MECÂNICA - MAC010. Michèle Farage. Trabalho virtual. 22 de junho de 2009
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- Maria dos Santos Lara Castro Cabral
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1 MECÂNICA - de junho de 009
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3 Objetivo O Método dos trabalhos virtuais é um método alternativo para a resolução de certos problemas de equiĺıbrio - em alguns casos, mais eficaz do que o emprego das equações de equiĺıbrio. Foi empregado formalmente pela primeira vez no século XVIII, pelo matemático suíço Jean Bernoulli, e baseia-se no princípio dos trabalhos virtuais. Princípio dos trabalhos virtuais; Energia Potencial; Estabilidade do equiĺıbrio.
4 Objetivo O Método dos trabalhos virtuais é um método alternativo para a resolução de certos problemas de equiĺıbrio - em alguns casos, mais eficaz do que o emprego das equações de equiĺıbrio. Foi empregado formalmente pela primeira vez no século XVIII, pelo matemático suíço Jean Bernoulli, e baseia-se no princípio dos trabalhos virtuais. Princípio dos trabalhos virtuais Energia Potencial; Estabilidade do equiĺıbrio
5 Princípio dos trabalhos virtuais: análise do equiĺıbrio de sistemas estruturais isostáticos e hiperestáticos, determinação de deslocamentos em estruturas Análise Estrutural II ( o período) e Análise Estrutural III - 7 o período; Energia Potencial e Estabilidade do equiĺıbrio: flambagem de colunas Resistência dos Materiais II, o período.
6 Objetivo O Método dos trabalhos virtuais é um método alternativo para a resolução de certos problemas de equiĺıbrio - em alguns casos, mais eficaz do que o emprego das equações de equiĺıbrio.
7 Definições Trabalho de uma força:
8 Definições Trabalho de uma força: é o produto da força F pela distância d percorrida na direção da linha de ação da força. U = Fd
9 Definições Trabalho de uma força U é uma grandeza escalar, com dimensões [FL]. No SI, a unidade é o Joule (N.m). Pode ser negativo, positivo ou nulo, dependendo de θ. U = F.d = Fdcosθ onde θ é o ângulo entre os vetores F e d
10 MECÂNICA - Trabalho de uma força Definições du = F t ds
11 MECÂNICA - Trabalho de uma força Definições du = F t ds U = F t ds = C
12 MECÂNICA - Trabalho de uma força Definições du = F t ds U = F t ds = C C Fcosθds
13 MECÂNICA - Trabalho de uma força Definições du = F t ds U = F t ds = C C Fcosθds U é uma grandeza escalar, com dimensões [FL], podendo ser negativo, positivo ou nulo, dependendo de θ.
14 Exemplo Um tanque de água ciĺındrico com diâmetro de 8 pés e altura de 7 pés é enchido com água (γ =, lb/pés ) oriunda de um poço ciĺındrico com diâmetro de 0 pés e nível d água 0 pés abaixo do nível do solo. Quanto trabalho a bomba realiza ao encher o tanque, supondo que não haja reabastecimento do poço durante o bombeamento?
15 Exemplo - resolução Volume de água a bombear: V a = π.9.7 = 87 pés
16 Exemplo - resolução Volume de água a bombear: V a = π.9.7 = 87 pés Profundidade da água a bombear no poço: π..a = 87 a = 87, pés
17 Exemplo - resolução Volume de água a bombear: V a = π.9.7 = 87 pés Profundidade da água a bombear no poço: π..a = 87 a = 87, pés Distância entre o centróide do volume de água no poço e o centróide do tanque: d = a = 87,
18 Exemplo - resolução Volume de água a bombear: V a = π.9.7 = 87 pés Profundidade da água a bombear no poço: π..a = 87 a = 87, pés Distância entre o centróide do volume de água no poço e o centróide do tanque: d = a = 87, Cálculo do trabalho realizado pela bomba: U = Fd = (87.γ).87, =, 7.0 pés.libras
19 Exemplo Um avião tem massa de 000kg e decola do nível do mar, atingindo uma altitude de cruzeiro de 9km. Qual é o trabalho realizado pela gravidade no avião da decolagem até atingir a altitude de cruzeiro?
20 Exemplo Um avião tem massa de 000kg e decola do nível do mar, atingindo uma altitude de cruzeiro de 9km. Qual é o trabalho realizado pela gravidade no avião da decolagem até atingir a altitude de cruzeiro? U g = (000.9, 8)9000 =, N.m Qual é o trabalho realizado pelos motores do avião para elevá-lo até a altitude de cruzeiro?
21 Exemplo Um avião tem massa de 000kg e decola do nível do mar, atingindo uma altitude de cruzeiro de 9km. Qual é o trabalho realizado pela gravidade no avião da decolagem até atingir a altitude de cruzeiro? U g = (000.9, 8)9000 =, N.m Qual é o trabalho realizado pelos motores do avião para elevá-lo até a altitude de cruzeiro? U m = U g =, N.m
22 Exercício proposto Uma bola de aço pesada de peso P está suspensa por meio de uma corda de peso desprezível e comprimento L, para formar um pêndulo. A bola é erguida de forma que a corda forme um ângulo φ com a vertical e é então solta. Determinar o trabalho realizado pela gravidade durante o tempo que a bola leva para chegar à posição vertical; Determine o trabalho realizado pela tração T durante o tempo que a bola leva para chegar à posição vertical.
23 Exercício proposto Uma mola helicoidal é pendurada por uma das extremidades e esticada por uma carga crescente F. A curva carga-extensão da mola é uma reta (F = ke) onde k é a constante da mola. Determine o trabalho realizado pela carga F ao se esticar a mola.
24 Exercício proposto Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas. O trabalho é o produto de uma força por uma distância, sendo portanto sinônimo do momento de um binário.
25 Exercício proposto Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas. O trabalho é o produto de uma força por uma distância, sendo portanto sinônimo do momento de um binário. Uma força que age sobre uma partícula numa direção perpendicular ao caminho percorrido pela partícula não realiza trabalho sobre a partícula.
26 Exercício proposto Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas. O trabalho é o produto de uma força por uma distância, sendo portanto sinônimo do momento de um binário. Uma força que age sobre uma partícula numa direção perpendicular ao caminho percorrido pela partícula não realiza trabalho sobre a partícula. O trabalho de uma força F sobre uma partícula pode ser representado por uma integral de linha do produto escalar de F pelo vetor deslocamento infinitesimal dr da partícula;
27 Exercício proposto Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas. O trabalho é o produto de uma força por uma distância, sendo portanto sinônimo do momento de um binário. Uma força que age sobre uma partícula numa direção perpendicular ao caminho percorrido pela partícula não realiza trabalho sobre a partícula. O trabalho de uma força F sobre uma partícula pode ser representado por uma integral de linha do produto escalar de F pelo vetor deslocamento infinitesimal dr da partícula; Se várias forças agem em um sistema em movimento, o trabalho que estas realizam sobre o sistema é menor que a soma algébrica de suas quantidades individuais de trabalho.
28 Exercício proposto Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas. O trabalho é o produto de uma força por uma distância, sendo portanto sinônimo do momento de um binário. Uma força que age sobre uma partícula numa direção perpendicular ao caminho percorrido pela partícula não realiza trabalho sobre a partícula. O trabalho de uma força F sobre uma partícula pode ser representado por uma integral de linha do produto escalar de F pelo vetor deslocamento infinitesimal dr da partícula; Se várias forças agem em um sistema em movimento, o trabalho que estas realizam sobre o sistema é menor que a soma algébrica de suas quantidades individuais de trabalho. Para que uma força não-nula que age em uma partícula não realize trabalho, a partícula deve se mover em linha reta.
29 MECÂNICA - Trabalho de um binário: Definições
30 MECÂNICA - Trabalho de um binário: Definições
31 MECÂNICA - Trabalho de um binário: Definições ds = r dθ
32 MECÂNICA - Trabalho de um binário: Definições ds = r dθ U = F.ds + F.ds =.F. r dθ = (Fr)dθ U = Mdθ
33 Trabalho Virtual Deslocamentos virtuais ou imaginários são translações ou rotações infinitesimais, representados pelos símbolos δs e δθ, respectivamente.
34 Trabalho Virtual Deslocamentos virtuais ou imaginários são translações ou rotações infinitesimais, representados pelos símbolos δs e δθ, respectivamente. O trabalho virtual realizado por uma força sujeita a um deslocamento virtual é: δu = Fcosθδs δu = Mδθ
35 Princípio do Trabalho Virtual Um sistema mecânico está em equiĺıbrio se o trabalho virtual realizado no sistema é negativo ou nulo para todos os deslocamentos virtuais possíveis.
36 Princípio do Trabalho Virtual Quando um sistema começa a se mover a partir do repouso, as forças que agem no sistema realizam trabalho positivo; como o sistema se move na direção da força,o trabalho é positivo.
37 MECÂNICA - Princípio do Trabalho Virtual Quando um sistema começa a se mover a partir do repouso, as forças que agem no sistema realizam trabalho positivo; como o sistema se move na direção da força,o trabalho é positivo. Então, um sistema mecânico em repouso não se move sozinho se não há nenhum pequeno deslocamento para o qual as forças realizam trabalho positivo.
38 MECÂNICA - Princípio do Trabalho Virtual Quando um sistema começa a se mover a partir do repouso, as forças que agem no sistema realizam trabalho positivo; como o sistema se move na direção da força,o trabalho é positivo. Então, um sistema mecânico em repouso não se move sozinho se não há nenhum pequeno deslocamento para o qual as forças realizam trabalho positivo. Para examinar esta conclusão, impõe-se ao sistema um deslocamento imaginário arbitrário, e determina-se o sinal do trabalho resultante das forças que agem no sistema, excluindo as forças imaginárias.
39 MECÂNICA - Princípio do Trabalho Virtual Quando um sistema começa a se mover a partir do repouso, as forças que agem no sistema realizam trabalho positivo; como o sistema se move na direção da força,o trabalho é positivo. Então, um sistema mecânico em repouso não se move sozinho se não há nenhum pequeno deslocamento para o qual as forças realizam trabalho positivo. Para examinar esta conclusão, impõe-se ao sistema um deslocamento imaginário arbitrário, e determina-se o sinal do trabalho resultante das forças que agem no sistema, excluindo as forças imaginárias. Como tal deslocamento é imaginário e não necessariamente ocorre como um movimento real do sistema, ele é denominado deslocamento virtual, e o trabalho das forças reais que agem durante um deslocamento virtual é chamado de trabalho virtual.
40 MECÂNICA - Princípio do Trabalho Virtual Quando um sistema começa a se mover a partir do repouso, as forças que agem no sistema realizam trabalho positivo; como o sistema se move na direção da força,o trabalho é positivo. Então, um sistema mecânico em repouso não se move sozinho se não há nenhum pequeno deslocamento para o qual as forças realizam trabalho positivo. Para examinar esta conclusão, impõe-se ao sistema um deslocamento imaginário arbitrário, e determina-se o sinal do trabalho resultante das forças que agem no sistema, excluindo as forças imaginárias. Como tal deslocamento é imaginário e não necessariamente ocorre como um movimento real do sistema, ele é denominado deslocamento virtual, e o trabalho das forças reais que agem durante um deslocamento virtual é chamado de trabalho virtual. Durante um deslocamento virtual, considera-se que as forças reais permanecem constantes.
41 MECÂNICA - Princípio do Trabalho Virtual Aplicações simples: sistema mecânico: um tijolo apoiado no piso;
42 MECÂNICA - Princípio do Trabalho Virtual Aplicações simples: sistema mecânico: um tijolo apoiado no piso; deslocamento virtual: translação para cima (δs);
43 MECÂNICA - Princípio do Trabalho Virtual Aplicações simples: sistema mecânico: um tijolo apoiado no piso; deslocamento virtual: translação para cima (δs); forças que agem no sistema: peso do tijolo (P);
44 MECÂNICA - Princípio do Trabalho Virtual Aplicações simples: sistema mecânico: um tijolo apoiado no piso; deslocamento virtual: translação para cima (δs); forças que agem no sistema: peso do tijolo (P); trabalho virtual: δu = Pδs
45 MECÂNICA - Princípio do Trabalho Virtual Aplicações simples: sistema mecânico: um tijolo apoiado no piso; deslocamento virtual: translação para cima (δs); forças que agem no sistema: peso do tijolo (P); trabalho virtual: δu = Pδs verifica-se que o tijolo está em repouso.
46 MECÂNICA - Princípio do Trabalho Virtual Aplicações simples: sistema mecânico: um tijolo apoiado no piso; deslocamento virtual: translação para cima (δs); forças que agem no sistema: peso do tijolo (P); trabalho virtual: δu = Pδs verifica-se que o tijolo está em repouso.
47 MECÂNICA - Princípio do Trabalho Virtual Aplicações simples: sistema mecânico: um tijolo apoiado no piso; deslocamento virtual: translação para cima (δs); forças que agem no sistema: peso do tijolo (P); trabalho virtual: δu = Pδs verifica-se que o tijolo está em repouso. bolinha de gude em uma tigela deslocamento virtual:... forças que agem no sistema: peso da bolinha (P);...
48 PTV para um Ponto Material Se um ponto material está sujeito a um deslocamento virtual δr realizado por um sistema de forças, o trabalho virtual δu realizado pelas forças é:
49 PTV para um Ponto Material Se um ponto material está sujeito a um deslocamento virtual δr realizado por um sistema de forças, o trabalho virtual δu realizado pelas forças é: δu = F.δr
50 PTV para um Ponto Material Se um ponto material está sujeito a um deslocamento virtual δr realizado por um sistema de forças, o trabalho virtual δu realizado pelas forças é: δu = F.δr δu = ( F x i + F y j + F z k).(δ x i + δ y j + δ z k)
51 PTV para um Ponto Material Se um ponto material está sujeito a um deslocamento virtual δr realizado por um sistema de forças, o trabalho virtual δu realizado pelas forças é: δu = F.δr δu = ( F x i + F y j + F z k).(δ x i + δ y j + δ z k) δu = ( F x δ x + F y δ y + F z δ z )
52 PTV para um Ponto Material δu = F x δ x + F y δ y + F z δ z
53 PTV para um Ponto Material δu = F x δ x + F y δ y + F z δ z Sabe-se que a condição para o equiĺıbrio é: Fx = 0, F y = 0 e F z = 0. Daí tem-se que, no equiĺıbrio: δu = 0.
54 Aplicação: equíĺıbrio de uma alavanca
55 Aplicação: equíĺıbrio de uma alavanca Se a alavanca é submetida a um deslocamento virtual δθ, o trabalho das forças que agem no sistema é:
56 Aplicação: equíĺıbrio de uma alavanca Se a alavanca é submetida a um deslocamento virtual δθ, o trabalho das forças que agem no sistema é: δu = W.aδθ + W bδθ
57 Aplicação: equíĺıbrio de uma alavanca Se a alavanca é submetida a um deslocamento virtual δθ, o trabalho das forças que agem no sistema é: δu = W.aδθ + W bδθ Qual é a condição para que o sistema esteja em equiĺıbrio?
58 Aplicação: equíĺıbrio de uma alavanca Se a alavanca é submetida a um deslocamento virtual δθ, o trabalho das forças que agem no sistema é: δu = W.aδθ + W bδθ Qual é a condição para que o sistema esteja em equiĺıbrio? δu 0
59 Aplicação: equíĺıbrio de uma alavanca Se a alavanca é submetida a um deslocamento virtual δθ, o trabalho das forças que agem no sistema é: δu = W.aδθ + W bδθ Qual é a condição para que o sistema esteja em equiĺıbrio? δu 0 δu = 0
60 Aplicação: equíĺıbrio de uma alavanca Se a alavanca é submetida a um deslocamento virtual δθ, o trabalho das forças que agem no sistema é: δu = W.aδθ + W bδθ Qual é a condição para que o sistema esteja em equiĺıbrio? δu 0 δu = 0 P.aδθ = P bδθ
61 Aplicação: equíĺıbrio de uma alavanca Se a alavanca é submetida a um deslocamento virtual δθ, o trabalho das forças que agem no sistema é: δu = W.aδθ + W bδθ Qual é a condição para que o sistema esteja em equiĺıbrio? δu 0 δu = 0 P.aδθ = P bδθ P a = P b
62 PTV Em alguns casos, aplicar o princípio dos trabalhos virtuais é mais simples do que aplicar as equações de equiĺıbrio para analisar o equiĺıbrio de sistemas mecânicos.
63 MECÂNICA - PTV: resolução de problemas de equiĺıbrio Aplicação do PTV a sistemas isostáticos e indeformáveis: Desenhar um diagrama do sistema, incluindo todas as cargas externas atuantes. Se a incógnita for uma reação de apoio, remover o apoio e substituí-lo pela reação. Se houver mais de uma reação a calcular, remover um vínculo de cada vez para aplicar o PTV e então superpor os efeitos;
64 MECÂNICA - PTV: resolução de problemas de equiĺıbrio Aplicação do PTV a sistemas isostáticos e indeformáveis: Desenhar um diagrama do sistema, incluindo todas as cargas externas atuantes. Se a incógnita for uma reação de apoio, remover o apoio e substituí-lo pela reação. Se houver mais de uma reação a calcular, remover um vínculo de cada vez para aplicar o PTV e então superpor os efeitos; Escolher um deslocamento virtual δu (translação ou rotação) e desenhar o diagrama do sistema deslocado. Devem se respeitar os vínculos do sistema.
65 MECÂNICA - PTV: resolução de problemas de equiĺıbrio Aplicação do PTV a sistemas isostáticos e indeformáveis: Desenhar um diagrama do sistema, incluindo todas as cargas externas atuantes. Se a incógnita for uma reação de apoio, remover o apoio e substituí-lo pela reação. Se houver mais de uma reação a calcular, remover um vínculo de cada vez para aplicar o PTV e então superpor os efeitos; Escolher um deslocamento virtual δu (translação ou rotação) e desenhar o diagrama do sistema deslocado. Devem se respeitar os vínculos do sistema. Escrever as expressões para o trabalho virtual das forças e conjugados em termos de δu.
66 MECÂNICA - PTV: resolução de problemas de equiĺıbrio Aplicação do PTV a sistemas isostáticos e indeformáveis: Desenhar um diagrama do sistema, incluindo todas as cargas externas atuantes. Se a incógnita for uma reação de apoio, remover o apoio e substituí-lo pela reação. Se houver mais de uma reação a calcular, remover um vínculo de cada vez para aplicar o PTV e então superpor os efeitos; Escolher um deslocamento virtual δu (translação ou rotação) e desenhar o diagrama do sistema deslocado. Devem se respeitar os vínculos do sistema. Escrever as expressões para o trabalho virtual das forças e conjugados em termos de δu. Aplicar o PTV e determinar os valores das incógnitas para os quais o trabalho virtual do sistema é nulo ou negativo.
67 Exemplo : cálculo de reações de apoio Calcular a reação de apoio em B.
68 Exemplo : cálculo de reações de apoio Calcular a reação de apoio em B.
69 Exemplo : cálculo de reações de apoio () Substituir o apoio em B por uma força e desenhar um diagrama do sistema.
70 Exemplo : cálculo de reações de apoio () Substituir o apoio em B por uma força e desenhar um diagrama do sistema.
71 Exemplo : cálculo de reações de apoio () Escolher um δu compatível com os vínculos da estrutura.
72 Exemplo : cálculo de reações de apoio () Escolher um δu compatível com os vínculos da estrutura.
73 MECÂNICA - Exemplo : cálculo de reações de apoio () Escrever a expressão do trabalho virtual.
74 MECÂNICA - Exemplo : cálculo de reações de apoio () Escrever a expressão do trabalho virtual. δu = Ps + Bs
75 MECÂNICA - Exemplo : cálculo de reações de apoio () Escrever a expressão do trabalho virtual. δu = Ps + Bs s = L δθ s = Lδθ
76 MECÂNICA - Exemplo : cálculo de reações de apoio () Escrever a expressão do trabalho virtual. δu = Ps + Bs s = L δθ s = Lδθ δu = P L δθ + BLδθ
77 MECÂNICA - Exemplo : cálculo de reações de apoio () Aplicar o PTV e determinar a incógnita.
78 MECÂNICA - Exemplo : cálculo de reações de apoio () Aplicar o PTV e determinar a incógnita. δu = P L δθ + BLδθ 0
79 MECÂNICA - Exemplo : cálculo de reações de apoio () Aplicar o PTV e determinar a incógnita. δu = P L δθ + BLδθ 0 P L δθ = BLδθ
80 MECÂNICA - Exemplo : cálculo de reações de apoio () Aplicar o PTV e determinar a incógnita. δu = P L δθ + BLδθ 0 P L δθ = BLδθ P = B B = P
81 PTV aplicado a corpos rígido interligados Grau de liberdade: é todo deslocamento independente que pode ocorrer em um determinado ponto de uma estrutura.
82 PTV aplicado a corpos rígido interligados Grau de liberdade: é todo deslocamento independente que pode ocorrer em um determinado ponto de uma estrutura. A estrutura representada consiste em duas barras rígidas conectadas por um nó articulado.
83 PTV aplicado a corpos rígido interligados Grau de liberdade: é todo deslocamento independente que pode ocorrer em um determinado ponto de uma estrutura. A estrutura representada consiste em duas barras rígidas conectadas por um nó articulado. A configuração da estrutura em um deteminado instante é descrita pela posição dos vários pontos da estrutura, podendo ser definida pela localização das extremidades (ou nós) de cada barra, por exemplo.
84 PTV aplicado a corpos rígido interligados Considerando-se, então os deslocamentos de tais nós, quais são estes e quantos ocorrem de forma independente?
85 PTV aplicado a corpos rígido interligados Considerando-se, então os deslocamentos de tais nós, quais são estes e quantos ocorrem de forma independente? Trata-se de um sistema com grau de liberdade.
86 MECÂNICA - PTV aplicado a corpos rígido interligados Para corpos rígidos, conectados por articulações, sem atrito: um sistema de corpos rígidos interligados estará em equiĺıbrio se o trabalho virtual realizado por todas as forças e momentos externos atuantes no sistema for nulo para cada deslocamento virtual na direção dos graus de liberdade do sistema. δu = 0 Emprega-se uma equação δu = 0 para cada grau de liberdade do sistema. Daí, a resolução via PTV de um problema com n graus de liberdade consiste em um sistema de equações de ordem n.
87 MECÂNICA - PTV: equiĺıbrio de corpos indeformáveis Desenhar um diagrama de corpo livro do sistema, identificando os graus de liberdade;
88 MECÂNICA - PTV: equiĺıbrio de corpos indeformáveis Desenhar um diagrama de corpo livro do sistema, identificando os graus de liberdade; Escrever as coordenadas dos pontos de aplicação das cargas em função do grau de liberdade;
89 MECÂNICA - PTV: equiĺıbrio de corpos indeformáveis Desenhar um diagrama de corpo livro do sistema, identificando os graus de liberdade; Escrever as coordenadas dos pontos de aplicação das cargas em função do grau de liberdade; Efetuar os diferenciais das expressões que localizam as cargas em relação ao deslocamento virtual (δu, na direção do GL);
90 MECÂNICA - PTV: equiĺıbrio de corpos indeformáveis Desenhar um diagrama de corpo livro do sistema, identificando os graus de liberdade; Escrever as coordenadas dos pontos de aplicação das cargas em função do grau de liberdade; Efetuar os diferenciais das expressões que localizam as cargas em relação ao deslocamento virtual (δu, na direção do GL); Impor um deslocamento virtual δu (translação ou rotação) na direção do grau de liberdade e desenhar o diagrama do sistema na posição deslocada.
91 MECÂNICA - PTV: equiĺıbrio de corpos indeformáveis Desenhar um diagrama de corpo livro do sistema, identificando os graus de liberdade; Escrever as coordenadas dos pontos de aplicação das cargas em função do grau de liberdade; Efetuar os diferenciais das expressões que localizam as cargas em relação ao deslocamento virtual (δu, na direção do GL); Impor um deslocamento virtual δu (translação ou rotação) na direção do grau de liberdade e desenhar o diagrama do sistema na posição deslocada. Escrever as expressões para o trabalho virtual das forças e conjugados em termos do deslocamento virtual δu.
92 MECÂNICA - PTV: equiĺıbrio de corpos indeformáveis Desenhar um diagrama de corpo livro do sistema, identificando os graus de liberdade; Escrever as coordenadas dos pontos de aplicação das cargas em função do grau de liberdade; Efetuar os diferenciais das expressões que localizam as cargas em relação ao deslocamento virtual (δu, na direção do GL); Impor um deslocamento virtual δu (translação ou rotação) na direção do grau de liberdade e desenhar o diagrama do sistema na posição deslocada. Escrever as expressões para o trabalho virtual das forças e conjugados em termos do deslocamento virtual δu. Aplicar o PTV e determinar os valores das incógnitas para os quais o trabalho virtual do sistema é nulo.
93 Exemplo com grau de liberdade As barras que compõem a estrutura baixo possuem massa m e comprimento l. Considerando o carregamento indicado, determinar o ângulo θ relativo à configuração de equiĺıbrio do sistema.
94 Exemplo com grau de liberdade: resolução
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