y dx + (x 1) dy (a) Primeiramente encontremos uma parametrização para a curva m = (8 + 8 cos t)(2)dt = 16π + 16sen t = 16π

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1 MAT 2455 álculo Diferencial e Integral para Engenharia III Prova 2 14/5/213 Turma A Questão 1. a) 1, ponto) Um o tem o formato da curva {x, y) R 2 : x 2) 2 + y 2 = 4, y }. Se sua densidade de massa é dada por δx, y) = x 2 + y 2, determine a massa total do o. y dx + x 1) dy b) 2,5 pontos) alcule x 1) 2 + y 2, onde é a curva dada por x 2 + y 2 = 9, x, orientada de, 3) a, 3). a) Primeiramente encontremos uma parametrização para a curva {x, y) R 2 : x 2) 2 + y 2 = 4, y } Note que esta curva é uma semi-circunferência, uma vez que sua equação pode ser posta na forma: ) x 2 2 y ) 2 + = Dessa forma, uma possível parametrização para esta curva é dada por: t) = 2 cos t + 2, 2sen t) para t, π]. A massa do o pode ser dada por: m = π δt)) t) dt Note que δt)) = cos t e que t) = sen t) cos t) 2 = 2, logo: m = π ] π cos t)2)dt = 16π + 16sen t = 16π b) onsidere o campo: ) y F x, y) = x 1) 2 + y 2, x 1 x 1) 2 + y 2 = P x, y), Qx, y)) Note que o domínio de F pode ser escrito como D = {x, y) R 2 : x, y) 1, )}. alculando o rotacional de F, rot F = Q x P ] k = x 1) 2 + y 2 2x 1) 2 + x 1) 2 + y 2 2y 2 x 1) 2 + y 2 ] 2 ] k = Nota-se que o mesmo também está denido para todo x, y) D. onsidere agora, a seguinte parametrização para a curva dada por x 2 + y 2 = 9, x, orientada de, 3) a, 3): t) = 3 cos t, 3sen t) para t π ] 2, +π 2 1

2 Denam-se agora as curvas: u) =, u) para u 3, +3] β ρ v) = 1 + ρ cos v, ρsen v) para v π, +π] e ρ constante Note que a a união das curvas e é fronteira de um compacto do R 2. Sendo 1, ) um ponto interior a, pode-se tomar ρ > sucientemente pequeno para que a imagem da curva β esteja contida no interior de. Assim sendo, o compacto = {x, y) R 2 : x 1) 2 + y 2 ρ 2 }, é um domínio simplesmente conexo para o campo F e para seu rotacional, cuja fronteira é dada por β ρ uma curva fechada, simples e lisa por partes). Então, pode-se aplicar o teorema de Green para o campo F em. Notando no entanto que todas as curvas, β ρ e estão orientadas de forma contrária à enuncidada no teorema, tem-se: omo u) =, 1), tem-se: +3 3 F d r + F d r + rot F k dx dy = β ρ +3 3 u u 2 + 1, 1 du = 1 + u u 2 +3 omo β ρv) = ρsen v, ρ cos v), tem-se: β ρ F d r = +π π ρsen t ρ 2 ), 1) du = 1 du = 1 + u2 ] +3 arctan u = arctan 3, ρ cos t ) +π ρ 2 ρsen v, ρ cos v) dv = 1 dv = 2π π F d r F d r = 2 arctan 3 π) β ρ Questão 2. a) 2, pontos) alcule a integral de linha 17xy + 3x 4 )dx y 6 ) 1/3 + 2x 2] dy, onde é o arco de elipse x2 4 + y2 = 1 com y, orientada de, ) a 2, ). x 2 y 2x3 3 b) 1,5 ponto) Seja F x, y) = xy 2 x 4 y ) ) i + + 2x + xy2 j. Mostre que não existe curva fechada, simples, lisa por partes : a, b] R 2 tal que. a) Dena-se o campo: F x, y) = 17xy + 3x 4 ) i y 6 ) 1/3 + 2x 2] j = P x, y) i + Qx, y) j 2

3 Note que F está denido para todo x, y) R 2 e que: rot F Q x, y) = x P ] k = 4x 17x] k = 13x k Tomemos a seguinte parametrização para a curva, que preserva o sentido de orientação denido: : t) = 2 cos t i sen t j para t π, 2π] Denamos ainda uma curva B, que é um segmento de reta orientado de 2, ) a, ) e que pode ser parametrizada segundo a equação: B : βs) = s i para s, 2] As curva B é fronteira de um compacto R 2, sendo uma curva fechada, simples e lisa por partes. Além disso é um domínio simplesmente conexo para o campo F e rot F está denido para todo x, y). Assim sendo, pode-se aplicar o teorema de Green para obeter o valor da integral solicitada. Notando, no entanto que a orientação atribuída à curva B pela parametrização feita é contrária à do enunciado do teorema, de tal forma que, tem-se: F d r + rot F k dx dy B Primeiramente, façamos tomemos a seguinte descrição para em coordenadas polares: = { 2ρ cos θ, ρsen θ) R 2 : ρ 1, θ π }. Sabendo-se que o módulo do jacobiano desta transformação vale J = 2ρ, tem-se: rot F k dx dy = 13x dx dy = ] ρ 3 1 ] π = 52 sin θ = 3 Ainda, como β s) = i, tem-se: B +2 3s 4 ) ds = 6 2 π 1 s s 4 5 ) ds = ρ 2 cos θ dρ dθ ] 2 = rot F k dx dy 192 B 5 b) onsidere o campo: F x, y) = xy 2 x 4 y ) ) i + x 2 y 2x3 + 2x + xy2 j = P x, y) i + Qx, y) j 3 Note que F está denido para todo x, y) R 2 assim como seu rotacional que é dado por: rot F Q x, y) = x P ] k = 2xy 2x y 2 2xy + x 4] k rot F x, y) = x 2 1) 2 + y ] k 3

4 Seja uma curva fechada, simples, lisa por partes em R 2. Sem perda de generalidade, suponhamos que esteja orientada no sentido anti-horário uma vez que, caso a orientação seja feita no sentido horário, o valor da integral será o oposto do valor obtido com orientação anti-horária). Sendo uma curva fechada simples e lisa por partes no R 2, pode-se armar que a mesma é fronteira de um compacto R 2, que é um domínio simplesmente conexo para o campo F, com rot F denido para todo x, y). Assim sendo, a aplicação do teorema de Green resulta em: rot F k dx dy = x 2 1) 2 + y ] dx dy Utilizando uma propriedade da integral, como x 2 1) 2 + y para todo x, y) R 2, então: x 2 1) 2 + y ] dx dy 1 dx dy > O fato de a última integral ser estritamente positiva se deve ao fato de corresponder à área de, onde é um compacto do R 2. Assim sendo: x 2 1) 2 + y ] dx dy > Isto demonstra que não existe curva fechada, simples, lisa por partes : a, b] R 2 tal que. Questão 3. a) 2, pontos) Verique que o campo vetorial em R 3 F x, y, z) = 2x cos y + yz, xz x 2 sen y + 2 ) 2y sen z, xy + π π cos z é conservativo e determine um potencial para F. b) 1, ponto) alcule a integral de linha 2x cos y + yz) dx + xz x 2 sen y + 2π ) sen z dy + xy + 2y ) π cos z dz x = 2e t2 1 arctan t onde é a curva y = πt, t 1. 2 z = 1 t 4 a) Seja o campo vetorial em R 3 F x, y, z) = 2x cos y + yz, xz x 2 sen y + 2 ) 2y sen z, xy + π π cos z = P, Q, R) 4

5 Note que F está denida para todo x, y, z) R 3, de tal forma que, se existir uma função φ : R 3 R tal que: P x, y, z) = φ x, y, z) x φ Qx, y, z) = x, y, z) φ Rx, y, z) = x, y, z) z diz-se, por denição, que o campo F é conservativo e φ é diata função potencial de F. Assim, procuremos uma função potencial para F. Primeiramente, ca claro que: φx, y, z) = P dx + f 1 y, z) = x 2 cos y + xyz + f 1 y, z) φx, y, z) = Q dx + f 2 x, z) = xyz + x 2 cos y + 2y π sen z + f 2x, z) φx, y, z) = R dx + f 3 x, y) = xyz + 2y π sen z + f 3x, y) Inspecionando-se as expressões anteriores, nota-se que, por exemplo, a adoção de leva à seguinte expressão para φ: Esta função obtida é um potencial de F. f 1 y, z) = 2y π sen z f 2 x, z) = f 3 x, y) = x 2 cos y φx, y, z) = xyz + x 2 cos y + 2y π sen z b) Sendo F o campo denido no item a), note que a integral solicitada corresponde exatamente a F d r. omo F é um campo conservativo e a função φ obtida no item a) é um potencial para F, pode-se armar que: φ t) )] t=1 t= Para a curva dada: ) =,, 1) π 1) = 2, π ) 2, Notando que: φ,, 1) = π φ 2, π ) 2, = φ t) )] t=1 = t= 5

6 MAT 2455 álculo Diferencial e Integral para Engenharia III Prova 2 14/5/213 Turma B Questão 1. a) 1, ponto) Um o tem o formato da curva {x, y) R 2 : x 3) 2 + y 2 = 9, y }. Se sua densidade de massa é dada por δx, y) = x 2 + y 2, determine a massa total do o. y dx + x 1) dy b) 2,5 pontos) alcule x 1) 2 + y 2, onde é a curva dada por x 2 + y 2 = 4, x, orientada de, 2) a, ). a) Primeiramente encontremos uma parametrização para a curva {x, y) R 2 : x 3) 2 + y 2 = 9, y } Note que esta curva é uma semi-circunferência, uma vez que sua equação pode ser posta na forma: ) x 3 2 y ) 2 + = Dessa forma, uma possível parametrização para esta curva é dada por t) = 3 cos t + 3, 3sen t) para t, π]. A massa do o pode ser dada por m = π δt)) t) dt Note que δt)) = cos t, e que t) = 3sen t) cos t) 2 = 3, logo: m = π ] π cos t)3)dt = 54π + 54sen t = 54π b) onsidere o campo: ) y F x, y) = x 1) 2 + y 2, x 1 x 1) 2 + y 2 = P x, y), Qx, y)) Note que o domínio de F pode ser escrito como D = {x, y) R 2 : x, y) 1, )}. alculando o rotacional de F, rot F = Q x P ] k = x 1) 2 + y 2 2x 1) 2 + x 1) 2 + y 2 2y 2 x 1) 2 + y 2 ] 2 ] k = Nota-se que o mesmo também está denido para todo x, y) D. onsidere agora, a seguinte parametrização para a curva dada por x 2 + y 2 = 4, x, orientada de, 2) a, ): t) = 2 cos t, sen t) para t π ] 2, +π 2 6

7 Denam-se agora as curvas: u) =, u) para u, +2] β ρ v) = 1 + ρ cos v, ρsen v) para v π, +π] e ρ constante Note que a a união das curvas e é fronteira de um compacto do R 2. Sendo 1, ) um ponto interior a, pode-se tomar ρ > sucientemente pequeno para que a imagem da curva β esteja contida no interior de. Assim sendo, o compacto = {x, y) R 2 : x 1) 2 + y 2 ρ 2 }, é um domínio simplesmente conexo para o campo F e para seu rotacional, cuja fronteira é dada por β ρ uma curva fechada, simples e lisa por partes). Então, pode-se aplicar o teorema de Green para o campo F em. Notando no entanto que todas as curvas, β ρ e estão orientadas de forma contrária à enuncidada no teorema, tem-se: omo u) =, 1), tem-se: +2 F d r + F d r + rot F k dx dy = β ρ +2 u u 2 + 1, 1 du = 1 + u u 2 +2 omo β ρv) = ρsen v, ρ cos v), tem-se: β ρ F d r = +π π ρsen t ρ 2 ), 1) du = 1 du = 1 + u2 ] +2 arctan u = arctan 2, ρ cos t ) +π ρ 2 ρsen v, ρ cos v) dv = 1 dv = 2π π F d r F d r = 2 arctan 2 π) β ρ Questão 2. a) 2, pontos) alcule a integral de linha 15xy + 3x 3 )dx y 4 ) 1/3 + 3x 2] dy, onde é o arco de elipse x2 4 + y2 = 1 com y, orientada de, ) a 2, ). x 2 y x4 2 b) 1,5 ponto) Seja F x, y) = xy 2 x 6 y ) ) i + + 2x + xy2 j. Mostre que não existe curva fechada, simples, lisa por partes : a, b] R 2 tal que. a) Dena-se o campo: F x, y) = 15xy + 3x 3 ) i y 4 ) 1/3 + 3x 2] j = P x, y) i + Qx, y) j 7

8 Note que F está denido para todo x, y) R 2 e que: rot F Q x, y) = x P ] k = 6x 15x] k = 9x k Tomemos a seguinte parametrização para a curva, que preserva o sentido de orientação denido: : t) = 2 cos t i sen t j para t π, 2π] Denamos ainda uma curva B, que é um segmento de reta orientado de 2, ) a, ) e que pode ser parametrizada segundo a equação: B : βs) = s i para s, 2] As curva B é fronteira de um compacto R 2, sendo uma curva fechada, simples e lisa por partes. Além disso é um domínio simplesmente conexo para o campo F e rot F está denido para todo x, y). Assim sendo, pode-se aplicar o teorema de Green para obeter o valor da integral solicitada. Notando, no entanto que a orientação atribuída à curva B pela parametrização feita é contrária à do enunciado do teorema, de tal forma que, tem-se: F d r + rot F k dx dy B Primeiramente, façamos tomemos a seguinte descrição para em coordenadas polares: = { 2ρ cos θ, ρsen θ) R 2 : ρ 1, θ π }. Sabendo-se que o módulo do jacobiano desta transformação vale J = 2ρ, tem-se: rot F k dx dy = 9x dx dy = ] ρ 3 1 ] π = 36 sin θ = 3 Ainda, como β s) = i, tem-se: B +2 π 1 2 s 3s 3 ) ds = 3 s 3 4 ds = ρ 2 cos θ dρ dθ ] 2 =. rot F k dx dy. B b) onsidere o campo: F x, y) = xy 2 x 6 y ) ) i + x 2 y x4 + 2x + xy2 j = P x, y) i + Qx, y) j 2 Note que F está denido para todo x, y) R 2 assim como seu rotacional que é dado por: rot F Q x, y) = x P ] k = 2xy 2x y 2 2xy + x 6] k rot F x, y) = x 3 1) 2 + y ] k 8

9 Seja uma curva fechada, simples, lisa por partes em R 2. Sem perda de generalidade, suponhamos que esteja orientada no sentido anti-horário uma vez que, caso a orientação seja feita no sentido horário, o valor da integral será o oposto do valor obtido com orientação anti-horária). Sendo uma curva fechada simples e lisa por partes no R 2, pode-se armar que a mesma é fronteira de um compacto R 2, que é um domínio simplesmente conexo para o campo F, com rot F denido para todo x, y). Assim sendo, a aplicação do teorema de Green resulta em: rot F k dx dy = x 3 1) 2 + y ] dx dy Utilizando uma propriedade da integral, como x 3 1) 2 + y para todo x, y) R 2, então: x 3 1) 2 + y ] dx dy 1 dx dy > O fato de a última integral ser estritamente positiva se deve ao fato de corresponder à área de, onde é um compacto do R 2. Assim sendo: x 3 1) 2 + y ] dx dy > Isto demonstra que não existe curva fechada, simples, lisa por partes : a, b] R 2 tal que. Questão 3. a) 2, pontos) Verique que o campo vetorial em R 3 F x, y, z) = 2x cos z + yz, xz + 2z π cos y, xy x2 sen z + 2 ) π sen y é conservativo e determine um potencial para F. b) 1, ponto) alcule a integral de linha 2x cos z + yz) dx + xz + 2z ) π cos y dy + xy x 2 sen z + 2π ) sen y dz x = 2e t2 1 arctan t onde é a curva y = πt, t 1. 2 z = 1 t 4 a) Seja o campo vetorial em R 3 F x, y, z) = 2x cos z + yz, xz + 2z π cos y, xy x2 sen z + 2 ) π sen y = P, Q, R) 9

10 Note que F está denida para todo x, y, z) R 3, de tal forma que, se existir uma função φ : R 3 R tal que: P x, y, z) = φ x, y, z) x φ Qx, y, z) = x, y, z) φ Rx, y, z) = x, y, z) z diz-se, por denição, que o campo F é conservativo e φ é diata função potencial de F. Assim, procuremos uma função potencial para F. Primeiramente, ca claro que: φx, y, z) = P dx + f 1 y, z) = x 2 cos z + xyz + f 1 y, z) φx, y, z) = Q dx + f 2 x, z) = xyz + 2z π sen y + f 2x, z) φx, y, z) = R dx + f 3 x, y) = xyz + x 2 cos z + 2z π sen y + f 3x, y) Inspecionando-se as expressões anteriores, nota-se que, por exemplo, a adoção de leva à seguinte expressão para φ: Esta função obtida é um potencial de F. f 1 y, z) = 2z π sen y f 2 x, z) = x 2 cos z f 3 x, y) = φx, y, z) = xyz + x 2 cos z + 2z π sen y b) Sendo F o campo denido no item a), note que a integral solicitada corresponde exatamente a F d r. omo F é um campo conservativo e a função φ obtida no item a) é um potencial para F, pode-se armar que: φ t) )] t=1 t= Para a curva dada: ) =,, 1) π 1) = 2, π ) 2, Notando que: φ,, 1) = φ π 2, π 2, ) = π2 4 φ t) )] t=1 t= = π2 4 1