Campo Magnético - Lei de Biot-Savart

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1 Campo Magnético - Lei de Biot-Savart Evandro Bastos dos Santos 22 de Maio de Campo Magnético Na aula anterior vimos que uma carga elétrica, quando em movimento, sofre uma força devido a um campo magnético. Nessa aula veremos qual a fonte desse campo magnético e uma técnica de como calculá-lo. É de se imaginar que como uma carga em movimento sofre uma força de um campo elétrico, também teremos que uma carga elétrica em movimento pode produzir um campo magnético. Vamos considerar um fio de seção transversão A. Nesse fio podemos considerar um comprimento infinitesimal d l, que possui carga total dq. Podemos, então, determinar que Figura 1: Corrente I percorrendo um fio dq = nadlq (1) em que n é o total de portadores de carga e q é a carga total no fio. A lei de Biot-Savart, garante que o campo magnético produzido por uma carga com velocidade v a é B = µ 0 qv a sin θ (2) em que µ 0 é uma constante universal e tem valor igual a 4π 10 7N/A 2 e θ é o angulo entre o vetor velocidade e o vetor posição até o ponto r. Vetorialmente podemos escrever que como dq = nadlq, temos que B = µ 0 q v a ˆr (3) B = µ 0 nadlqv a sin θ. (4) 1

2 A parcela nqv a é definida como a densidade de corrente, J. Portanto, se J é densidade de corrente J = I A (5) I = JA = nqv a A. (6) Logo, Ou vetorialmente B = µ 0 Idl sin θ. (7) A equação 8 é conhecida por Lei de Biot-Savart. B = µ 0 Id l ˆr. (8) 2 Linhas de Campo Magnético As linhas de campo magnético são então determinadas pelo produto vetorial de d l com r. Ao considerarmos todas as posições do vetor r temos que as linhas formadas por B formam uma circuferência ao longo do fio. Figura 2: Linhas de campo magnético de um fio percorrido por corrente elétrica A determinação dessas linhas de campo pode ser também feita através da regra da mão direita, em que o dedo polegar tem o sentido da corrente I e os demais dedos formam as linhas de campo quando fechados. 2

3 Figura 3: Determinação das linhas de campo magnético pela regra da mão direita. Essa direção chamamos de ˆϕ. 3 Campo magnético devido a um fio transportando corrente Vamos agora calcular o campo magnético que um fio de comprimento 2a transportando uma corrente I, produz em um ponto distante r. Figura 4: Campo magnético em um ponto P devido a um fio transportando corrente. Queremos calcular db = µ 0 Id l ˆr (9) db = µ 0 Idl sin φ (10) em que φ é o angulo oposto a θ. Como r = (x 2 + y 2 ) 1/2, e como dl = dy. sin φ = cosθ = x (x 2 +y 2 ) 1/2 temos que Integrando no comprimento do fio, ou seja, de a a a. db = µ 0 Idyx. (11) 4π (x 2 + y 2 ) 3/2 B = µ a 0 4π a B = µ 0 4π Idyx (x 2 + y 2 ) 3/2 (12) I2a. x(x 2 + a 2 ) 1/2 (13) 3

4 Se o comprimento do fio for muito grande, a >> x, então (x 2 + a 2 ) 1/2 = a, portanto ou vetorialmente B = µ 0 I2a 4π xa B = µ 0I 2πx (14) (15) B = µ 0I ˆϕ (16) 2πx que é a expressão para o campo magnético produzido por um fio percorrido por corrente. Exemplo: Calcule o campo magnético produzido por um fio que transporta uma corrente de 2A, a uma distância de 3mm. 4 Campo Magnético devido a uma espira circular Figura 5: Campo magnético em um ponto P devido a uma espira transportando corrente. Queremos calcular em que φ é o angulo oposto a α. Em termos de componentes podemos escrever db = µ 0 Id l ˆr (17) db = µ 0 Idl 4π d 2 (18) db = µ 0 Idl 4π z 2 + R 2 (19) db z = db cos φ = µ 0 4π IdlR (20) (z 2 + R 2 ) 3/2 db y = db sin φ = µ 0 Idlz. (21) 4π (z 2 + R 2 ) 3/2 4

5 Por simetria, ao integrar db y, temos que o mesmo é nulo. Portanto o campo é somente na direção ẑ. Fazendo dl = Rdθ e integrando em todo a circunferência. db = µ 2π 0 4π 0 B = µ 0 4π B = µ 0 2 IRdθR (z 2 + R 2 ) 3/2 (22) IR 2 2π (z 2 + R 2 ) 3/2 (23) IR 2 ẑ (z 2 + R 2 ) 3/2 (24) Se quisermos o campo no centro da espira, ou seja, z = 0 temos que B = µ 0I 2R ẑ (25) Ou seja, o campo magnético está na direção perpendicular a espira. Podemos também determinar essa direção pela regra da mão direita. Figura 6: Campo magnético no centro de uma espira transportando corrente. Exemplo: Em que ponto, distante do centro de uma espira transportando uma corrente I o campo magnético é nulo? 4.1 Momento de dipolo magnético No caso da espira, também podemos determinar que há um momento de dipolo magnético nesse mesmo sentido e dado por em que A é a área da espira. m = IAẑ (26) 5

6 Assim como no campo elétrico a energia associada ao campo magnético, analogamente ao momento de dipolo elétrico ( p), é dada por Se houver N espiras enroladas, então E B = m B (27) E B = N m B (28) Portanto, também podemos determinar que se m B = mb, então a energia terá seu valor mínimo, ou seja, a minimização de energia ocorre quando m e B estão alinhados. Essa mesma espira, sujeita a um campo magnético B, sofrerá uma rotação, ou seja, um torque, dado por Exercícios: Halliday 9ed: cap , 55. cap 29. 3, 7, 9, 12 τ = m B (29) 6