Dinâmica Estrutural. Múltiplos Graus de Liberdade Equações de Euler Lagrange. Ramiro Brito Willmersdorf DEMEC/UFPE 2014.

Transcrição

1 Dinâmica Estrutural Múltiplos Graus de Liberdade Equações de Euler Lagrange Ramiro Brito Willmersdorf DEMEC/UFPE

2 O Método Lagrangeano Leis de Newton: Equações de equilíbrio vetorial; Forças de restrição explícitas; Naturalmente em termos de coordenadas cartesianas; Métodos baseados em energia: Equações escalares; Forças de restrição implícitas; Naturalmente em termos de coordenadas generalizadas;

3 Lagrangeano Definição L=T V L: Lagrangeano T: Energia Cinética V: Energia Potencial

4 Lagrangeano Exemplo Para um sistema massa mola: L= 1 2 m ẋ2 1 2 k x2

5 Equação de Euler Lagrange d ( L ) dt ẋ = L x Isto parece meio bizarro, mas é decorrente de um princípio fundamental da natureza, tão importante quanto as Leis de Newton.

6 Equação E. L. Exemplo Para o sistema massa mola L= 1 2 m ẋ2 1 2 k x2 L ẋ =m ẋ d ( L ) dt ẋ =m ẍ m ẍ= k x L x = k x

7 Equação de E. L. Interpretação Este resultado não é coincidência; A equação de E. L. é uma equação de equilíbrio para cada coordenada à qual é aplicada; A obtenção das eq. de equilíbrio é automática (apenas derivadas) a partir do Lagrangeano; O princípio do qual decorre a eq. de E. L. é o princípio da Estacionariedade da Ação.

8 Princípio da Estacionariedade da Ação A trajetória de uma partícula é aquela que gera um valor estacionário para a ação. t 2 S= t 1 L(x, ẋ,t)dt Isto não tem demonstração, é claro, mas é possível mostrar que isto implica nas eq. de E. L.

9 Equação de Euler Lagrange Exemplo Pêndulo Elástico T = 1 2 m (ẋ2 +(l+x) 2 θ 2 ) V (x,θ)= m g(l+x)cos θ+ 1 2 k x2

10 Equação de Euler Lagrange Exemplo Lagrangeano L=T V = 1 2 m (ẋ2 +(l+ x) 2 θ 2 )+m g(l+x)cosθ 1 2 k x2 Para a direção radial d ( L ) dt ẋ = L x m ẍ=m(l+x) θ 2 +m gcosθ k x

11 Equação de Euler Lagrange Exemplo Lagrangeano L=T V = 1 2 m ( ẋ2 +(l+x) 2 θ 2 )+m g(l+x)cosθ 1 2 k x2 Para a dir. tangencial d ( L ) dt θ = L θ d dt (m(l+x)2 θ)= m g(l+x)sinθ m(l+ x) 2 θ+2 m(l + x) ẋ θ= m g (l+ x)sinθ m(l+ x) θ+2 m ẋ θ= m g sin θ

12 Equação de Euler Lagrange Exemplo Equações de Movimento m ẍ=m(l+x) θ 2 +m gcosθ k x m(l+ x) θ+2 m ẋ θ= m g sin θ

13 E. L. Forças Não Conservativas Se existirem forças não conservativas no sistema, o Lagrangeano deve ser modificado para incluí-las; Forças de atrito, amortecedores, etc. Forças que não podem ser descritas como a derivada de um potencial; Forças são incluídas como Forças Generalizadas;

14 São definidas como Forças Generalizadas Q j = k ( F xk x k q j +F yk y k q j +F zk z k q j ) F xk, F yk, F zk : componentes cartesianos da força xk, yk, zk : coordenadas cartesianas q j : coordenada generalizada

15 Equação E. L. Generalizada d ( L ) dt q j L q j =Q j (n), j=1,2,,n d ( T ) dt q j T q j + V q j =Q j (n), j=1,2,,n

16 Eq. Euler Generalizada Exemplo Eixo de turbo-compressor gerador q 1 =θ 1 q 2 =θ 2 q 3 =θ 3

17 Eq. Euler Generalizada Exemplo Energia cinética do sistema Energia potencial do sistema

18 Forças Generalizadas Eq. Euler Generalizada Exemplo

19 Equações de Movimento Eq. Euler Generalizada Exemplo Na forma matricial

20 Eq. Euler Generalizada Exemplo Trailer Pendular

21 Eq. Euler Generalizada Exemplo Coordenadas Auxiliares

22 Eq. Euler Generalizada Exemplo Diferenciando em relação ao tempo

23 Eq. Euler Generalizada Exemplo Energia cinética do sistema

24 Eq. Euler Generalizada Exemplo Energia cinética do sistema

25 Eq. Euler Generalizada Exemplo Energia potencial do sistema

26 Eq. Euler Generalizada Exemplo As forças dissipativas precisam ser consideradas na forma de forças generalizadas Na direção x(t) Na direção θ(t)

27 Eq. Euler Generalizada Exemplo Derivando e colocando nas eq. de Euler Lagrange

28 Eq. de Movimento na Forma Matricial Para sistemas não amortecidos F i : força não conservativa x i : coordenada generalizada ẋ i : velocidade generalizada

29 Eq. de Movimento na Forma Matricial Energias Cinética e Potencial

30 Eq. de Movimento na Forma Matricial Derivando a energia cinética em relação às velocidades

31 Eq. de Movimento na Forma Matricial Derivando em relação ao tempo Como a E.C. é função das velocidades apenas

32 Eq. de Movimento na Forma Matricial Derivando a energia potencial em relação às posições

33 Eq. de Movimento na Forma Matricial Montando as Eq. de Euler Lagrange

34 Eq. de Movimento na Forma Matricial Na ausência de forças não conservativas