Dinâmica das Máquinas Princípio do trabalho virtual

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1 Dinâmica das Máquinas Princípio do trabalho virtual Prof. Juliano G. Iossaqui Engenharia Mecânica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Londrina, 2017 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

2 Objetivos 1 Trabalho de uma força 2 Princípio do trabalho virtual Princípio do trabalho virtual para uma partícula Princípio do trabalho virtual para um corpo rígido Princípio do trabalho virtual para um sistema de corpos rígidos Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

3 Trabalho de uma força Revisão F r θ d r r s Considere que a partícula move-se ao longo da trajetória s de uma posição r para uma nova posição r devido a uma força F. O deslocamento da partícula é dado por d r = r r e sua intensidade é ds. O trabalho realizado pela força F sobre a partícula é definido por dw = Fds cos θ O trabalho também pode ser obtido a partir do produto escalar dw = F d r A unidade de trabalho no SI é o joule (1 J = 1 N m). Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

4 Trabalho de um momento de um binário Revisão d r A F B d r B r B d r θ B F A d r A A Considere um corpo rígido sob ação do par de forças F e F que produz um momento de binário M de magnitude M = Fr. O deslocamento do corpo é dado por d r A e d r B, onde d r B = d r A + d r. O trabalho realizado por um momento de um binário M sobre um corpo rígido é dw = F d r cos 0 o = Frdθ = Mdθ O trabalho também pode ser obtido a partir do produto escalar dw = M d θ Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

5 Princípio do trabalho virtual Definição Considere uma partícula cuja localização é dada pelo vetor posição r. O deslocamento virtual δ r pode ser descrito pelo deslocamento arbitrário e infinitesimal realizado pela partícula em um instante de tempo t e de forma consistente com todas as restrições e forças aplicadas sobre a partícula. Se uma força F é aplicado sobre uma partícula que sofre um deslocamento virtual δ r, então o trabalho virtual δw é definido pelo produto escalar δw = F δ r Matematicamente falando, considere uma função f(x, Y, Z, t). Então, o operador delta δ aplicado a f fornece: δf = f f f δx + δy X Y Z δz Diferentemente do operador diferencial d que aplicado a f fornece df = f f f f dx + dy + dz + X Y Z t dt Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

6 Princípio do trabalho virtual para uma partícula Princípio do trabalho virtual para uma partícula É condição necessária e suficiente para que uma partícula esteja em equilíbrio que seja nulo o trabalho virtual de todas as forças que nela atuam para todo e qualquer deslocamento virtual da partícula Para mostrar que o princípio do trabalho virtual é uma consequencia necessária da 1 o lei de Newton (princípio da inércia): considere a condição de equilíbrio de uma partícula F i = 0 considere a localização da partícula dada pelo vetor posição r. considere um deslocamento virtual δ r. então, o trabalho virtual é ( ) δw = F i δ r como um dos fatores do produto é zero, o produto é zero. portanto, se a 1 o lei é satisfeita, o trabalho virtual é necessariamente zero. i i Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

7 Princípio do trabalho virtual para uma partícula Para mostrar que o princípio do trabalho virtual é suficiente para o equilíbrio: considere a declaração do trabalho virtual que ( ) δw = F i δ r = 0 a demonstração será por contradição, então assuma que F i = F u f, F = 0 do fato que δ r é completamente arbritário, tem-se dessa forma, o trabalho virtual é i i δ r = δ r u f, δ r = 0 δw = F δ r u f u f = F δ r isto implica que o trabalho virtual não pode ser zero para δ r arbritário, exceto violando a hipotese de que F = 0. portanto, um trabalho virtual nulo implica em uma força resultante nula. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

8 f 13 f 21 f 23 Princípio do trabalho virtual para um corpo rígido F 1 f 12 F 2 f 32 f 31 r 1 r 2 r 3 F 3 Se o corpo está em equilíbrio, então cada partícula está em equilíbrio. Aplicando a 1 o lei de Newton, tem-se F 1 + f 12 + f 13 = 0 F 2 + f 21 + f 23 = 0 F 3 + f 31 + f 32 = 0 A soma dos trabalhos virtuais dessas forças é zero, ou seja δ r 1 ( F 1 + f 12 + f 13 )+δ r 2 ( F 2 + f 21 + f 23 )+δ r 3 ( F 3 + f 31 + f 32 ) = 0 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

9 Princípio do trabalho virtual para um corpo rígido Visto que as forças internas entre quaisquer duas partículas ocorrem em pares colineares iguais, mas opostos, então f ij = f ji. Dessa forma δ r 1 f 12 + δ r 2 f 21 = δ r 1 f 12 δ r 2 f 12 Seja = (δ r 1 δ r 2 ) f 12 f12 = f 12 u 12 onde u 12 = r 2 r 1 é o vetor unitário direcionado da partícula 1 a partícula 2. r 2 r 1 Então, a diferença no deslocamento virtual é dado por δ r 1 δ r 2 = δ( r 1 r 2 ) = δ( r 1 r 2 u 21 ) = u 21 δ r 1 r 2 + r 1 r 2 δ u 21 Como o corpo é rígido r 1 r 2 é constante e δ r 1 r 2 deve ser zero. E qualquer variação em u 21 deve ser normal a u 12, tal que δ u 21 u 12 = 0. Então δ r 1 f 12 + δ r 2 f 21 = ( u 21 δ r 1 r 2 + r 1 r 2 δ u 21 ) f 12 u 12 = 0 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

10 Princípio do trabalho virtual para um corpo rígido Mostrou-se que δ r 1 f 12 + δ r 2 f 21 = 0 De modo similar, pode-se mostrar que δ r 1 f 13 + δ r 3 f 31 = 0 δ r 2 f 23 + δ r 3 f 32 = 0 Dessa forma, a expressão δ r 1 ( F 1 + f 12 + f 13 )+δ r 2 ( F 2 + f 22 + f 23 )+δ r 3 ( F 3 + f 31 + f 32 ) = 0 se reduz a δ r 1 F 1 + δ r 2 F 2 + δ r 3 F 3 = 0 Princípio do trabalho virtual para um corpo rígido O equilíbrio de um corpo rígido requer que o trabalho virtual das forças externas seja zero. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

11 Princípio do trabalho virtual para um sistema de corpos rígidos F 2 F 4 F 1 a F 2 F 3 F 5 F 1 R 1 F 4 R 2 F 3 F 5 As expressões do trabalhao virtual para os dois corpos rígidos são dadas por corpo 1: δ r 1 F 1 + δ r 2 F 2 + δ r 3 F 3 + δ r A1 R 1 = 0 corpo 2: δ r 4 F 4 + δ r 5 F 5 + δ r A2 R 2 = 0 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

12 Princípio do trabalho virtual para um sistema de corpos rígidos Como os dois corpos permanecem conectados em A, então δ r A1 = δ r A2 = δ r A Além disso, sabe-se que R 1 = R 2. Somando as expressões do trabalho virtual, tem-se δ r 1 F 1 + δ r 2 F δ r 5 F 5 = 0 Princípio do trabalho virtual para um sistema de corpos rígidos Um sistema ideal de corpos rígidos está em equilíbrio desde que o trabalho virtual das forças externas ao sistema seja zero. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

13 Princípio do trabalho virtual para um sistema de corpo rígido Exemplo L X A M R q F Y C A expressão do trabalho virtual é dada por δw = Mδq FδY Para calcular δy é necessário considerar a cinemática do mecanismo. As equações de deslocamentos são Eliminando X, tem-se X cos A C R cos q = 0 X sen A R sen q = 0 tg A = R sen q C + R cos q Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

14 Princípio do trabalho virtual para um sistema de corpo rígido Exemplo Tendo A, a coordenada Y pode ser obtida da seguinte forma Y = L sen A Os deslocamentos virtuais de A e Y expressos em relação a δq são dados por δa = da dq δq = K aδq = cos2 A(CR cos q + R 2 ) (C + R cos q) 2 δq δy = dy δa = L cos AδA da = L cos3 A(CR cos q + R 2 ) (C + R cos q) 2 δq Subsituindo δy na expressão do trabalho virtual, obtém-se δw = Mδq F L cos3 A(CR cos q + R 2 ) (C + R cos q) 2 δq = 0 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

15 Princípio do trabalho virtual para um sistema de corpo rígido Exemplo Como δw deve ser zero para o equilíbrio e δq é diferente de zero, então M F L cos3 A(CR cos q + R 2 ) (C + R cos q) 2 = 0 Um modo de apresentar a relação entre M, F e q na forma gráfica é rearranjar a equação da seguinte maneira M FL = f(q) Considere C = 11 cm e R = 5 cm. Dessa forma M FL q Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

16 Exercício Exercício 1 Se a caixa na figura tem uma massa de 10 kg, determine o momento de binário M necessário para manter o equilíbrio quando θ = 60 o. Despreze a massa dos membros. 0, 2 m 0, 4 m 0, 45 m M θ θ 0, 45 m Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17

17 Exercício Exercício 2 Se a mola tem uma rigidez k e um comprimento livre S 0, determine a força P quando o mecanismo está na posição mostrada. Despreze o peso dos membros. L θ P k L Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 13 Londrina, / 17