Transformação da deformação

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1 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Transformação da deformação Introdução: O estado geral das deformações em um ponto de um corpo. Deformação Normal: ( ε x, ε, ε z ) Deformação por Cisalhamento: ( γ, γ γ ) xz, Esses seis componentes tendem a deformar cada face de um elemento material Variam de acordo com a orientação do elemento No laboratório as medidas são feitas através de extensômetros. Estado Plano de Deformações ( ε x,ε ) Dois componentes de deformação normal ( γ ) Um componente de deformação por cisalhamento z Figura 1. Estado Plano de Deformações. Observações: O estado plano de deformações não causa um estado plano de tensões e vice-versa. 1

2 Figura. Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformações Objetivos: Estabelecer equações de transformação que podem ser usadas para determinar os componentes de deformação normal e por cisalhamento x, em um ponto, desde que os componentes de deformação x, sejam conhecidos. Convenção de sinal: Deformação Normal e por Cisalhamento Determinação de ε x' Figura 3. Convenção de Sinais. dx = dx' cosθ d = dx' senθ (1) Se ε x > 0 (Figura 4.b) Alongamento de dx é ε xdx Alongamento de dx é ε x dx cosθ Se ε 0 (Figura 4.c) Alongamento de d é ε d Alongamento de dx é ε d senθ >

3 Figura 4. Se dx é fixo Deslocamento γ d para a direita do topo da linha d (Figura 4.d) Alongamento de dx é γ dc osθ Somando-se os três alongamentos: Mas, δx' = ε dx cosθ + ε d senθ γ d cosθ () x + 3

4 δx' ε x' = (3) dx' Substituindo-se (1) em (3) ε = ε cos θ + ε sen θ γ senθ cosθ (4) x ' x + A equação de transformação da deformação para determinar γ x' ' é desenvolvida considerando-se a intensidade da rotação que cada segmento de reta dx e d sofre quando submetido aos componentes da deformação ε, ε γ. Utilizando-se (1) e (5). Figura 4.e. x, δ' α = (5) dx' δ' = ε dx senθ + ε d cosθ γ dsenθ (6) x ( ε + ε ) senθ cosθ γ sen θ α = (7) x Como mostra a Figura 4.e a reta d gira β. Podemos determinar esse ângulo por uma análise semelhante, ou simplesmente substituindo-se θ por θ + 90 e assim tem-se: ( ε + ε ) senθ cosθ γ cos θ β = (8) x γ x ' ' = α β (9) Dessa forma, as equações de transformação da deformação de um elemento orientado com ângulo θ como mostram a Figura 5 são: ε x + ε ε x ε γ ε x ' = + cos( θ ) + sen( θ ) (10) γ x' ' ε x ε γ = sen( θ ) + cos( θ ) (11) Para determinar ε, basta substituir θ por ( + 90) ' θ em (10) e assim tem-se: ε x + ε ε x ε γ ε ' = cos( θ ) sen( θ ) (1) Faça uma comparação com as equações do estado plano de tensão 4

5 Figura 5. Deformações Principais: Deformações normais sem deformações por cisalhamento tg ( θ ) p γ = (13) ε ε x ε x + ε ε x ε γ 1, ε = ± + (14) Deformação por Cisalhamento Máxima no Plano tg ε x ε θ = c (15) γ ( ) γ ε x ε γ = ± + max noplano (16) ε med ε x + ε = (17) Circulo de Mohr Estado Plano de Deformações As equações (10) e (11) podem ser escritas na forma Onde: ( ε ) + = R γ ε x méd (18) 5

6 ε méd ε x + ε = (19) R= ε x ε γ + (0) Centro do círculo fica no ponto (,0 ) ε. méd Construção do Círculo 1. Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a deformação normal ε, com sentido positivo para a direita e a ordenada represente metade do valor da deformação por cisalhamento, γ /, com sentido positivo para baixo.. Determinar o centro do círculo C, que está localizado no eixo ε a uma distância ε = ε + ε da origem. méd ( ) x 3. Marcar o ponto de referência A ( ) x, γ ε. 4. Conectar o ponto A ao ponto C e determinar o raio R pelo triângulo sombreado. 5. Uma vez determinado R, traçar o círculo Figura 6. Deformações Principais 1. As deformações principais, ε 1 e ε são as coordenadas dos pontos B e D na Figura 7.a onde γ / = 0. 6

7 . Determinar a orientação do plano sobre o qual ε 1 atua pelo círculo calculando θ p1 por meio de trigonometria (medido no sentido anti-horário a partir da reta de referência radial CA até a reta CB). Figura 7.a. Lembrar que a rotação de θ p1 deve ser na mesma direção, a partir do eixo de referência do elemento x para o eixo x. Figura 7.b. Figura 7. Deformações por Cisalhamento Máximo no Plano 1. A deformação normal média e a metade da deformação por cisalhamento máxima no plano são determinadas como coordenadas E e F. Figura 7.a. Calcular θ s1 por meio de trigonometria (medido no sentido horário a partir da reta de referência radial CA até a Reta CE). Deformações no plano arbitrário 1. Para um plano especificado por um ângulo θ utiliza-se trigonometria para se calcular a deformação normal e por cisalhamento.. O ângulo conhecido θ do eixo x é medido no círculo como θ. 3. Se for necessário saber o valor de ε ', determiná-lo calculando-se a coordenada ε do ponto Q. A reta CQ localiza-se a 180º de CP e, desse modo, representa uma rotação de 90º do eixo x. 7

8 Exercícios: 1. O estado de deformação no ponto do suporte tem componentes ε x = 00( 10 ), ε = 50( 10 ), γ = 175( 10 ). Usar as equações de transformação da deformação para determinar as deformações planas equivalentes em um o elemento orientado a θ = 0 no sentido anti-horário em relação à posição original. Esquematizar no plano x- o elemento distorcido em virtude dessas deformações Figura8. ε x' = , ε ' = , γ x' ' = resp: ( ) ( ) ( ). O elemento infinitesimal que representa um ponto do material está sujeito ao estado plano de deformações ε x = 500( 10 ), ε = 300( 10 ), γ = 00( 10 ), o qual tende a torcê-lo como mostra a Figura 9.a. Determinar as deformações equivalentes que atuam sobre um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação a posição original. Solução: Figuras 9.b e 9.c Resp: x' = 13( 10 ) ' = 13,4 10 Figura 9. ε, ε ( ), γ = 793( ) x' ' 10 8

9 3. O elemento infinitesimal que representa um ponto do material está sujeito ao estado plano de deformações ε x = 350( 10 ), ε = 00( 10 ), γ = 80( 10 ), o qual tende a torcê-lo como mostra a Figura 11.a. Determinar as deformações principais no ponto e a orientação do elemento a elas correspondente. Figura 11. Solução: Figura 11.b Resp. θ = 353( ) o o p 4,14 e 85, 9 ε 1 10, ε x' = ε 4. O estado plano de deformações em um ponto é representado pelos componentes ε x = 50( 10 ), ε = 150( 10 ) e γ = 10( 10 ). Determinar as deformações principais e a orientação do elemento. Solução: Figura 1. ε 1 = 59 10, ε = , θ p1 = 8, 35 Resp: ( ) ( ) o 5. O estado plano de deformações em um ponto é representado pelos componentes ε x = 50( 10 ), ε = 150( 10 ) e γ = 10( 10 ). Determinar as deformações por cisalhamento máximas no plano e a orientação do elemento. o Resp: γ = 418 ( 10 ), ε = 50( 10 ), θ = 36, x' ' méd s1 6 9

10 5. O estado plano de deformações em um ponto é representado pelos componentes ε x = 300( 10 ), ε = 100( 10 ) e γ = 100( 10 ). Determinar o estado de deformação de um elemento orientado a 0º no sentido horário em relação a posição informada. Resp: ε = 309( 10 ), γ = 5( 10 ), ε = 91,3( ) x' x' ' ' 10 Obs: Estudar os exercícios resolvidos do prof. Duran. Referências Bibliográficas: 1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 000. Observações: 1- O presente texto é baseado nas referências citadas. - Todas as figuras se encontram nas referências citadas. 10