2 Velocidade do Centro de Massa dos Elos

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Sistemas Elétricos de Automação e Energia ELE8 Robótica A 1 ntrodução Formulação de Lagrange-Euler Prof. Walter Fetter Lages 14 de junho de 017 τ d L dt q L q onde L K P é denominado Lagrangeano, K é a energia cinética e P é a energia potencial. A energia cinética de cada elo pode ser calculada por K i 1 m iv T i V i 1 m i Tr(V i V T i e a energia potencial pode ser putada por P i m i g T 0 P ci m i g T 0 T i i P ci K P K i P i Velocidade do Centro de Massa dos Elos 0 V i d 0 P ci d ( 0 T i d i P ci 0 T i i P ci dt dt dt ( 0 0 V i T 1 1 T i T 1 T T i i 1 T i 1 T i i P ci 1

2 ( 0 0 T 1 V i q 1 1 T i T T 1 q T i T i 1 q i i P ci q 1 q q i 0 V i ( j1 0 T i q j q j i P ci Tem-se das convenções de Denavit-Hartenberg que: cosθ i cosα i sen θ i sen α i sen θ i a i cos θ i i 1 T i sen θ i cosα i cosθ i sen α i cosθ i a i sen θ i 0 sen α i cosα i d i Portanto, para junta rotacional, ou seja q i θ i : sen θ i cosα i cosθ i sen α i cosθ i a i sen θ i cosθ i cosα i sen θ i sen α i sen θ i a i cosθ i θ i que pode ser escrito na forma θ i Q i i 1 T i Q i Para junta prismática, ou seja, q i d i, tem-se d i que pode ser escrito na forma θ i Q i i 1 T i

3 Pode-se agora calcular Q i de onde pode-se obter U ij 0 T i q j { 0 T j 1 Q j j 1 T i, para j i 0, para j > i ( 0 V i U ij q j j1 3 Energia Cinética dos Elos i P ci dk i 1 Tr (0 V 0 i Vi T dmi dk i 1 Tr T U ir q i r P ci dm i ( U ip q pi P ci p1 r1 [ 1 Tr U ip q i p P i ci Pci T q ruir T dm i p1 r1 [ 1 Tr ( U i ip P i ci Pci T dm i U T ir q p q r p1 r1 Como U ij e q i são independentes da distribuição de massa do elo i, pode-se escrever [ K i dk i 1 Tr U i ip P i ci Pci T dm iuir T q p q r p1 r1 Definindo-se 3

4 J i i P ci i P T ci dm i x i dm i xi y i dm i xi z i dm i xi dm i xi y i dm i y i dm i yi z i dm i yi dm i xi z i dm i yi z i dm i z i dm i zi dm i xi dm i yi dm i zi dm i dmi pode-se escrever K 1 K i 1 p1 r1 ( Tr p1 r1 Tr ( U ip J i Uir T qp q r U ip J i Uir T q p q r Considerando-se a definição do tensor de inércia [ ( ij δ ij x i x j dm pode-se obter J i a partir de J i xx+ yy+ zz k x k xy xz m i x ci xx yy+ zz xy yz m i y ci xz xx+ yy zz yz m i z ci m i x ci m i y ci m i z ci m i 4 Energia Potencial dos Elos 5 Lagrangeano P m i g T 0 T i i P ci L 1 Tr ( U ip J i Uir T qp q r + p1 r1 m i g T 0 T i i P ci 4

5 6 Torque L q i τ i d L L dt q i q i ji Tr ( U jk J j Uji T qk k1 d L dt q i Tr ( U jk J j Uji T qk + ji k1 ji k1 m1 Tr ( U jk J j Uji T qk q m q m d L dt q i Definindo Tr ( U jk J j Uji T qk + ji k1 ji k1 m1 ( Ujk Tr J j Uji T q k q m q m U jkm U jk q m pode-se escrever 0 T k 1 Q k 1 k T m 1 Q m 1 m T j, j m k 0 T m 1 Q m 1 m T k 1 Q k 1 k T j, j k m 0, j < k ou j < m d L dt q i Tr ( U jk J j Uji T qk + ji k1 Tem-se ainda que Tr ( U jkm J j Uji T qk q m ji k1 m1 e portanto L q i m j g T U j ji P cj ji τ i + Tr ( U jk J j Uji T qk ji ji k1 k1 m1 m j g T U j ji P cj ji Tr ( U jkm J j Uji T qk q m 5

6 que pode ser escrito de forma mais pacta o τ i M ik q k + V ikm q k q m + G i k1 k1 m1 G i ou ainda, na forma matricial M ik Tr ( U jk J j Uji T jmax(i,k V ikm Tr ( U jkm J j Uji T jmax(i,k,m m j g T U j ji P cj ji τ M(q q + V (q, q + G(q 7 Modelo no Espaço de Estados Definindo tem-se e q M 1 (q [τ V (q, q G(q x [ q q u τ [ x1 x ẋ f (x 1, x + g (x 1 u f (x 1, x M 1 (x 1 (V (x 1, x + G(x 1 g (x 1 M 1 (x 1 de onde pode-se escrever o modelo no espaço de estados na forma afim: 6

7 sendo ẋ f(x + g(xu [ x f(x f (x 1, x [ 0 g(x g (x 1 7