Capítulo X Parte I Momentos de Inércia

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1 Universidade Federal Fluminense - UFF Escola de Engenharia de Volta Redonda EEMVR Departamento de Ciências Eatas Capítulo X Parte Momentos de nércia Profa. Salete Souza de Oliveira Home: Bibliografia Principal R. C. HBBELER Estática Mecânica para Engenharia

2 Momentos de nércia de Áreas ntrodução Centróide Considera-se o primeiro momento da área em relação a um eio Momento de nércia ntegral do Segundo Momento de nércia σ κz df dm dfz kz d M d σd kzd d κ z d

3 Momentos de nércia d d d d d d Momento Polar de nércia J r d + o

4 Teorema dos Eios Paralelos para Uma Área ( ' ) ' + + ' d d d d d d + d _ ' primeira integral representa o momento de inércia da área em relação ao eio que passa pelo centróide. segunda integral é zero, uma vez que passa através do centróide C da área, isto é, + ' d d _ ' d _ J o J c + 0, + d _ 0 _ ' d

5 Raio de Giração de Uma Área k k ko J o Momentos de nércia de uma Área por ntegração Caso de contornos de áreas planas epressos por funções matemáticas

6 Eercícios 1- Determine o momento de inércia para a área retangular mostrada na Figura em relação (a) ao eio que passa pelo centróide, (b) ao eio b que passa pela base do retângulo e (c) ao pólo ou eio z perpendicular ao plano - e que passa pelo centróide C.

7 - Determine o momento de inércia da área sombreada mostrada na Figura em torno do eio.

8 3- Determine o momento de inércia em relação ao eio da área circular mostrada na Figura. Resolver os eercícios do Hibbeller 10.,10.9,10.4

9 Momentos de nércia de Áreas Compostas Uma área composta é constituída por uma série de outras áreas ou formas geométricas mais simples, como semicírculos, retângulos e triângulos. Desde que o momento de inércia de cada uma dessas partes seja conhecido, ou possa ser determinado em relação a um eio comum. Eercício Calcule o momento de inércia da área composta mostrada na Figura em relação ao eio

10 - Determine os momentos de nércia da área da seção reta da viga mostrada na Figura. Em relação aos eios e que passam pelo seu centróide. Resolver os eercícios 10.45, e do Hibbeller

11 Produto de nércia de Uma Área d Se o elemento de área escolhido tem uma dimensão infinitesimal em duas direções, como mostra a figura, uma integração dupla deve ser efetuada para calcular a integral acima. Na maioria dos casos, é mais simples escolher um elemento de área com uma dimensão infinitesimalou largura em apenas uma direção; nesses casos é necessária apenas uma simples integração.

12 Teorema dos Eios Paralelos Considere a área sombreada mostrada na Figura, onde e representam um par de eios passando pelo centróide da área, enquanto, representam o par de eios paralelos correspondente. Como o produto de inércia de d em relação aos eios, é d ( +d ) ( +d)d, então para toda área ( ' )( ' ) ' ' ' ' ' + d + d d d + d d + d d d d d + _ + d d

13 Eercício Determine o produto de nércia do triângulo mostrado na Figura abaio

14 Momento de nércia de uma área em relação a eios inclinados u cosθ + senθ v cosθ senθ Os momentos e o produto de inércia em relação aos eios u e v são d d d u v uv v u d d uvd ( cosθ senθ ) ( cosθ + senθ ) d d ( cosθ + senθ )( cosθ senθ )d

15 Epandindo cada epressão e integrando, levando em conta que d d, d, θ sen θ senθ θ u cos + cos en θ θ senθ θ v s + cos + cos ( ) senθ cosθ senθ cosθ + cos θ sen θ uv + u + cos θ senθ + v cos θ + senθ uv senθ + cos θ

16 O momento Polar de nércia em relação ao eio z que passa pelo ponto O é independente da orientação dos eios u,v, isto é Jo u + v + Momentos Principais de nércia O Ângulo p define a orientação dos eios principais para a área. d u sen θ cos θ 0 dθ tgθ p ( )

17 Raízes senθ + p1 cos θ p1 + senθ + p cos θ p + + ma ± + min

18 Eercício Determine os momentos principais de inércia da área da seção transversal da viga mostrada na Figura em relação a um dos eios que passa pelo centróide.

19 Círculo de Mohr para Momentos de nércia ( ) u uv u uv a + R R +

20 E- Utilizando o círculo de Mohr determine os momentos principais de inércia para a área da seção transversal da viga na Figura em relação a um eio que passa pelo centróide.

21 Resolver os eercícios do Hibbeller 10.54, 10.59,10.69,10.80