Disciplinas: Mecânica dos Materiais 2 6º Período E Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica Disciplinas: Mecânica dos Materiais 2 6º Período E Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

2 Tema de aula 2: Transformação da Deformação OBJETIVOS: Mostrar utilização de métodos semelhantes aos de transformação de tensão. Apresentar maneiras de medição das deformações SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS: 2.1 Estado Plano de Deformações 2.2 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformações 2.3 Círculo de Mohr Estado Plano de Deformações 2.4 Deformação por Cisalhamento Máxima Absoluta 2.5 Rosetas 2.6 Relações Material-Propriedade Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio. THOMAS FULLER, M.D.

3 2.1 Estado plano de deformações O estado geral de deformação também é caracterizado por seis componentes, três normais εx, εy e εz (adimensionais) que ocorrem nas direções dos eixos x, y e z e três por cisalhamento γ xy, γ yz e γxz (variação angular [rad] entre os pares de eixos especificados); Convenção:. γ (+) -> (fecha).. γ (-) ->(abre). o estado plano de deformações desconsideramos as componentes εz, γyz e γxz, teremos; Mas devido ao efeito Poisson, o estado plano de tensões não causa necessariamente um estado plano de deformações e vice-versa. As componentes de deformação são avaliadas por extensômetros e tem valores específicos em cada direção observada.

4 2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações Consideraremos o elemento infinitesimal com deformações normais εx e εy nas direções x e y e deformações total cisalhantes γxy ; Baseado nestas deformações, buscamos as deformações de um elemento em x y rotacionado em relação a xy; Como no estado plano de tensões podemos geometricamente deduzir expressões para obter εx, εy, γ x y nos eixos x y. Para a deformação normal em x teremos a equação geral; Na direção y defasamos = +90º, e teremos; Para a deformação cisalhante em x y teremos a equação geral;

5 EXEMPLO: O elemento infinitesimal do suporte está sujeito a um estado plano de deformações com os seguintes componentes: εx = 150 (10-6 ), εy = 200 (10-6 ), e γxy= -700 (10-6 ). Usar as equações de transformação e determinar as deformações planas equivalentes em um elemento orientado a 30 no sentido horário em relação à posição original. Esquematizar no plano x-y o elemento distorcido em virtude dessas deformações. Solução: Vemos que há uma def. cis. Negativa (abre ângulo entre x e y ), uma def. normal positiva em x (alonga) e negativa em y (contrai), logo esboçamos o elemento deformado:

6 DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS; Obtemos as expressões de maneira análoga as tensões principais Deformações normais principais também ocorrem em orientações de deformações cisalhantes nulas. A deformação cisalhante máxima também ocorre em planos a 45º, onde atua uma deformação normal média. Em materiais isotrópicos os eixos das deformações principais coincidem com a orientação dos eixos das tensões principais.

7 Fazer: O estado de deformação no ponto do dente da engrenagem tem componentes εx=850(10-6 ), εy=480(10-6 ), γxy = 650(10-6 ), Usar as equações de transformação da deformação para determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Especificar em cada caso a orientação do elemento e mostrar no plano x-y como as deformações o distorcem.

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9 2.3 Circulo de Mohr - Estado plano de deformações A equação do circulo de Mohr de deformações é obtida analogamente às de tensões; Com atenção para o fato do eixo das ordenadas representar metade da deformação por cisalhamento. Centro e raio serão; onde, e o pt de referência pode ser Exemplo: O estado de deformação no ponto da chave tem componentes εx=260(10-6 ), εy=320(10-6 ) e γxy = 180(10-6 ). Usar o circulo de Mohr para determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Especificar em cada caso a orientação do elemento e mostrar no plano x-y como as deformações o distorcem. Sol; obtendo metade da def. cis. podemos marcar o pt de referência A, Com a def. normal média obtemos o centro, No próximo slide mostramos o círculo construído com o centro e pt de referência dados,

10 Dados; εx=260(10-6 ), εy=320(10-6 ) e γxy = 180(10-6 ) Temos o circulo; O raio será; B e D dão as deformações principais; A orientação do plano principal de def. normal min. por tang. é; Logo θp2=35.8º no sentido horário, e a máxima defasado portanto observando o círculo θp1= =54.2º anti-hor. p/ a def. normal máx. Com o raio obtemos a def. cis. max. no circulo, entre AC e CE dá o ângulo da orientação da def. cis máx por tg.; sentido anti-horário, com fechamento angular (γ+).

11 2.4 Deformação por cisalhamento máxima absoluta omo vimos, um elem. em um estado de tensão tridimensional xyz; erá uma orientação x y z onde atuam as tensões rincipais (triaxiais) m materiais homogêneos e isotrópicos, estas tensões ubmetem as deformações principais estas direções; Analisando cada plano separadamente, construímos o círculo de Mohr que cruza o eixo das abcissas nas def. principais dadas (pts de ordenadas def. cis.=0) ATENÇÂO: Planos onde não há def. cis. estão com as def. normais principais. Como vemos, a deformação de cisalhamento máxima absoluta será como ela ocorre no plano x z, seu elemento está orientado à 45º em torno de y (σint). Temos ainda a deformação normal média;

12 Exemplo: A deformação no ponto A do suporte tem componentes εx=300(10-6 ), εy=550(10-6 ), γxy = -650(10-6 ) e εz= 0. Determinar (a) as deformações principais em A, (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano x-y e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta. Sol; para obter as tensões principais vamos utilizar o ciclo de Mohr para deformações, inicialmente no plano xy; Lembrando que; Fazemos; assim teremos as deformações principais no plano x y ; Lembre-se: Planos que não tiverem def. cis. tem as def. normais principais (xz e yz neste caso) que serão respectivamente εmax e εint, pois se trata de estado plano com εz =0=εmin, então fazemos o ciclo simultaneamente com as deformações principais em cada um dos plano x y, x z e z ý ; Vemos que a def. cis. máxima no plano x y será; Vemos que def. cis. máxima absoluta ocorre no plano x z (círculo maior) e será;

13 2.5 Rosetas ão extensômetros de resistência elétrica; ara padrão de 3 extensômetros; m uma superfície xy ela mede as deformações εx εa, εb e εc) respectivamente nas direções θ (θa, θb θc) representadas acima. rata-se de um problema inverso (temos (εx ) s e s, e buscamos εx, εy e γxy) montando um sistema om a equação geral de transformação ; reescrita sem as identidades trigonométricas; sen 2θ = 2 sen cos θ, cos2 θ = (1+ cos 2 θ)/2 e sen2 θ + cos2 θ = 1). sistema terá a forma; Determinados εx, εy e γxy utilizamos Mohr ou Eq. gerais para obter as deformações principais e cisalhante máxima. Para facilitar convém orientar as rosetas nas formas:

14 θa=0º θb=45º θc=90º ou Assim o sistema; θa=0º θb=60º θc=120º Substituindo os valores de sen e cos reescrevemos respectivamente: Exemplo: O estado de deformação no ponto A do suporte da Figura-a é medido com o uso da roseta mostrada na Figura -b. Devido às cargas, as leituras nos aferidores dão εa=60(10-6 ), εb=135(10-6 ), εc = 264(10-6 ). Determinar as deformações principais no plano nesse ponto e as direções em que cada uma atua. Sol; poderíamos usar o sistema reescrito mais simples, mas montando o sistema inteiro; Cuja solução será;

15 Montaremos o ciclo de Mohr; or trigonometria (tg) obtemos o menor ângulo principal (2θp2) de AC até a direção da deformação principal ínima no sentido anti-horário; ogo a orientação será;

16 Fazer: A roseta montada no elo da retroescavadeira fez as seguintes aferições; εa=650(10-6 ), εb=-300(10-6 ), εc = 480(10-6 ). Determinar (a) as deformações principais no plano, (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada.

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18 2.6 Relações Material Propriedade Supondo materiais homogêneos e isotrópicos na região linear elástica; Lei de Hooke Generalizada; Em tensões triaxiais para obter as deformações devemos considerar Poisson, (cada deformação sofre influência da def. perpendicular a ela). Ex: Vamos buscar εx: Pela lei de Hooke uniaxial (Cap 3), quando σx é aplicada o elemento deforma-se ε'x em x; Mas como σy é aplicada; por Poisson ele tb deforma-se ε x em x; Mas como σz é aplicada; por Poisson ele tb deforma-se ε x em x; Portanto a deformação final εx será a superposição (soma) das três, ou seja; Analogamente para y e z faremos; LEI DE HOOKE GENERALIZADA TRIAXIAL->

19 Obs: Não existe efeito Poisson no cisalhamento, Cada tensão τxy (plano x e direção y), apenas deforma o ângulo γxy, (entre os eixos x e y) assim, para cisalhamento, a lei de Hooke não se altera; O módulo de elasticidade (E), o módulo de cisalhamento (ou módulo de rigidez) (G) e o coeficiente de Poisson (ν) se relacionam pela Equação: Deformação Volumétrica (e) (ou dilatação) ; Tensões normais num elemento de volume inicial V0=dV=dxdydz; causam variações de volume δv=v-v0 desprezando os produtos das deformações, Deformação volumétrica ou dilatação é simplesmente a razão adimensional; Substituindo a Lei de Hooke generalizada nas deformações (ε s):

20 Módulo de elasticidade do volume (ou compressibilidade) (k); Dado um elemento submetido a uma pressão hidrostática positiva (p) de compressão; Teremos as tensões normais; Substituíndo estas na equação da def. volumétrica, reescrevemos: O termo constante do lado direito é o k; (un: Pa ou ksi) Obs:, K>0, (pois pressão hidrostática (p) positiva é compressão, e causa def. vol. (e) negativa) Isso mostra que Poisson tem valor limitante máximo ν 0.5 (veja o denominador de k) Esse é o valor de ν usado para escoamento plástico, quando o módulo de compressibilidade K é máximo significando não haver mais mudança de volume, só da forma.

21 Fazer: A barra de cloreto de polivinil (Epvc = 800x10 3 psi) está sujeita a uma força axial de 900 lb. Supondo que ela tenha as dimensões originais mostradas, se o ângulo θ decrescer Δθ = 0,01 depois que a carga for aplicada, determinar: a)as deformações normais εx, εy em função de (νpvc). b)o coeficiente de Poisson (νpvc). c)o módulo de cisalhamento (G). d)a deformação volumétrica (e). e)o módulo de compressibilidade (k).

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23 Bibliografia: R. C. Hibbeler Resistência dos materiais 5º Edição. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!