaço de Westergard é representado por um cilindro. ( ) ( ) ( ) xx yy + yy zz + zz xx + 6 xy + 6 yz + 6 xz cp τ τ τ 31

32 Teoria da nergia de Distorção Máxima Caso Bidimensional No caso particular de se tratar de um stado Plano de Tensão este critério, Critério de Cedência de von Mises, toma a forma cp ( ) ( ) ( ) em termos das componentes do tensor das tensões no sistema de eixos Oxy, toma a forma xx + yy yyxx + 3τxy cp 3

33 Teoria da nergia de Distorção Máxima Caso Bidimensional O Critério de Cedência de von Mises no caso Bidimensional corresponde no espaço de tensões a uma elipse O hexágono de Tresca fica inscrito na elipse de von Mises se forem representados na mesma figura. 33

34 Problemas Propostos a) 1. Mostre que os campos de deformações seguintes são compatíveis: xx = 3 + 4xy 4y b) x xx = 1 6y 4z yy = 3y + x + xy yy = 1y 6x + 4z zz = 0 zz = 1x + 4y z + 5 γ = γ xy = 4z 4xy 3 xy x 6xy 4y γ yz = x + y γ yz = y+ z 4 γ xz = z+ 3 γ zx = 4x + 4y 6 x 34

35 Problemas Propostos. Considere uma roseta de extensómetros montada numa peça de uma máquina como se mostra na figura.as leituras efectuadas conduzem aos seguintes resultados: a = ; b = ; c = a)determine as Deformações Principais e as Direcções Principais neste ponto da máquina. b)determine as tensões principais e as direcções principais de tensão. O Coeficiente de Poisson é 0.3 e o Módulo de Young é 10000Mpa. c b a 35

36 Problemas Propostos 3. Considere um prisma de dimensões cm3 constituído por um material linear elástico, homogéneo e isotrópico. Sabendo que: - sob a acção de uma pressão uniforme p=00mpa, estado de tensão hidrostático, o volume passa a ser 10030cm3 - sob a acção de uma tensão tangencial τ = 100MPa, a distorção γ = º Determine o tensor das deformações correspondente ao estado de tensão caracterizado pelo tensor das tensões: MPa

37 Problemas Propostos 4) A placa representada na figura 1 é de aço com =10 GPa e ν =0,3. A figura a tracejado representa a deform ada da placa após a aplicação de um a dada carga. Admitindo que as dimensões na direcção horizontal não se alteram durante a deform ação, que a espessura é unitária e que o estado de deform ação é igual para todos os pontos, determine: y B 3m m m m 50mm A B C x 300mm Figura 1: Placa a)a extensão ao longo do lado AB. b) A distorção no plano dos eixos x e y (lembre que no plano (0,i,j) γ ij = π /-θ ). c) As tensões principais e respectivas direcções principais de tensão em cada ponto. Represente graficamente o estado de tensão num ponto e indique as direcções principais. d)a energia de deform ação acum ulada na placa sob o efeito desta solicitação. 37

38 Problemas Propostos 5. Considere um estado plano de tensão, num ponto do qual se sabe que: - numa faceta inclinada de 0º em relação ao eixo dos yy, a tensão tangencial é nula e a tensão normal é de 0MPa - numa faceta inclinada de 45º em relação ao eixo dos xx no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio a tensão tangencial é de 0MPa (1.5) a)determine o Tensor das Tensões. (1.0) c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o Módulo de Young é =00GPa e o Coeficiente de Poisson é ν =

39 Problemas Propostos 6. Considere o Tensor das Tensões seguinte MPa 3 3 x y x ( 1 y ) ( ) ( ) MPa ij = x 1 y x y 4y z a) Determine o valor das forças de massa em equilíbrio com o campo de tensões dado. b) No ponto de coordenadas (1,,1) considere um plano igualmente inclinado em relação aos eixos coordenados e determine a tensão normal e a tensão tangencial. c) Considere que o material do sólido é tal que o módulo de Young é 00GPa e o coeficiente de Poisson é 0.3 e determine o tensor das deformações. d) Determine as extensões principais. 39

40 Problemas Propostos 7. As extensões, medidas numa roseta de extensómetros instalada numa peça linear de alumínio de acordo com a figura 1,são: a = 00μ m / m, b= 300μ m / m e c= 300μm / m a)determine as xtensões Principais e Direcções Principais de xtensão b)determine as Tensões Principais e Direcções Principais de Tensão. c)determine a Tensão Normal e de Corte numa faceta igualmente inclinada em relação ao eixo dos xx e dos yy. d) Determine a tensão de corte máxima fazendo uso do circulo de Mohr. 40

41 Problemas Propostos Considere que o material do sólido tem as propriedades seguintes: Módulo de Young =70GPa ; Coeficiente de Poisson n = 0.5 y c b 60º 60º a x 41

42 Problemas Propostos 8. O sólido do qual se extraiu o tetraedro da figura é construído por um material que pode ser considerado isotrópico e homogéneo e com comportamento linear elástico. Durante o processo de deformação pura e homogénea a que está sujeito o tetraedro deforma-se de tal modo que: o volume do sólido não se altera o novo comprimento de OB é de.001 cm o ângulo BOC não se altera as novas coordenadas do ponto D são {1.0005,0.0005,1.005) cm 4

43 Problemas Propostos a)determine o Tensor das deformações, b) Determine o Tensor das Tensões, sabendo que: o Módulo de Young é =00Gpa um cubo de lado 10 cm construído do material do tetraedro está sujeito a uma tensão de compressão segundo x de 0MPa e sofre um alongamento por unidade de comprimento segundo y e z de c) Determine o versor da normal á faceta que está sujeita à tensão resultante {8,478;8,478;06,36}MPa d)determine as Tensões e as Direcções Principais de Tensão. 43

44 Problemas Propostos z C D cm x A cm O cm B y 44

45 Problemas Propostos 9.Considere o tensor das tensões MPa para o qual a faceta cuja normal é ( ) tem tensão tangencial nula. a) Determine o Tensor das Tensões. b) Determine as Tensões Principais e Direcções Principais de Tensão. c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o Módulo de Young é =150GPa e o Coeficiente de Poisson é n = x y x 0 00 y

46 Resolução Problema 1) As deformações têm de verificar as equações de compatibilidade que são: xx yy xy + = y x xy xx zz xz + = z x xz yy zz + = yz z y yz xy xz yz xx + = x z y x y z xy xz yz yy + = y z y x x z xy xz yz zz + + = z z y x x y 46

47 Resolução a). Considere uma roseta de extensómetros montada numa peça de uma máquina como se mostra na figura.as leituras efectuadas conduzem aos seguintes resultados: a = ; b = ; c = a)determine as Deformações Principais e as Direcções Principais neste ponto da máquina. b)determine as tensões principais e as direcções principais de tensão. O Coeficiente de Poisson é 0.3 e o Módulo de Young é 10000Mpa. = θ + θ +γ senθ cosθ θ a b c xxcos a yysen a xy a a = θ + θ +γ senθ cosθ θ xxcos b yysen b xy b b = θ + θ +γ senθ cosθ θ xxcos c yysen c xy c c 4 a = 5 10 =xx = = + + γ b xx yy xy 4 a = =yy 47

48 Resolução a)cont. = 5 10 xx yy xy 4 = = Deformações Principais = = = Direcções Principais l= 1 4 l = = m m = Normalizando, obtém-se: l=0.795,m=-0.607, (Direcção 1) l= 1 4 l = = m m = Normalizando, obtém-se: l=0.607, m=0.795, (Direcção ) 48

49 Resolução b) Por Aplicação da Lei de Hooke Generalizada obtém-se as tensões Principais tendo em conta que zz =0 1 = = xx = ( 1 ν) xx +ν( yy +zz ) (1 +ν ) + (1 ν) yy = ( 1 ν) yy +ν( xx +zz ) (1 +ν ) + (1 ν) zz = ( 1 ν) zz +ν( yy +xx ) (1 +ν ) + (1 ν) 49

50 Resolução b) = + = ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( 1 0.6) Pa = + = Pa = ( + ) = Pa 50

51 Resolução do Problema 3) Deformação Volumétrica ΔV/V=( )/10000=0.003 Distorção γ=( π)/180=0.00 K = = = = ν = 6 τ ν=0.5 G = = = γ 0.00 (1 +ν) 6 P m v v (1 ) , 51

52 Resolução do Problema 3)cont. Aplicação da Lei de Hooke 1 1 xx = xx ( yy zz) [ ( ) 6 ] ν + = + = yy = yy ( xx zz) 6 [ ( ) ] ν + = + = zz = zz ( yy xx) 6 [ ( ) ] ν + = + = τ xy γ xy = = = G 5 10 τxz 0 γ xz = = = G τ yz γ yz = = = G

53 A extensão segundo AB é: Resolução Problema 4a) e 4b) u = a x + b y + c x=0 y=0 é u=v=0 c = c = v = a x + b y + c x= y = 0 é u=v=0 a = x=0 y=50 10 é u=3 10 v=- 10 b1 e b x= y=50 10 é u=3 10 v=- 10 a = 0 = / 50 yy γ =3/50 xy 50mm y B A mm 3mm B C x 300mm 3 = =

54 Resolução Problema 4c) Tensor das Deformações e xtensões Principais 0 1.5/ / 50 l = / 50 / / 50 / 50 = m 0 1.5/50 1 = = 0 1.5/ 50 / 50 = Tensões Principais por Aplicação da Lei de Hooke Generalizada 54

55 Resolução Problema 4c) = + = ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( 1 0.6) Pa = + = ( 0.011) Pa = ( ) = Pa As direcções Principais de Tensão são coincidentes com as direcções principais de deformação e são: l 0.88 l 0.47 = e = m1 m 55

56 Resolução Problema 4c) 1 Ue= V ( xxxx+ yyyy+ zzzz+ τxyxy+ τxzxz+ τyzyz) dv= 1 = V ( xxxx + yyyy + τxyxy) dv 56

57 Resolução Problema 5a) 5. Considere um estado plano de tensão, num ponto do qual se sabe que: - numa faceta inclinada de 0º em relação ao eixo dos yy, a tensão tangencial é nula e a tensão normal é de 0MPa - numa faceta inclinada de 45º em relação ao eixo dos xx no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio a tensão tangencial é de 0MPa (1.5) a)determine o Tensor das Tensões. (1.0) c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o Módulo de Young é =00GPa e o Coeficiente de Poisson é ν = A Tensão xx =0MPa e a Tensão τ xy =0MPa 57

58 Resolução 5a l = cos( n, x) = cos135º = m= cos( n, y) = cos 45º = y n 10 T 0 0 x = T 0 = y yy yy 1 = 10 = 10 + n yy yy Faceta 45º x 1 T = Tx + Ty τ t = T n = yy 10 yy = 0MPa 4 60MPa yy = 0MPa 58

59 Resolução do Problema 8 a) Tendo em conta as condições em que se processa a deformação de acordo com a informação conclui-se que: xx yy + zz = yy = = γ yz = 0.0 D D = xx xy xz xy yy yz 0 xz yz zz a) = donde: xx xz + + xz zz = =

60 Resolução do Problema 8 xx xz + + xz zz = = Juntando a estas duas equações a equação (a) xx xz xx xz zz zz = = = xz = ; xx = ; zz = =

61 Resolução do Problema 8 b) O coeficiente de Poisson é tal que: yy ν = xx Tendo em conta que: 6 xx xx = = = e yy = obtém-se ν = = xx = ( 1 ν) xx +ν( yy +zz ) (1 +ν ) + (1 ν) 10 yy = ( 1 ν) yy +ν( xx +zz ) (1 +ν ) + (1 ν) zz = ( 1 ν) zz +ν( yy +xx ) (1 +ν ) + (1 ν) 61

62 Resolução do Problema 8 xx yy xx G = = = = = = = (1 + ν) xy xz yz = G = G = G O tensor das tensões é portanto: xy xz yz = = = = = 0.0 = = MPa

63 Resolução do Problema 8 c)por resolução do sistema de equações seguinte : x y = z os cossenos directores da normal à faceta, que são: