Resistência dos Materiais

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1 Capítulo 3: Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas Coeficiente de Dilatação Térmica Professor Fernando Porto Resistência dos Materiais

2 Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas

3 Vasos de pressão cilíndricos.

4 Vasos de pressão esféricos.

5 Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas As paredes finas deste tipo de construção de vasos de pressão oferecem pequena resistência à flexão, de modo que podemos considerar que os esforços internos que atuam são tangenciais à superfície do vaso.

6 Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas: Vasos Cilíndricos

7 Consideremos um vaso cilíndrico de raio interno r e parede de espessura t contendo um fluido sob pressão. Seja um pequeno elemento de parede, de lados relativamente paralelos e perpendiculares ao eixo do cilindro:

8 As tensões normais s 1 e s 2 são as tensões principais. A tensão s 1 é chamada de tensão tangencial, enquanto a tensão s 2 é chamada de tensão longitudinal. Tensão tangencial Tensão longitudinal

9 Tensão tangencial Seja uma porção da parede do vaso: S s 1.t.Dx p.(2r.dx) s 1.t.Dx

10 S

11 Tensão longitudinal Seja uma porção da parede do vaso: S s 2.(2p.r.t) Atenção: esta é uma aproximação válida somente porque t << r p.(p. r 2 )

12 S Atenção: verifica-se que a tensão tangencial s 1 é o dobro da tensão longitudinal s 2.

13 Tensão de Cisalhamento Através da aplicação do círculo de Mohr (ainda não ministrado, por isto não será apresentado o desenvolvimento aqui), verifica-se que a tensão cisalhamento máxima t max tem igual valor à tensão longitudinal s 2 :

14 Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas: Vasos Esféricos

15 Consideremos agora um vaso esférico de raio interno r e parede de espessura t contendo um fluido sob pressão. Por razões de simetria, as tensões exercidas nas 4 faces de um pequeno elemento da superfície da parede devem ser iguais:

16 Para determinarmos o valor da tensão, passamos uma seção pelo centro C do vaso de pressão, considerando então o corpo livre constituído pela porção do vaso e seu conteúdo localizados à esquerda da seção:

17 Somatório de forças em x é nulo: S Atenção: esta é uma aproximação válida somente porque t << r

18 Tensão de Cisalhamento Através da aplicação do círculo de Mohr (ainda não ministrado, por isto não será apresentado o desenvolvimento aqui), verifica-se que a tensão cisalhamento máxima t max tem metade do valor da tensão longitudinal s 2 :

19 Exemplo 1 Seja um tanque de ar comprimido apoiado em 2 cavaletes como ilustrado. O corpo cilíndrico do tanque foi construído em chapa de aço de 10mm de espessura, enquanto que as calotas esféricas das extremidades empregam chapas de 8mm de espessura. Ângulo de solda Quando for ministrado o conceito de círculo de Mohr, este ângulo poderá ser usado para calcular as tensões na solda. Para uma pressão interna de 1260kPa, determinar (a) a tensão normal e a tensão máxima de cisalhamento na calota esférica; (b) as tensões tangencial e longitudinal no corpo cilíndrico.

20 (a) Calota esférica: p = 1260x 10 3 Pa; t = 8 x 10-3 m; r = 0,4m (b) Corpo cilíndrico: p = 1260x 10 3 Pa; t = 10 x 10-3 m; r = 0,4m

21 Coeficiente de Dilatação Térmica

22 Nas estruturas estudadas até este ponto, consideramos que a temperatura permanecia constante durante o tempo de carregamento. Agora vamos considerar situações onde ocorrem variações de temperatura. Seja uma barra AB, homogênea e de seção transversal uniforme: Superfície lisa sem atrito

23 Se aumentarmos a temperatura em DT, notamos que a barra sofre um alongamento d T, o qual é proporcional tanto à temperatura, como em relação ao comprimento. Então: a: coeficiente de dilatação térmica Neste caso não existem tensões relacionadas com a deformação.

24 Como DT, é expresso em unidades de temperatura, e L e d T, em unidades de comprimento, o coeficiente de dilatação térmica a é expresso em grau centígrado elevado a -1 (poderia ser expresso em qualquer outra unidade de temperatura). L d T DT a [m] [m] [ C] [ C -1 ] ou [1/ C]

25 Vamos agora considerar que a barra AB de comprimento L foi colocada entre 2 anteparos fixos, não existindo tensões nesta condição inicial.

26 Se elevada a temperatura DT, a barra deveria dilatarse, mas os anteparos impedem esta dilatação. Assim sendo, passa a existir uma tensão interna relacionada à dilatação. P P

27 Para determinar esta tensão, determina-se a força P capaz de deformar a barra de modo a compensar a dilatação da mesma, quando sob ação da variação de temperatura:

28 Como a deformação anula a dilatação, então: Obs.: Esta equação somente é válida para barras homogêneas, de seção transversal uniforme.

29 Exemplo 2 A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a temperatura é de +25 C. Determinar as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para a temperatura de -50 C. Usar E = 200GPa e a = 12 x 10-6 / C. A = 400mm 2 A = 800mm 2 Obs.: como a temperatura decai de +25 C para -50 C, a barra sofre uma contração, e não uma expansão. 300mm 300mm

30 O primeiro passo é determinar a variação de temperatura: Dilatação d T correspondente ( L = 0,6m; a = 12 x 10-6 / C ) A = 400mm 2 A = 800mm 2 O sinal negativo é indicativo de que se trata de contração, e não de dilatação. 300mm 300mm

31 Dilatação causada pela aplicação de uma força: A = 400mm 2 A = 800mm 2 R B 300mm 300mm

32 A dilatação causada pela aplicação da força anula a contração: A = 400mm 2 A = 800mm 2 R B 300mm 300mm

33 Encontrada a força, determina-se as tensões: A = 400mm 2 A = 800mm 2 R B 300mm 300mm

34 Exercício 1 Um tanque esférico de gás tem um raio interno de 1,5m. Se está sujeito a uma pressão interna de 300kPa, determine a espessura requerida para que a tensão normal máxima não exceda 12MPa. Resposta: 18,8 mm Ex th ed.

35 Exercício 2 Um tanque esférico de gás foi construído empregando-se chapas de aço de 0,5 polegada. Se sujeito a uma pressão de 200psi, determine seu raio para que a máxima tensão normal não exceda 15kpsi (15000 psi). 1 polegada = 25,4 mm ou 0,0254 m 1 psi (libra por polegada quadrada) = 6894,76 Pa Resposta: 75,5 pol. ou 1917,7 mm Ex th ed.

36 Exercício 3 O tanque do compressor da figura é sujeito a uma pressão interna de 90 psi. Se o diâmetro interno do cilindro é de 22 polegadas, e a espessura da parede, 0,25 polegadas, determine as tensões atuantes no ponto A. Resposta: 3,96 kpsi e 1,98 kpsi ou 27,30MPa e 13,65MPa. Ex th ed.

37 Exercício 4 A barra rígida CDE é presa ao apoio E por um pino, e se apoia no cilindro BD de 30mm de diâmetro. Um parafuso de 22mm de diâmetro passa por um furo na barra em C, e é fixo por uma porca simplesmente ajustada. Continua...

38 Exercício 4 A montagem, feita à temperatura de 20 C, não leva nenhuma tensão à estrutura. A temperatura do cilindro de latão é aumentada para 50 C, enquanto o parafuso tem sua temperatura mantida constante. Pede-se determinar para essas condições as tensões no cilindro. Barra AC: aço; E = 200GPa; a = 12 x 10-6 C -1 Cilindro BD: latão; E = 105GPa; a = 18,8 x 10-6 C -1 Resposta: 40,3MPa Exercício resolvido 2.4 no livro texto 3ª. edição em português (biblioteca).

39 Exercício T6 Alumínio 12 pol. 8 pol. 304 aço inox C Bronze 4 pol. A montagem mostrada tem os materiais e dimensões como indicado. O conjunto foi fixado à 50 F sem tensões internas. Determine as tensões normais internas em cada material, quando a temperatura subir a 110 F. Coeficiente a: liga 2014-T6, 23 x 10-6 C -1 ; liga C86100, 17 x 10-6 C -1 ; aço inox 304, 17 x 10-6 C -1. Módulo elasticidade E: liga 2014-T6, 75GPa; liga C86100, 103GPa; aço inox 304, 193GPa. 50 F = 10 C 110 F = 43,33 C 1 ft ou 1 pé = 0,3048 m 1 polegada = 25,4 mm ou 0,0254 m Resposta: 2,46 kpsi; 5,52 kpsi; 22,1 kpsi 17,0Mpa; 38,1MPa; 152,4MPa ex th ed.

40 Exercício 6 A barra AB de latão vermelho C83400 e a barra BC de alumínio 2014-T6 são conectadas por uma junta em B, e fixadas às paredes. Ambas as barras tem área de seção transversal de 1,75pol 2. Não há tensões quando a temperatura é de 50 F. Determine (a) as tensões normais em cada barra quando a temperatura subir para 120 F e (b) calcule o deslocamento da junta B. Coeficiente a: liga 2014-T6, 23 x 10-6 C -1 ; liga C83400, 18 x 10-6 C -1. Módulo elasticidade E: liga 2014-T6, 75GPa; liga C83400, 101GPa. 120 F = 48,89 C Resposta: 9,77 kpsi; 0,611 x 10-3 polegadas 67,36Mpa; 0,0155mm ex th ed.

41 Fonte Bibliográfica Resistência dos Materiais Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr., E. Russell; Editora Pearson Nakron Books, 3a. Ed., 2010

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