Resistência dos Materiais 2 AULA 3-4 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES

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1 Resistência dos Materiais 2 AULA 3-4 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES PROF.: KAIO DUTRA

2 Transformação no Estado Plano de Tensões O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes de tensões normal e de cisalhamento. Esse estado de tensão, entretanto, não é encontrado com frequência na prática de engenharia. Prof.: Kaio Dutra

3 Transformação no Estado Plano de Tensões Fazendo-se uma simplificação, atribuindo apenas tensões em um plano, teremos um estado plano de tensões Prof.: Kaio Dutra

4 Transformação no Estado Plano de Tensões O estado geral plano de tensões em um ponto é representado, portanto, pela combinação de dois componentes de tensão normal e um componente de tensão de cisalhamento. Prof.: Kaio Dutra

5 Transformação no Estado Plano de Tensões É possível transformar as componentes de tensão modificando o ângulo de referência de estudo, conforme apresentado na figura. As duas orientações representam o mesmo estado de tensão, porém os valores das tensão mudaram, conforme a orientação. Prof.: Kaio Dutra

6 Transformação no Estado Plano de Tensões Para calcular o estado as tensões resultantes da transformação de tensão basta resolver a equação de equilíbrio apresentada na figura. Prof.: Kaio Dutra

7 Transformação no Estado Plano de Tensões Exemplo 9.1

8 Transformação no Estado Plano de Tensões Exemplo 9.1

9 Transformação no Estado Plano de Tensões Exemplo 9.1

10 Transformação no Estado Plano de Tensões Exemplo 9.1

11 Equações Gerais de Transformação de Tensão Para o Estado Plano Para geração de equações gerais, primeiramente é importante adotar uma convenção de sinais. Desta forma, a tensão normal positiva atua para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva atua para cima na face direita do elemento. Prof.: Kaio Dutra

12 Equações Gerais de Transformação de Tensão Para o Estado Plano Dado um estado plano de tensões a orientação do pano inclinado no qual devem ser determinados os componentes das tensões normal e de cisalhamento será definida pelo ângulo θ. Prof.: Kaio Dutra

13 Equações Gerais de Transformação de Tensão Para o Estado Plano O diagrama de corpo livre produzido esta mostrado na figura. Aplicando as equações de equilíbrio é possível determinar as tensões na nova orientação. Prof.: Kaio Dutra

14 Equações Gerais de Transformação de Tensão Para o Estado Plano

15 Equações Gerais de Transformação de Tensão Para o Estado Plano

16 Equações Gerais de Transformação de Tensão Para o Estado Plano Exemplo 9.2

17 Equações Gerais de Transformação de Tensão Para o Estado Plano Exemplo 9.2

18 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano Conforme mostrado pelas equações, as tensões dependem da orientação do plano. Na prática de engenharia, em geral, é importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão normal chegar ao valor máximo e mínimo, bem como a orientação dos planos que fazem a tensão de cisalhamento chegar ao máximo. Prof.: Kaio Dutra

19 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano Para determinar a tensão normal máxima e mínima podemos diferenciar a equação abaixo e igualar a 0. Prof.: Kaio Dutra

20 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano

21 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano Desta forma é possível obter uma equação que apresenta os valores máximos e mínimos de tensões (tensões principais). Neste caso, resolvendo a equação do cisalhamentos para a posição de tensão normal máxima, o resultado obtido será zero. Prof.: Kaio Dutra

22 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano Para determinar a orientação de um elemento cujas faces atua a tensão de cisalhamento máxima, deriva-se a equação da tensão cisalhante em relação ao ângulo e iguala-se a zero. Prof.: Kaio Dutra

23 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano Resolvendo a equação da tensão normal para a posição de cisalhante máxima, obtém-se: Prof.: Kaio Dutra

24 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano Exemplo 9.3

25 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano Exemplo 9.3

26 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano Exemplo 9.3

27 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano Exemplo 9.5

28 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano Exemplo 9.5

29 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano Exemplo 9.5

30 Equações Gerais de Transformação de Tensão Para o Estado Plano Exemplo 9.2

31 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões As equações de transformação para o estado plano de tensões tem uma solução gráfica que, em geral, é mais fácil de usar e lembrar. Além disso, essa abordagem permite visualizar como os componentes das tensões normal e de cisalhamento variam conforme orientação do plano em que atuam. Christian Otto Mohr Prof.: Kaio Dutra

32 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões As equações da tensão podem ser reescritas da seguinte forma: Elevando as duas equações ao quadrado e somando-as, teremos: Prof.: Kaio Dutra

33 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões Desse modo, a equação pode ser reescrita de forma mais compacta: Se estabelecermos um eixo em que a tensão normal seja positiva para direita e a tensão de cisalhamento positiva para baixo, veremos que a representação da equação simplificada encontrada forma um círculo. Prof.: Kaio Dutra

34 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões Esse círculo é chamado de circulo de Mohr. Prof.: Kaio Dutra

35 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões

36 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões

37 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões

38 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões Exemplo 9.7

39 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões Exemplo 9.7

40 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões Exemplo 9.7

41 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões Exemplo 9.9

42 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões Exemplo 9.9

43 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões Exemplo 9.9

44 Tensão Em Eixos Que se Deve à Carga Axial e à Torção Ocasionalmente, os eixos circulares são submetidos a efeitos combinados de carga axial e torção. As tensões principais são determinadas tanto pelas equações de transformação de tensão como pelo círculo de Mohr. Prof.: Kaio Dutra

45 Tensão Em Eixos Que se Deve à Carga Axial e à Torção Exemplo 9.12

46 Tensão Em Eixos Que se Deve à Carga Axial e à Torção Exemplo 9.12

47 Tensão Em Eixos Que se Deve à Carga Axial e à Torção Exemplo 9.12

48 Variação de Tensão ao Longo de Uma Viga Em geral, em uma seção arbitrária a-a ao longo do eixo da viga, o cisalhamento interno V e o momento M desenvolvemse a partir de uma distribuição parabólica da tensão de cisalhamento e de uma distribuição linear da tensão normal. Prof.: Kaio Dutra

49 Variação de Tensão ao Longo de Uma Viga Exemplo 9.13

50 Variação de Tensão ao Longo de Uma Viga Exemplo 9.13

51 Variação de Tensão ao Longo de Uma Viga Exemplo 9.13

52 Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta Quando determinado ponto em um corpo é submetido a um estado geral de tensões tridimensional, sobre cada face de um elemento do material atuam um componente de tensão normal e dois componentes de tensão de cisalhamento. Neste caso é possível representar três círculos de Mohr, um para cada plano. Prof.: Kaio Dutra

53 Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta Voltando para um estado plano de tensões, o caso aplsentado na figura envolve tensão que podem ser representados no plano x-y. Porém também é possível respresentar o círculo de Mohr para os planos z-y e z- x. Prof.: Kaio Dutra

54 Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta

55 Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta De forma geral a tensão de cisalhamento máxima absoluta poderá ser determinada pela seguinte equação: Prof.: Kaio Dutra

56 Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta De forma geral a tensão de cisalhamento máxima absoluta poderá ser determinada pela seguinte equação: Prof.: Kaio Dutra

57 Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta Exemplo 9.15

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