FÍSICA (Eletromagnetismo) CAMPOS ELÉTRICOS

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1 FÍSICA (Eletromagnetismo) CAMPOS ELÉTRICOS 1 O CONCEITO DE CAMPO Suponhamos que se fixe, num determinado ponto, uma partícula com carga positiva, q1, e a seguir coloquemos em suas proximidades uma segunda partícula também positivamente carregada, q2. De acordo com a lei de Coulomb, sabemos que q1 exerce uma força eletrostática repulsiva sobre q2 e, com dados suficientes, poderíamos determinar o módulo, a direção e o sentido dessa força. Ainda assim, uma questão embaraçosa permanece: como q1 sabe da presença de q2? Isto é, desde que as partículas não se tocam, como pode q1 exercer força sobre q2? Essa questão sobre ação à distância pode ser respondida através do conceito de campo. Campo, de uma maneira geral, é uma grandeza que pode ser associada à posição. Por exemplo, a temperatura do ar em uma sala tem um valor específico em cada ponto, e neste caso temos um campo de temperaturas T(x, y, z). Se ao invés de uma grandeza escalar como a temperatura ou pressão, tivermos grandezas vetoriais, como a velocidade do fluxo num fluido, teremos um campo vetorial associado a cada ponto do fluido, u(x, y, z). Outro exemplo de um campo vetorial é o campo gravitacional terrestre. No caso da interação entre cargas elétricas, dizemos que a carga q1 cria um campo elétrico no espaço ao seu redor. Em qualquer ponto P desse espaço, o campo tem módulo, direção e sentido (campo vetorial). O módulo depende do módulo de q1 e da distância entre P e q1. A direção e o sentido dependem da direção da reta que passa por q1 e P e do sinal elétrico de q1. Assim, quando colocamos q2 no ponto P, q1 interage com q2 através do campo elétrico existente em P, isto é: A primeira carga gera um campo elétrico, e a segunda interage com ele. O módulo, a direção e o sentido desse campo elétrico determinam o módulo, a direção e o sentido da força que atua sobre q2. 2 O CAMPO ELÉTRICO Definimos o campo elétrico E associado a um certo conjunto de cargas em termos da força exercida sobre uma carga de prova positiva q0, em um determinado ponto, ou seja A unidade SI para o campo elétrico é o newton/coulomb (N/C). Note que a carga de prova q0 deve ser suficientemente pequena para não perturbar a distribuição de cargas, cujo campo elétrico estamos tentando medir. 3 LINHAS DE FORÇA As linhas de força do campo elétrico constituem um auxílio para visualizar o campo. Uma linha de força ou linha de campo é traçada de tal maneira que sua direção e sentido em qualquer ponto são os mesmos que os do campo elétrico nesse ponto. A Figura 2.1 mostra exemplos de linhas de campo para algumas distribuições de cargas elétricas. Características das linhas de força são listadas a seguir: 1. As linhas de força mostram a direção do campo elétrico em qualquer ponto. Em linhas curvas, a direção do campo é tangente à curva. 2. As linhas de força se originam em cargas positivas e terminam em cargas negativas. 3. As linhas de força são desenhadas de modo que o número de linhas por unidade de área da seção reta (perpendicular às linhas) seja proporcional à intensidade do campo elétrico.

2 Figura 1 - Exemplos de linhas de campo elétrico: uma partícula com carga positiva; uma partícula com carga negativa; um dipolo elétrico; duas partículas com mesma carga positiva; duas partículas com cargas +2q e -q (Serway) 4 CAMPO ELÉTRICO DE UMA CARGA PUNTIFORME Seja uma carga de prova positiva q0 situada a uma distância r de uma carga puntiforme q. O módulo da força que atua sobre q0 é dado pela lei de Coulomb, O módulo do campo elétrico no ponto em que se encontra a carga de prova é A direção de E será idêntica à de F, ao longo de uma linha radial com origem em q, apontando para fora se q for positiva e para dentro se negativa. Para uma distribuição de N cargas pontuais, o campo elétrico E será obtido através do princípio da superposição ou seja, num dado ponto, os campos elétricos devidos a uma distribuição de cargas separadas simplesmente se somam (vetorialmente) ou se superpõem independentemente. 5 CAMPO ELÉTRICO CRIADO POR UM DIPOLO ELÉTRICO A Figura 2.2 mostra uma configuração de cargas chamada dipolo elétrico. As cargas positiva e negativa E e geram campos elétricos porque P é equidistante das cargas positiva e negativa. E, respectivamente. Os módulos destes dois campos em P são iguais, Figura 2 - Cargas positivas e negativas de igual magnitude formam um dipolo elétrico. O campo elétrico E em qualquer ponto é o vetor soma dos campos gerados pelas cargas individuais. No ponto P sobre o eixo x, o campo tem apenas um componente: y.

3 O campo elétrico total em P é dado pela soma vetorial dos campos individuais: E+ e E- tem módulos iguais E = E + + E As magnitudes dos campos de cada uma das cargas são dadas por E + = E = k q r 2 A componente x do campo será nula, já que: O campo total E possui apenas a componente y, com modulo dado por: E = E + cosθ + E cosθ = 2. E + cosθ O ângulo θ é determinado por Substituindo este resultado, obtemos cosθ = cateto adjacente hipotenusa = d r E = 2k q r 2 cosθ = 2k q d 2. q. d r 2 = k r r 3 E = k 2.q.d r3 dipolo elétrico A equação fornece o módulo do campo elétrico em P devido ao dipolo. O produto qd é denominado momento de dipolo elétrico, p: Frequentemente, observamos o campo de um dipolo elétrico em pontos P cuja distância x ao dipolo é muito grande comparada com a separação d, isto é, x >> d, logo E = k 2.q.d z3 para pontos distantes 6 CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA Vamos agora considerar uma distribuição contínua de carga, cujo campo gerado pode ser calculado dividindo-se a distribuição em elementos infinitesimais de carga dq. Cada elemento de carga produz um campo de num ponto P e o campo resultante é determinado pelo princípio da superposição, somando-se (integrando-se) as contribuições de campo de cada elemento dq, ou seja, O campo criado por cada elemento de carga é dado por: onde r é a distância entre o elemento de carga e o ponto P. Em geral, uma distribuição contínua de cargas é descrita pela sua densidade de carga. Numa distribuição linear como, por exemplo, um fino filamento carregado, um elemento arbitrário de comprimento ds possui uma carga dq dada por

4 onde λ é a densidade linear de carga (ou carga por unidade de comprimento) do objeto. Se o objeto estiver uniformemente carregado, então λ será constante e igual à carga total do objeto, dividida pelo seu comprimento total L. Neste caso, carga linear uniforme Se a carga estiver distribuída sobre uma superfície, a carga dq contida em qualquer elemento de área da será onde σ será a densidade superficial de carga (ou carga por unidade de área). Numa distribuição uniforme de carga sobre a superfície, σ será constante e igual à carga total dividida pela área total, ou seja carga superficial uniforme Analogamente, podemos considerar uma carga distribuída num volume: a carga dq contida no elemento de volume dv será onde ρ é a densidade volumétrica de carga (ou carga por unidade de volume). Se o objeto estiver uniformemente carregado, ρ será constante, de forma que carga volumétrica uniforme Alguns exemplos do cálculo do campo elétrico de algumas distribuições contínuas de carga serão discutidas a seguir. Linha infinita de cargas A Figura 2.3 mostra uma linha contendo cargas positivas uniformemente distribuídas ao longo de seu comprimento. Vamos determinar o módulo do campo elétrico em um ponto P localizado a uma distância x do ponto médio O da linha. Assumimos que x é muito menor que o comprimento da linha e que λ é a densidade linear de cargas. Definimos um sistema de coordenadas de tal forma que o eixo y está na direção da linha, com origem no ponto O. Um segmento da linha dy possui carga dq = λ dy. O campo elétrico elemento de carga (ou pelo segmento da linha) é dado por: de no ponto P produzido por este onde r = (x 2 + y 2 ) 1/2. O vetor dex = de cos θ e dey = de sen θ. de possui componentes dex e dey, como mostrado na figura, onde

5 Como o ponto O está na metade da linha, a componente y do campo E será zero, já que haverá contribuições iguais para E de acima e abaixo de O: y y Portanto, temos A integral é feita em y, logo x é constante. Devemos agora escrever y em função de θ. Como tanθ = y/x, temos y = x tan θ, derivando a equação (lembrando que dtanx/dx = 1/cos 2 x) então dy = x dθ/ cos 2 θ. Além disso, como cos θ = x/r = x/ (x 2 + y 2 ), temos que 1/(x 2 + y 2 ) = cos 2 θ/x 2. A integral acima fica: onde assumimos que a linha é extremamente longa em ambos os lados (y ± ) que corresponde aos limites θ = ±π/2. Anel de cargas Um anel de raio a possui uma carga total Q positiva distribuída uniformemente. Vamos calcular o campo elétrico devido a este anel de cargas em um ponto P localizado a uma distância x do seu centro ao longo de um eixo central perpendicular ao plano do anel (Figura 2.4). O módulo do campo elétrico no ponto P devido a um segmento de carga dq é Este campo possui uma componente dex = de cos θ ao longo do eixo x e uma componente de perpendicular ao eixo x. O campo resultante em P deve estar orientado apenas no eixo x já que as componentes perpendiculares de todos os elementos de carga se cancelarão. Ou seja, a componente perpendicular do campo criado por um elemento de carga qualquer é cancelada pela componente perpendicular criada por um elemento no lado oposto anel.

6 Todos os segmentos do anel possuem a mesma contribuição para o campo no ponto P pois eles estão à mesma distância desse ponto. Assim, podemos integrar a expressão acima para obter o campo total em P: Este resultado mostra que o campo é zero em x = 0. Disco uniformemente carregado Na Figura 2.5, carga elétrica está distribuída uniformemente sobre um disco circular de raio R. A carga por unidade de área (C/m2) é σ. Vamos calcular o campo elétrico em um ponto P sobre o eixo do disco, a uma distância z acima do seu centro. Podemos imaginar o disco como um conjunto de anéis concêntricos. Podemos então aplicar o resultado obtido anteriormente para o caso de um anel carregado e integrar ao longo de R, somando as contribuições de infinitos elementos de carga na forma de anéis. Para um anel de raio r mostrado na Figura 2.5, o campo elétrico possui módulo: onde escrevemos de (ao invés de E) para este fino anel de carga total dq. O anel possui uma área (dr)(2πr) e densidade superficial de carga σ = dq/(2πr dr). Logo, dq = σ2πr dr, e substituindo na expressão acima para de temos: Esta expressão dá o módulo de E em qualquer ponto z ao longo do eixo do disco. A direção de cada elemento devido a cada anel está na direção do eixo z, e portanto essa também é a direção do campo E. Se q (e σ) são positivos, E aponta para fora do disco; se q (e σ) são negativos, E aponta em direção ao disco. Plano infinito Se o raio do disco é muito maior que a distância do ponto P ao disco, isto é, se z R, temos a configuração de um plano infinito. Neste caso, o segundo termo da expressão do campo elétrico para o disco carregado torna-se desprezível, de forma que para um plano infinito temos: de

7 Este resultado é válido para qualquer ponto acima (ou abaixo) de um plano infinito de qualquer formato que possui uma densidade superficial de cargas σ. Ele também é válido para pontos próximos de um plano finito, desde que o ponto esteja suficientemente próximo do plano comparado com sua distância para as bordas do plano. Assim, o campo nas proximidades de um plano carregado uniformemente é uniforme, e dirigido para fora do plano se a carga é positiva. 7 CARGA PUNTIFORME EM UM CAMPO ELÉTRICO Uma partícula de carga q em um campo elétrico E experimenta uma força F dada por Para estudar o movimento da partícula no campo elétrico, tudo o que precisamos fazer é usar a segunda lei de Newton, F m. a, onde a força resultante sobre a partícula inclui a força elétrica e quaisquer outras forças que possam estar atuando. A aceleração da partícula é portanto: Se E é uniforme (isto é, constante em magnitude e direção), a aceleração é constante. Se a partícula possui carga positiva, sua aceleração está na direção do campo. Se a carga for negativa, sua aceleração é na direção oposta ao campo elétrico. Exemplo: uma carga positiva acelerada Uma partícula com carga positiva q e massa m parte do repouso em um campo elétrico uniforme E dirigido ao longo do eixo x, como mostra a Figura 2.6. Vamos descrever o seu movimento. q E / m A aceleração da partícula é constante e é dada por, portanto ela descreverá um movimento linear simples ao longo do eixo x. Considerando as equações de cinemática em uma dimensão, podemos descrever seu movimento: Escolhendo xi = 0 e vi = 0, temos:

8 A energia cinética da partícula após ela ter percorrido uma distância x = xf xi é PROBLEMAS 2.1 Qual deve ser o módulo de uma carga puntiforme escolhida de modo a criar um campo elétrico de 1 N/C em pontos localizados a 1 m de distância? 2.2 Duas cargas puntiformes de módulos q1 = 2,0 x 10-7 C e q2 = 8,5 x 10-8 C estão separadas por uma distância de 12 cm. (a) Qual o módulo do campo elétrico que cada carga produz no local da outra? (b) Que força elétrica atua sobre cada uma delas? 2.4 Uma barra fina de vidro é encurvada na forma de um semicírculo de raio r. Uma carga +q está distribuída uniformemente ao longo da metade superior, e uma carga -q, distribuída uniformemente ao longo da metade inferior, como mostra a Figura 2.3. Determine o campo elétrico E no ponto P, o centro do semicírculo.

9 2.5 Na Figura 2.4, duas barras finas de plástico, uma de carga +q e a outra de carga -q, formam um círculo de raio R no plano xy. Um eixo x passa pelos pontos que unem as duas barras e a carga em cada uma delas está uniformemente distribuída. Qual o m módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E criado no centro do círculo? 2.6 A que distância, ao longo do eixo central de um disco de plástico de raio R, uniformemente carregado, o módulo do campo elétrico é igual a metade do seu valor no centro da superfície do disco? 2.7 Um elétron é solto a partir do repouso num campo elétrico uniforme de módulo 2,0 x 10 4 N/C. Calcule a sua aceleração (ignore a gravidade).

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