Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá. 14 de maio de 2013

Transcrição

1 à INTRODUÇÃO À MECÂNICA ANALÍTICA Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 14 de maio de 2013

2 à Roteiro 1 à

3 Roteiro à 1 à

4 Motivação à No estudo da Mecânica Clássica conduzido até agora, ficou clara a importância das leis de Newton. Usando a 2 a Lei de Newton e dadas as condições iniciais, somos capazes de obter as equações de movimento de um sistema e descrever seu movimento.

5 Motivação à No entanto, a leis de Newton só podem ser usadas se todas as forças agindo num sistema são conhecidas. Em muitas situações, isto complica o problema. Nesse sentido, dois métodos foram desenvolvidos para facilitar a solução dos problemas: Lagrange e Hamilton. Estes métodos não são resultados de novas teorias na Mecânica, mas sim são derivados das leis de Newton.

6 Motivação à Realidade virtual

7 Motivação à Realidade virtual

8 à Vantagens da Uso de coordenadas generalizadas Não há preferência alguma por coordenadas retangulares x, y, z, mas sim as que forem mais convenientes. Podem ser coordenadas generalizadas, um ângulo, uma posição, uma velocidade, um momento angular, ou um comprimento ao quadrado, etc. desde que obedeçam a algumas exigências. Há uma grande flexibilidade.

9 à Vantagens da Uso de grandezas escalares em vez de vetoriais São métodos baseados em energia. Isto evita muitas confusões típicas de vetores (como sentido positivo do movimento). : base das Mecânica Estatística e Quântica.

10 Vínculos à Equação de movimento: m i d 2 r i dt 2 = F i = F (ext) i + j F ji sendo F ji a força da partícula j sobre a partícula i ( F ii 0). Esta equação, de certa forma, assume que a partícula pode movimentar em qualquer lugar do espaço.

11 Vínculos à Isto nem sempre é verdade Francamente, isto nunca é verdade: o espaço livre é uma idealização Por exemplo: 1 o trem de um parque de diversões (felizmente) tem seu movimento restringido aos trilhos 2 as bolhas de bilhar se movem estritamente na superfície de uma mesa de sinuca.

12 Vínculos à Nos casos em que o movimento é restrito por alguma imposição externa, dizemos que o sistema possui vínculos (que são dados pela própria imposição externa). Para expressar a restrições impostas pelos vínculos, escrevemos algumas equações matemáticas que relacionam as coordenadas entre si. Os vínculos podem ser holonômicos, quando a restrição tem a forma: f( r 1, r 2,, t) = 0 ou então, não-holonômico, caso não seja possível encontrar uma equação como antes.

13 Vínculos à Exemplos de vínculos holonômicos. Partícula se movendo no plano xy : z = 0. Corpo rígido: ( r i r j ) 2 c 2 ij = 0. Exemplos de vínculos não-holonômicos: Quando a restrição envolve desigualdades, como z 0. Quando a restrição depende de derivadas d r i dt.

14 Vínculos à Os vínculos são um conceito clássico idealizado: nenhum movimento segue uma restrição perfeita na Mecânica Quântica (devido ao Princípio da Incerteza).

15 Vínculos à Um vínculo holonômico pode envolver uma força que até assume valores infinitos, se for o caso na realidade, as coisas são mais suaves.

16 Vínculos à Um vínculo holonômico (que é o que iremos considerar no curso) reduz o número de variáveis independentes em 1. Por exemplo, se z = 0, então só estão livres x e y. De uma forma geral: f( r 1, r 2,, t) = 0 implica x 1 = g(y 1, z 1, r 2, r 3,, t) ou seja, x 1 é dependente das demais coordenadas, assim basta encontrar y 1 (t), z 1 (t), r 2 (t), que automaticamente x 1 (t) fica determinado. Às vezes, conforme o vínculo, pode ser interesante realizar uma mudança de coordenadas, como x 2 + y 2 + z 2 = R 2 seria uma boa escolha mudar para θ e φ (como coordenadas independentes)

17 à Coordenadas generalizadas O conjunto de coordenadas independentes capazes de especificar completamente o problema é chamado de coordenadas generalizadas. Em princípio, na ausência de forças, todos os sistemas de coordenadas são iguais (x, y, z é o mais simples). No entanto, as forças quebram essa simetria: alguns sistemas de coordenadas funcionam melhor que outros. As coordenadas generalizadas oferecem uma maneira natural de lidar com sistemas sob a ação de tais forças.

18 à Coordenadas generalizadas Para descrever completamete um sistema de N partículas podem ser necessárias 3N coordenadas. No entanto, se existirem k vínculos holonômicos, o número de coordenadas (generalizadas) cai para n = 3N k. Esse número n é chamado de número de graus de liberdade e as coordenadas generalizadas são representadas por: q 1, q 2, q 3,, q n A seguir, veremos como encontrar a equação de evolução temporal de cada coordenadas generalizadas.

19 à Existe um método de estudar o equilíbrio de um corpo rígido que dispensa o cálculo das reações vinculares, reduzindo o número de equações a serem resolvidas. Este método está apoiado num princípio conhecido como que foi: Imaginado por Aristóteles Aperfeiçoado por Galileu e Stevin Enunciado de forma geral em 1717 pelo matemático suíço Johanm Bernoulli Colocado, por Lagrange, na posição singular que ainda hoje ocupa de princípio básico para todas as Mecânicas Avançadas

20 à Deslocamento virtual: de um deslocamento elementar (infinitesimal) possível de se imprimir a um sistema e que seja compatível com os vínculos. Veja que o deslocamento virtual é hipotético (isto é, apenas pensado, não realizado) e é concebido sem que o tempo passe É um deslocamento imaginário a tempo congelado que respeita os vínculos Para distinguir um deslocamento virtual e um deslocamento real, é costume escrever δ r para o primeiro e d r para o segundo.

21 à Se um sistema de N partículas é descrito com n coordenadas generalizadas q j (j = 1,, n), então: r 1 = r 1 (q 1, q 2,, q n, t) r 2 = r 2 (q 1, q 2,, q n, t). r N = r N (q 1, q 2,, q n, t) Imaginando, então, que cada partícula recebeu sofreu um ligeiro deslocamento virtual e sua posição passou de r i para r i + δ r i, onde temos: Note a ausência de t δ r i = n j=1 r i q j δq j

22 à Sendo F i a força total que age na partícula i, então trabalho virtual de F i é: δw i = F i.δ r i O trabalho total realizado sobre o sistema é: δw = N F i.δ r i i=1 Separando em duas partes: F i = F (a) i + f i, onde f i é a soma de todas as forças de vínculos agindo na partícula i e F (a) i as forças aplicadas agindo em i. OBS.: quando uma força não é vincular, ela é chamada de força aplicada.

23 à As forças de vínculos holonômicos realizam trabalho virtual nulo (geralmente porque são normais ao deslocamento ao deslocamento virtuais realizados): δw = N i=1 F (a) i.δ r i = N n i=1 j=1 F (a) i. r i δq j q j Princípio dos trabalhos virtuais: A condição necessária e suficiente para que um sistema permaneça em equilíbrio é que seja nula a soma dos trabalhos virtuais das forças aplicadas ao sistema, num deslocamento reversível qualquer.

24 à A demonstração de que é condição necessária é simples. Por outro lado, a demonstração de que é condição suficiente é complicada e, por isso, omitiremos. Veja que a condição de equilíbrio implica Assim, δw = F i = 0 = F (a) i N F i.δ r i = 0. i=1 + f i A vantagem de usar esse princípio para obter o equilíbrio é que as forças de vínculo não aparecem nas equações, somente aperecem força aplicadas (que, em geral, são conhecidas).