Nota de aula 9 - Estado Plano de Tensões - Resistência dos Materiais II

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Valdomiro Salazar Leveck
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1 Nota de aula 9 - Estado Plano de Tensões - Resistência dos Materiais II Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo) MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF o. semestre de 010 Flávia Bastos RESMAT II 1/16

2 Informações sobre este documento: Estes slides servem para auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo. Flávia Bastos RESMAT II /16

3 O par (σ n, τ n ) das tensões normal e tangencial em um plano qualquer, num estado plano de tensões gera uma figura no plano de coordenadas σ, τ que é conhecida como círculo de Mohr. Temos que σ n e τ n podem ser determinados por: { σn = σxx+σyy + σxx σyy cosα + τ xy senα τ n = σxx σyy senα + τ xy cosα Chamando σ m = σxx+σyy temos: { σn σ m = σxx σyy cosα + τ xy senα τ n = σxx σyy senα + τ xy cosα (1) () Flávia Bastos RESMAT II 3/16

4 Elevando cada um dos termos das igualdades anteriores ao quadrado e somando-os obtém-se: ( (σ n σ m ) + τn σxx σ yy = Chamando σ n = σ; τ n = τ e R = chegamos a: ) + τ xy (3) ( ) σxx σ yy + τ xy, (σ σ m ) + τ = R (4) que é a equação de uma circunferência no plano (σ, τ) com centro sobre o eixo σ no ponto σ = σ m = σxx+σyy e cujo raio é o valor de R acima descrito. Flávia Bastos RESMAT II 4/16

5 M -> Ponto que representa as tensões em torno de P na direção α. Da figura constatamos novamente que a máxima tensão tangencial vale: τ max = R = σ ξ σ η (5) Flávia Bastos RESMAT II 5/16

6 Expressão do círculo de Mohr a partir das tensões principais Considerando como ponto de partida as expressões de σ n e τ n obtidas em função de σ 1 e σ 3 temos: { σ n = σ ξ+σ η + σ ξ σ η cosθ τ n = σ ξ σ η senθ (6) A figura ao lado esclarece o significado dessas expressões. Estas expressões são obtidas das expressões anteriormente vistas para σ n e τ n nas quais fez-se σ xx = σ ξ, σ yy = σ η, τ x,y = 0 e usamos θ no lugar de α. Flávia Bastos RESMAT II 6/16

7 Expressão do círculo de Mohr a partir das tensões principais Chamando σ m = σ ξ+σ η, σ n = σ, τ n = τ e elevando ambas as expressões ao quadrado e somando-as resulta em: ( ) (σ σ m ) + τ σξ σ η = (7) ou ( σ σ ) ξ + σ η + τ = ( ) σξ σ η (8) que descreve o mesmo círculo desenvolvido anteriormente já que: σ xx + σ yy = σ ξ + σ η ( ) σ ξ σ η σxx σ = yy (9) + τ xy = R Flávia Bastos RESMAT II 7/16

8 Casos Particulares i) Estado de tração simples Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer direção) são de tração. Neste caso: τ max = σ ξ já que σ η = 0! Flávia Bastos RESMAT II 8/16

9 Casos Particulares ii) Estado de compressão simples Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer direção) são de compressão. Neste caso: τ max = ση já que σ ξ = 0! Flávia Bastos RESMAT II 9/16

10 Casos Particulares iii) Estado de cisalhamento simples Todas as tensões principais são iguais e de sinal contrário. τ max = σ η = σ ξ. Flávia Bastos RESMAT II 10/16

11 Casos Particulares iv) Estado de tensão uniforme ou hidrostático Neste caso σ ξ = σ η = σ e τ = τ max = 0. Flávia Bastos RESMAT II 11/16

12 Decomposição do tensor de tensão Dado um tensor de tensão σ, é possivel decompô-lo do seguinte modo: = σ h + σ σ D onde σ h Tensor de tensão hidrostático; σ Tensor de tensão desviador. D (10) Definindo-se σ como um tensor tal que trσ = 0 e, como já visto (em qualquer D sistema de eixos): D p 0 0 σ h = 0 p 0 (11) 0 0 p Flávia Bastos RESMAT II 1/16

13 Decomposição do tensor de tensão - Determinação das componentes σ h e σ : Se escolhemos as direções principais de D σ para sua descrição temos: σ = 0 σ 0 (1) σ 0 0 σ 3 Logo podemos escrever: = σ σ σ σ 3 = p σ 1 p σ p σ 3 p (13) Flávia Bastos RESMAT II 13/16

14 Decomposição do tensor de tensão Verificação: pela invariância da soma da diagonal principal do tensor de tensão temos que: σ 1 + σ + σ 3 = 3p + (σ 1 p) + (σ p) + (σ 3 p) (14) Escolhendo para σ tensor com traço nulo (soma da diagonal principal), temos que: D e que σ 1 + σ + σ 3 = 3p (15) p = σ 1 + σ + σ 3 3 (16) Flávia Bastos RESMAT II 14/16

15 Decomposição do tensor de tensão Ficamos com (para qualquer sistema de eixos!): p 0 0 σ h = 0 p 0 (17) 0 0 p e σ = σ h (18) D σ Obs: A parcela σ h é responsável pela variação de volume e a parcela σ D, chamada de tensor desviador, é responsável pela mudança de forma como se verá no estudo das deformações. Flávia Bastos RESMAT II 15/16

16 Decomposição do tensor de tensão Concluindo, podemos afirmar que, se = σ então: σ h = σ xx + σ yy + σ zz σ xx τ xy τ xz τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz, (19) e: σ D = σ xx p τ xy τ xz τ yx σ yy p τ yz τ zx τ zy σ zz p com p = σ xx + σ yy + σ zz 3 (0) Flávia Bastos RESMAT II 16/16

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