Notas de aula prática de Mecânica dos Solos II (parte 8)

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Flávio Fragoso Azeredo
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1 1 Notas de aula prática de Mecânica dos Solos II (parte 8) Helio Marcos Fernandes Viana Conteúdo da aula prática Exercício relacionado ao traçado do ciclo de Mohr para um elemento (ou pequena parte) de solo submetido a um estado plano de tensão

2 1. o ) A Figura 1.1 apresenta um elemento (ou pequena parte) de solo submetido a um estado plano de tensão, sendo que: z = 130 kn/m ; x = 100 kn/m ; e 50 kn / m. e ZX XZ Figura Elemento (ou pequena parte) de solo submetido a um estado plano de tensão Diante do exposto, pede-se: i) Traçar o ciclo de Mohr para o elemento de solo da Figura 1.1, com base no estado plano de tensão indicado para o elemento de solo; ii) Plotar, no ciclo de Mohr traçado para o elemento de solo da Figura 1.1, que foi traçado com base no estado plano de tensão indicado, os pontos correspondentes às tensões (normal e de cisalhamento) atuantes nas facetas ou planos vertical e horizontal do elemento de solo; iii) Plotar, no ciclo de Mohr traçado para o elemento de solo da Figura 1.1, que foi traçado com base no estado plano de tensão indicado, o polo (P) do ciclo de Mohr; e iv) Determinar as tensões normal total e de cisalhamento atuantes em um plano do interior do elemento de solo, que é inclinado 40 o em relação ao plano horizontal, ou em relação o plano onde atua z. OBS. Para resolução deste exercício é necessário: transferidor transparente de medição de ângulos, compasso, folha de papel milimetrado e régua.

3 3 Resposta da questão i: i) Obtenção, ou traçado, do ciclo de Mohr para o elemento de solo da Figura 1.1, com base no estado plano de tensão indicado para o elemento de solo ia) Consideração inicial As tensões representadas no ciclo de Mohr, em questão, são tensões totais; Assim sendo, o ciclo de Mohr será traçado em um plano ou diagrama versus (tensão normal total aplicada em planos do elemento de solo versus tensão de cisalhamento atuante em planos do elemento). ib) Determinação do ponto do centro do ciclo de Mohr O ponto do centro do ciclo de Mohr do elemento de solo, em questão, corresponde ao seguinte ponto no diagrama ou plano versus : como: x = 100 kn/m e z = 130 kn/m ; então: x z ; 0 (1.1) c 115 ; e c = 0 em que: c = tensão normal total, que no plano (ou diagrama) versus corresponde à abscissa do centro do ciclo de Mohr do elemento de solo, em questão; e c = tensão de cisalhamento, que no plano (ou diagrama) versus corresponde à ordenada do centro do ciclo de Mohr do elemento de solo, em questão. ic) Determinação do raio do ciclo de Mohr O raio do ciclo de Mohr do elemento de solo, em questão, é obtido com base na seguinte equação: R z x e ( e ) (1.) em que R e = raio do ciclo de Mohr do elemento de solo no plano versus ; z = tensão normal total, que atua na direção Z ou no plano horizontal do elemento de solo; x = tensão normal total, que atua na direção X ou no plano vertical do elemento de solo; e e = tensão de cisalhamento atuante nos planos vertical e horizontal do elemento de solo, em valor absoluto.

4 4 como: x = 100 kn/m ; z = 130 kn/m ; e e ZX XZ 50 kn / m ; então: R e (50) , kn / m A Figura 1., em anexo, mostra o ciclo de Mohr correspondente ao elemento de solo da Figura 1.1, o qual foi traçado para o estado plano de tensão atuante no elemento de solo. Resposta da questão ii: ii) Determinação, ou plotação, no ciclo de Mohr traçado para o elemento de solo da Figura 1.1, que foi traçado com base no estado plano de tensão indicado, dos pontos correspondentes às tensões atuantes nas facetas ou planos vertical e horizontal do elemento de solo iia) Determinação, ou plotação, no ciclo de Mohr do ponto H, que corresponde às tensões normal total e de cisalhamento, que atuam na faceta ou plano horizontal do elemento de solo Analisado a tensão cisalhante que atua no plano ou faceta horizontal do elemento de solo, tem-se que: a tensão cisalhante zx é negativa, pois atua no sentido anti-horário em relação ao ponto externo à faceta ou plano horizontal. Assim sendo, o ponto no ciclo de Mohr correspondentes às tensões normal total e de cisalhamento atuante na faceta ou plano horizontal será: H = (130; -50) Pois, as tensões normal total e de cisalhamento atuantes na faceta ou plano horizontal são, respectivamente, z = 130 kn/m e zx = -50 kn/m. A Figura 1., em anexo, mostra a localização do ponto H no ciclo de Mohr do elemento de solo, em questão. iib) Determinação, ou plotação, no ciclo de Mohr do ponto V, que corresponde às tensões normal total e de cisalhamento, que atuam na faceta ou plano vertical do elemento de solo Analisado a tensão cisalhante que atua no plano ou faceta vertical do elemento de solo, tem-se que: a tensão cisalhante xz é positiva, pois atua no sentido horário em relação ao ponto externo à faceta ou plano vertical. Assim sendo, o ponto no ciclo de Mohr correspondentes às tensões normal total e de cisalhamento atuante na faceta ou plano vertical será: V = (100; 50)

5 5 Pois, as tensões normal total e de cisalhamento atuantes na faceta ou plano vertical são, respectivamente, x = 100 kn/m e xz = 50 kn/m. A Figura 1., em anexo, mostra a localização do ponto V no ciclo de Mohr do elemento de solo, em questão. Resposta da questão iii: iii) Determinação, ou plotação, no ciclo de Mohr traçado para o elemento de solo da Figura 1.1, que foi traçado com base no estado plano de tensão indicado, do polo (P) do ciclo de Mohr iiia) Primeira opção: Determinação, ou plotação, do polo do ciclo de Mohr com base no ponto H, que é o ponto correspondente às tensões atuantes na faceta ou plano horizontal do elemento de solo Uma vez determinadas as tensões (normal e de cisalhamento) atuantes na faceta ou plano horizontal do elemento de solo, que corresponde ao ponto H (130; -50) no ciclo de Mohr; Então, traça-se, por este ponto (H), uma reta horizontal, que é paralela a faceta ou plano horizontal do elemento de solo, até a reta horizontal cruzar o ciclo de Mohr em um ponto P, que corresponde ao polo do ciclo de Mohr do elemento de solo da Figura 1.1. A Figura 1., em anexo, mostra o processo de obtenção do polo (P) com base no ponto H e na reta horizontal; Assim sendo: P = (100; -50) iiib) Segunda opção: Determinação, ou plotação, do polo do ciclo de Mohr com base no ponto V, que é o ponto correspondente às tensões atuantes na faceta ou plano vertical do elemento de solo Uma vez determinadas as tensões (normal e de cisalhamento) atuantes na faceta ou plano vertical do elemento de solo, que corresponde ao ponto V (100; 50) no ciclo de Mohr; Então, traça-se, por este ponto (V), uma reta vertical, que é paralela a faceta ou plano vertical do elemento de solo, até a reta vertical cruzar o ciclo de Mohr em um ponto P, que corresponde ao polo do ciclo de Mohr do elemento de solo da Figura 1.1. A Figura 1., em anexo, mostra o processo de obtenção do polo (P) com base no ponto V e na reta vertical; Assim sendo: P = (100; -50) Resposta da questão iv: iv) Determinação das tensões normal total e de cisalhamento atuantes em um plano do interior do elemento de solo, que é inclinado 40 o em relação ao plano horizontal, ou em relação o plano onde atua z

6 6 Para determinar as tensões normal total e de cisalhamento atuantes no plano do interior do elemento de solo, que é inclinado com um ângulo 40 o em relação ao plano horizontal; Procede-se do seguinte modo: Utilizando-se um transferidor medidor de ângulos, traça-se uma reta pelo polo (P) do ciclo de Mohr, a qual é paralela ao plano inclinado, até a mesma cruzar o ciclo de Mohr em um ponto M, o qual fornece as tensões (normal e de cisalhamento) atuantes no plano do interior do elemento de solo, que é inclinado 40 o em relação ao plano horizontal. OBS. Se a reta traçada pelo polo (P) do ciclo de Mohr é paralela ao plano do interior do elemento de solo, que é inclinado 40 o em relação ao plano horizontal; Isto significa que a reta paralela ao plano inclinado traçada pelo polo (P), também é inclinada 40 o em relação ao plano horizontal ou em relação ao eixo das tensões normais. Bem, seguindo o procedimento, anteriormente, descrito então as tensões normal total e de cisalhamento no ponto M são, respectivamente, = 167 kn/m e = 6 kn/m, e tais tensões correspondem às tensões atuantes no plano do interior do elemento de solo, que é inclinado 40 o em relação ao plano horizontal. A Figura 1., em anexo, mostra o processo de obtenção do ponto M, ou seja, o processo de obtenção das tensões normal e de cisalhamento atuantes no plano do interior do elemento de solo, que é inclinado 40 o em relação ao plano horizontal. Referências Bibliográficas BUENO, B. S.; VILAR, O. M. Mecânica dos solos. Vol.. São Carlos - SP: Escola de Engenharia de São Carlos - USP, p. (Bibliografia Principal) ORTIGÃO, J. A. R. Introdução à mecânica dos solos dos estados críticos. Rio de Janeiro - RJ: Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA., p.

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