Teorema de Stokes. Integrais de superfície- exerc. resolv. [ElaboradoporRosário Laureano] [ 2012/13 ] 1... Exercícios resolvidos(do Caderno 3)
|
|
|
- Ian Frade Godoi
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 ROÁRIO LAUREANO 1 Teorema de tokes Integrais de superfície- exerc. resolv. [ElaboradoporRosário Laureano] [ 1/13 ] 1... Exercícios resolvidos(do aderno 3 Exercise 1 onsidere a circunferência de equação x +y 4 encimada pelasuperfície deequaçãoz 4 ( x +y eumcampodevetores F(x,y,z ( x y,yz,xz. Mostre que x ydx+yzdy+xzdz ( y, z, x N ds 4π. A primeira igualdade baseia-se no Teorema de tokes(ou do rotacional visto que x ( ydx+yzdy+xzdz x y,yz,xz (dx,dy,dz e ( x y,yz,xz d r rot F e F x y z x y yz xz ( y, z, x. x Quantoàsegundaigualdade,provemosque x ydx+yzdy+xzdz 4π. Umaparametrizaçãoparaacurva é r(t x(tcost y(tsint z(t parat [,π[. omo vetor tangente temos d r dt ( sint,cost,. Assim, o integral pode
2 ROÁRIO LAUREANO ser escrito como x ydx+yzdy+xzdz 16 4 (cost sint( sintdt+sint costdt+cost dt cos tsin 1+cos(t tdt 16 1 cos(t dt (1 cos (tdt 4 (1 1+cos(4t dt 4 [t t ] tπ 18 sin(4t 4(π π 4π. t Exercise Transforme o integral de linha x yzdx+xy dy+(x+zdz numintegralduplosabendoque éacircunferênciadecentronaorigemeraio. onsiderando uma superfície que assente sobre a curva, por exemplo o parabolóidedeequaçãoz4 x y (consideramosacircunferênciasobreo xy-plano, podemos aplicar o Teorema de tokes. Temos então x yzdx+xy ( dy+(x+zdz x yz,xy,x+z (dx,dy,dz ( x yz,xy,x+z d r T. tokes Umaparametrizaçãodoparabolóidez4 x y é r(u,v rot ( x yz,xy,x+z N ds (,x y 1,y x z N ds. x(u,vu y(u,vv z(u,v4 u v para(u,v { u +v 4
3 ROÁRIO LAUREANO 3 logoovetornormalvemdadopor r N v (1,, u (,1, v e 1 u 1 v (u,v,1. Podemos então escrever, a partir do último integral e considerando que a curva está orientada segundo os ponteiros do relógio, que x yzdx+xy dy+(x+zdz (,u v 1,v u (4 u v (u,v,1dudv ( ( u v 1 v+v u (4 u v dudv. aso se pretendesse calcular o valor deste integral duplo seria favorável o uso de coordenadas polares. Exercise 3 etermine o trabalho efectuado pelo campo de vetores F(x,y,zx +4xy 3 e +y x e 3 numa partícula que percorre o contorno do rectângulo situado no plano z y de vértices (,,, (1,,, (1,3,3 e (,3,3. onsidere que o rectângulo é percorrido no sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário ou sentido negativo. Otrabalhopedidoédadopor ( W x,4xy 3,y d r (xy, y,4y 3 N ds T. tokes rot ( x,4xy 3,y N ds considerando como superfície o rectângulo do enunciado e visto que rot ( x,4xy 3,y e1 e x y z x 4xy 3 y (xy, y,4y 3. Uma parametrização de é r(u,v x(u,vu y(u,vv z(u,vv para(u,v
4 ROÁRIO LAUREANO 4 emqueéorectângulonoplanouov devértices(,, (1,, (1,3e(,3. omo vetor normal temos então r N v (1,, (,1,1 e (, 1,1. Portanto, W (xy, y,4y 3 N ds 1 (uv, v,4v 3 (, 1,1dudv ( v +4v 3 1 ( 3 dudv [ v 3 3 +v4 ] v3 v du 1 ( v +4v 3 dv du (9+81du9. Nota: asoaorientaçãodacurvafosseacontrária,adosponteirosdorelógio, para que o Teorema de tokes seja válido, era necessário considerar o vetor normal N (,1, 1.Ovalordotrabalhoseriaobviamentesimétrico: 9. Exercise 4 Use uma superfície esférica para calcular o valor do integral de linha xy dx+xdy+zdz em que é a circunferência de equação x +y 9 z, percorrida no sentido negativo(sentido horário. Podemos fazer uso do Teorema de tokes considerando como superfície o hemisfériosuperiordasuperfícieesféricadeequaçãox +y +z 9vistoque asuaintersecçãocomoplanozéacurva. Temos então xy ( dx+xdy+zdz xy,x,z dxdydz ( xy,x,z d r T. tokes (,,1 xy N ds rot ( xy,x,z N ds
5 ROÁRIO LAUREANO 5 visto que rot ( xy,x,z Uma parametrização de é e x y xy x z z (,,1 xy. r(θ,ϕ x(θ,ϕ3cosθsinϕ y(θ,ϕ3sinθsinϕ z(θ,ϕ3cosϕ para(θ,ϕ emque é o rectângulo no plano θoϕ dado por [,π[ [, π ]. omo vetor normal temos então N r θ r ϕ ( 3sinθsinϕ,3cosθsinϕ, (3cosθcosϕ,3sinθcosϕ, 3sinϕ e 3sinθsinϕ 3cosθsinϕ 3cosθcosϕ 3sinθcosϕ 3sinϕ ( 9cosθsin ϕ, 9sinθsin ϕ, 9sin θsinϕcosϕ 9cos θsinϕcosϕ ( 9cosθsin ϕ, 9sinθsin ϕ, 9sinϕcosϕ. Para que o vetor normal seja exterior à superfície consideramos o vetor.portanto, xy dx+xdy+zdz π π ( N (9cosθsin ϕ,9sinθsin ϕ,9sinϕcosϕ. (,,1.9sinθcosθsin ϕ (9cosθsin ϕ,9sinθsin ϕ,9sinϕcosϕdθdϕ ( (1.9sinθcosθsin ϕ(9sinϕcosϕdθ dϕ (9sinϕcosϕ 16sinθcosθsin 3 ϕcosϕdθ dϕ π π [ 9θsinϕcosϕ 16sin θsin 3 ϕcosϕ ] θπ θ dϕ [ sin ϕ 18πsinϕcosϕdϕ18π ] ϕ π ϕ 9π.
6 ROÁRIO LAUREANO 6 Outra possibilidade seria parametrizar o hemisfério superior da superfície esféricax +y +z 9por r(u,v x(u,vu y(u,vv z(u,v 9 u v para(u,v emqueéocírculonoplanouovdeequaçãox +y 9. omovetornormal temos então ( r N v u v 1,, (,1, 9 u v 9 u v Portanto, e u 1 9 u v v 1 9 u v xy dx+xdy+zdz u v ( 9 u v, 9 u v,1. (,,1 uv ( u v 9 u v, 9 u v,1dudv (1 uvdudv. Aplicando coordenadas polares temos xy dx+xdy+zdz [ 9 (1 uvdudv ( 3 (1 rcosθrsinθrdr dθ [ ] r r3 r4 cosθsinθ dθ r ( 9 81 cosθsinθ dθ θ 81 sin ] θπ θ 9π. θ Exercise 5 UseoTeoremadetokesparacalcularovalordointegraldelinha ( x yz dx+ ( y xz dy+ ( z xy dz sendo aelipsedeequaçãoxacosθ,ybsinθ existentenoxy-plano.
7 ROÁRIO LAUREANO 7 Temos ( x yz dx+ ( y xz dy+ ( z xy dz (x yz,y xz,z xy d r T. tokes (,, N ds visto que rot ( x yz,y xz,z xy e x y z x yz y xz z xy (,,. Exercise 6 VerifiqueoTeoremadetokesparaocampodevetores F(x,y,z3y xz e +yz e 3 sendoasuperfíciedeequaçãozx +y limitadopeloplanozorientada para fora. A superfície corresponde a um paraboloíde que se desenvolve ao longo do z-eixocomvértice(,,. ParaaplicaroTeoremadetokesconsideremosacurva deequação x +y 4 z porserestaacurvadeintersecçãodoparaboloíde comoplanoz. Temos então que verificar a igualdade F d r rot F N ds (3y, xz,yz d r rot(3y, xz,yz N ds (3y, xz,yz d r (z +x,, z 3 N ds visto que rot ( 3y, xz,yz e1 e x y z 3y xz yz (z +x,, z 3. alculemos em primeiro lugar o integral de linha (3y, xz,yz d r.
8 ROÁRIO LAUREANO 8 Uma parametrização da curva é r(t x(tcost y(tsint z(t parat [,π[ a que corresponde o vetor tangente Assim o integral pode ser escrito como (3y, xz,yz d r d r dt ( sint,cost,. (6sint, 4cost,8sint ( sint,cost,dt ( 1sin t 8cos tdt 4 (3sin t+cos tdt cos(t + 1+cos(t dt (6(1 cos(t+4(1+cos(tdt (1 cos(tdt [1t sin(t] tπ t π Quanto ao cálculo do integral de superfície, uma parametrização da superfície é x(u,vu r(u,v y(u,vv z(u,v u +v para(u,v sendoocírculodeequaçãou +v 4.omovetornormaltemos r N v (1,,u (,1,v e 1 u 1 v ( u, v,1.
9 ROÁRIO LAUREANO 9 O integral pode ser então calculado como (z +x,, z 3 N ds ( (u +v +u,, u +v 3 ( u, v,1dudv ( ( u +v u u u +v 3 dudv ( ( ( r rcosθ +r cos θ+ r +3 rdr dθ ( ( r 6 [ r 7 4 cosθ+r3 cos θ+ r3 +3r 8 cosθ+r4 4 cos θ+ r4 8 +3r [ cosθ+4cos θ+8 ] r [ 3 7 sinθ+θ+sin(θ+8θ dθ r ] θπ θ ] r r dr dθ dθ 4π 16π π. Exercise 7 VerifiqueoTeoremadetokesparaocampodevetores F(x,y,zy +z e +x e 3 sendo asuperfíciedeumtetraedroirregular devértices A(,,1, B(,1,, (1,,eO(,,aoqualseexcluiuaface[BO],orientadoparafora. A superfície é seccionalmente regular e corresponde à união de três superfíciesregulares 1, e 3 queseencontram,respectivamente,sobreosplanos x+y+z1,x,ey. ParaaplicaroTeoremadetokesconsideremosacurvafechada queune opontooaoponto,oponto aopontobeopontobaopontoo. Temos então que verificar a igualdade F d r rot F N ds (y,z,x d r rot(y,z,x N ds (y,z,x d r ( 1, 1, 1 N ds
10 ROÁRIO LAUREANO 1 visto que rot(y,z,x e x y y z x z ( 1, 1, 1. alculemos emprimeiro lugarointegral de linha (y,z,x d r. Acurva é seccionalmente regularsendo uniãode 3arcos regulares: OB, B e O. Uma parametrização do arco OB é r(t x(tt y(t z(t parat [,1] aquecorrespondeovetortangente d r dt (1,,.Umaparametrizaçãodoarco B é x(t1 t r(t y(tt parat [,1] z(t aque corresponde ovetortangente d r ( 1,1,. Umaparametrizaçãodo dt arcooé x(t r(t y(t t parat [ 1,] z(t aquecorrespondeovetortangente d r dt (, 1,.Assim,ointegralpodeser escrito como (y,z,x d r (y,z,x d r + (y,z,x d r OB B + (y,z,x d r 1 O (,,t (1,,dt [ t 1 ( t,, (, 1,dt dt+ ] t1 t 1 1. tdt+ dt 1 (t,,1 t ( 1,1,dt 1 tdt Quantoaocálculodointegraldesuperfície,háqueconsiderarque 1
11 ROÁRIO LAUREANO Umaparametrizaçãodasuperfície 1 é r(u,v x(u,vu y(u,vv z(u,v1 u v para(u,v sendo o triângulo de vértices[ob]. omo vetor normal temos r N v (1,, 1 (,1, 1 e (1,1,1. Umaparametrizaçãodasuperfície é r(u,v x(u,v y(u,vu z(u,vv para(u,v sendo otriângulodevértices[ao].omovetornormaltemos r N v (,1, (,,1 e 1 1 (1,,. Vamosusarovetornormal N ( 1,,. Umaparametrizaçãodasuperfície 3 é x(u,vu r(u,v y(u,v para(u,v z(u,vv sendo otriângulodevértices[abo].omovetornormaltemos r N v (1,, (,,1 e 1 1 (,1,. Vamosusarovetornormal N (, 1,. Ointegralpodeserentãocalculado
12 ROÁRIO LAUREANO 1 como ( 1, 1, 1 N ds ( 1, 1, 1 N ds+ ( 1, 1, 1 N ds 1 + ( 1, 1, 1 N ds 3 ( 1, 1, 1 (1,1,1dudv+ ( 1, 1, 1 ( 1,,dudv + ( 1, 1, 1 (, 1,dudv 3dudv+ 1dudv+ 1dudv 1 ( u+1 1 ( u+1 1 ( u+1 3 dv du+ dv du+ dv du 1 ( u+1 1 dv du 1 ( u+1du [ u +u [v] v u+1 v du ] u1 u (
INTEGRAIS de SUPERFÍCIE
ROÁRIO LAUREANO 1 INTEGRAI de UPERFÍIE [ElaboradoporRosário Laureano] [ 1/13 ] 1 Integrais de superfície 1.1 Parametrização de uma superfície regular eja r : R R 3 uma função vetorial de variável vetorial
1 Integrais de superfície
1 ntegrais de superfície 1.1 Parametrização de uma superfície regular eja r : R R 3 uma função vectorial de variável vectorial definida num conjunto conexo, r : R R 3 (u, v) 7 r (u, v) (r 1 (u, v),r (u,
1. Superfícies Quádricas
. Superfícies Quádricas álculo Integral 44. Identifique e esboce as seguintes superfícies quádricas: (a) x + y + z = (b) x + z = 9 x + y + z = z (d) x + y = 4 z (e) (z 4) = x + y (f) y = x z = + y (g)
x = u y = v z = 3u 2 + 3v 2 Calculando o módulo do produto vetorial σ u σ v : 9u 2 + 9v 2
MAT 255 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III a. Prova - 22/6/21 - Escola Politécnica Questão 1. a valor: 2, Determine a massa da parte da superfície z 2 x 2 + y 2 que satisfaz z e x 2 +
Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra Cálculo III - Engenharia Electrotécnica Caderno de Exercícios
Departamento de Matemática Faculdade de iências e Tecnologia Universidade de oimbra álculo III - Engenharia Electrotécnica aderno de Exercícios álculo Integral álculo do integral triplo em coordenadas
Gabarito - Primeira Verificação Escolar de Cálculo IIIA GMA Turma C1. x 2. 2 y
Universidade Federal Fluminense Andrés Gabarito - Primeira Verificação Escolar de álculo IIIA GMA - Turma. onsidere a integral dupla a Esboce a região. y Temos que onde Observando que f(x, ydxdy + y {(x,
Universidade Federal do Paraná
Universidade Federal do Paraná etor de iências Exatas epartamento de Matematica Prof. Juan arlos Vila Bravo 5 ta Lista de exercicios de cálculo II uritiba, 02 de Junho de 2010 INTEGRAL E LINHA E FUNÇÃO
Integrais Sobre Caminhos e Superfícies. Teoremas de Integração do Cálculo Vectorial.
Capítulo 5 Integrais Sobre Caminhos e Superfícies. Teoremas de Integração do Cálculo Vectorial. 5.1 Integral de Um Caminho. Integral de Linha. Exercício 5.1.1 Seja f(x, y, z) = y e c(t) = t k, 0 t 1. Mostre
3.6 O Teorema de Stokes
18 CAPÍTULO 3. INTEGRAI DE UPERFÍCIE 3.6 O Teorema de tokes Definição 3.41 eja K R um conjunto fechado e limitado, com interior não vazio, cuja fronteira K é uma curva fechada, simples e regular ou regular
Questão 2 (3,5 pontos) Calcule. 48, z e S a parte da superfície
Instituto de Matemática e Estatística da UP MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - o. emestre 5 - /6/5 Turma A Questão :(, pontos) Calcule a massa da superfície que é parte
Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (2,0 pontos)
Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (,0 pontos) a) etermine números reais a 0, b, c, e d tais que o gráfico de f(x) ax + bx + cx + d tenha um ponto de inflexão em (1, ) e o coeficiente angular
Total. UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área I
UFRG - INTITUTO DE MTEMÁTIC Departamento de Matemática Pura e plicada MT1168 - Turma - 19/1 Prova da área I 1-6 7 8 Total Nome: Ponto extra: ( )Wikipédia ( )presentação ( )Nenhum Tópico: Cartão: Regras
x 2 (2 x) 2 + z 2 = 1 4x + z 2 = 5 x = 5 z2 4 Como y = 2 x, vem que y = 3+z2
Turma A Questão 1: (a Calcule Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT55 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - 1o. Semestre 15-19/5/15 e z dx + xz dy + zy dz sendo a curva
1. Determine o valor do integral curvilíneo do campo F (x, y, z) = xzî + xĵ + y k ao longo da linha (L), definida por: { x 2 /4 + y 2 /25 = 1 z = 2
Análise Matemática IIC Ficha 6 - Integrais Curvilíneos de campos de vectores. Teorema de Green. Integrais de Superfície. Teorema de Stokes. Teorema da Divergência. 1. Determine o valor do integral curvilíneo
MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III Escola Politécnica - 3 a Prova - 21/06/2016. Turma A 1 a Questão: a) (1,5) Seja
urma A 1 a Questão: MA55 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III Escola Politécnica - a Prova - 1/6/16 a 1,5 eja parte do plano x + y + z = 8 limitada pelos plano x =, y = e z =. Calcule F
Lista 1 - Cálculo III
Lista 1 - Cálculo III Parte I - Integrais duplas sobre regiões retangulares Use coordenadas cartesianas para resolver os exercícios abaixo 1. Se f é uma função constante fx, y) = k) e = [a, b] [c, d],
Capítulo I - Funções Vectoriais EXERCÍCIOS
ANÁLISE MATEMÁTIA II Universidade Fernando Pessoa Faculdade de iência e Tecnologia apítulo I - Funções Vectoriais EXERÍIOS 1. Sendo F, G e H funções vectoriais de t, encontre uma fórmula para a derivada
Análise Matemática 2 FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO. Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
FAULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de omputadores Análise Matemática 2 Apontamentos das aulas teóricas - Integrais de Linha 29/21 Maria do
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 13. rot F n ds.
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo 3A Lista 3 Eercício : Verifique o Teorema de tokes, calculando as duas integrais do enunciado,
Teorema da Divergência e Teorema de Stokes
Teorema da Divergência e Teorema de tokes Resolução umária) 19 de Maio de 9 1. Calcule o fluxo do campo vectorial Fx, y, z) x, y, z) para fora da superfície {x, y, z) R 3 : x + y 1 + z, z 1}. a) Pela definição.
AMIII - Exercícios Resolvidos Sobre Formas Diferenciais e o Teorema de Stokes
AIII - Exercícios Resolvidos obre Formas Diferenciais e o Teorema de tokes 4 de Dezembro de. eja a superfície Calcule: a) A área de ; b) O centróide de ; { x, y, z) R 3 : z cosh x, x
Ca lculo Vetorial. 2) Fac a uma corresponde ncia entre as func o es f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes.
Se tima Lista de Exercı cios a lculo II - Engenharia de Produc a o extraı da do livro A LULO - vol, James Stewart a lculo Vetorial 1) Determine o campo vetorial gradiente de f. a) f (x, y) = ln(x + y)
Integrais Duplos e Triplos.
Capítulo 4 Integrais uplos e Triplos. 4.1 Integrais uplos xercício 4.1.1 Calcule os seguintes integrais. a. e. 1 1 e 1 2x+2 15xy + 1y 2 dy dx b. y x dx dy 4 x 2y) dy dx f. 4 1 π 6 2 π 2 x 1 6xy 3 + x )
Cálculo III-A Lista 14
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Eercício : Mostre que álculo III-A Lista 4 I + +ln) d+ d é independente do caminho e calcule o valor
Cálculo III-A Módulo 9
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 9 Aula 17 Teorema de Green Objetivo Estudar um teorema que estabelece uma ligação
CÁLCUL O INTEGRAIS TRIPLAS ENGENHARIA
CÁLCUL O INTEGRAIS TRIPLAS ENGENHARIA 1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE Nas integrais triplas, temos funções f(x,y,z) integradas em um volume dv= dx dy dz, sendo a região de integração um paralelepípedo P=
Universidade Federal do Paraná
Universidade Federal do Paraná etor de iências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan arlos Vila Bravo Lista de exercicios de cálculo II uritiba, 28 de Maio de 2014 INTEGRAL DE LINHA DE AMPO VETORIAL:
Cálculo 3. Integrais de Linha Resumo e Exercícios P2
Cálculo 3 Integrais de Linha Resumo e Exercícios P2 Integrais de Linhas de Campos Vetoriais Calculo pelo produto escalar Dado um campo vetorial F e uma curva γ e sua orientação com parametrização γ t a
3xz dx + 4yz dy + 2xy dz, do ponto A = (0, 0, 0) ao ponto B = (1, 1, 2), ao longo dos seguintes caminhos:
Lista álculo III -A- 201-1 10 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matemática GMA - Departamento de Matemática Aplicada LISTA - 201-1 Integral de Linha de ampo Vetorial Teorema de Green ampos
Cálculo III-A Módulo 9 Tutor
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 9 Tutor Eercício : alcule a integral de linha diretamente e, também, pelo teorema
LISTA DE CÁLCULO III. (A) Integrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (e) (f) (g) (h)
1 LISTA E CÁLCULO III (A) Integrais uplas 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (c) (d) 1 y y a a 2 x 2 a 1 y 1 2 2 x x 2 y 2 dxdy; a 2 x 2 (x + y)dydx; e x+y dxdy; x 1 +
Cálculo IV EP10 Tutor
Fundação entro de iências e Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP Tutor Eercício : alcule a integral de
3 Cálculo Integral em R n
3 Cálculo Integral em n Exercício 3.. Calcule os seguintes integrais. Universidade da Beira Interior Matemática Computacional II Engenharia Informática 4/5 Ficha Prática 3 3 x + y dxdy x y + x dxdy e 3
Lista Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9 y 2 e pelo plano x = 2.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II (Turma B) Prof. José Carlos Eidam Lista 3 Integrais múltiplas. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) R (2y 2 3x
Total. UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma D /2 Prova da área I
UFRG - INTITUTO DE MATEMÁTIA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT01168 - Turma D - 018/ Prova da área I 1-6 7 8 Total Nome: artão: Regras Gerais: Não é permitido o uso de calculadoras, telefones
equação paramêtrica/vetorial da superfície: a lei
1 Superfícies Definição Chamamos Superfície parametrizada em R n : uma função contínua : B R n (n 3) onde B R 2. Superfície: a imagem de, equação paramêtrica/vetorial da superfície: a lei Seja p 0 = (s
Exercícios Resolvidos Teorema da Divêrgencia. Teorema de Stokes
Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Exercícios Resolvidos Teorema da Divêrgencia. Teorema de tokes Exercício 1 Considere a superfície definida por e o campo
MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 1a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 2013
MAT55 - Cálculo iferencial e Integral para Engenharia III a. Lista de Exercícios - o. semestre de. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) (y xy )dxdy, onde = {(x, y) : x, y }. esp. (a) 585 8. (b) x
CÁLCULO II - MAT0023. F (x, y, z) =
UNIERIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERIANA Instituto Latino-Americano de iências da ida e da Natureza entro Interdisciplinar de iências da Natureza ÁLULO II - MAT0023 17 a Lista de exercícios 1.
MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 2a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 2014
MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 014 1. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada: x ds, (t) = (t 3, t), 0 t
INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA. Resolução do 1 o Teste.
. [.5] (a) Calcule a soma da série Resolução: A série INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL Resolução do o Teste n (n + ) ; n (n + ) + + 4 +... rapidamente se verifica que não é uma série aritmética ou geométrica.
MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 3a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 2017
MAT2455 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 3a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 2017 1. Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:
Exame de Matemática II - Curso de Arquitectura
Exame de Matemática II - Curso de ruitectura o semestre de 8 7 de Junho de 8 esponsável Henriue Oliveira a Parte. Considere a seguinte função f! de nida por f(x ; x ; x ) (x cos (x ) ; x sin (x ) ; x ).
Coordenadas esféricas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA Assunto: Integrais triplas. Coordenadas esféricas Palavras-caves: integrais triplas, coordenadas esféricas,cálculo de volume Coordenadas esféricas
Resumo: Regra da cadeia, caso geral
Resumo: Regra da cadeia, caso geral Teorema Suponha que u = u(x 1,..., x n ) seja uma função diferenciável de n variáveis x 1,... x n onde cada x i é uma função diferenciável de m variáveis t 1,..., t
ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 2 31 DE OUTUBRO DE :10-16H. Duração: 50 minutos
Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 3/Out/5 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 3 DE OUTUBRO DE 5 5:-6H RESOLUÇÃO (As soluções aqui propostas não são únicas!) Duração:
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ UESC. 1 a Avaliação escrita de Cálculo IV Professor: Afonso Henriques Data: 10/04/2008
1 a Avaliação escrita de Professor: Afonso Henriques Data: 10/04/008 1. Seja R a região do plano delimitada pelos gráficos de y = x, y = 3x 18 e y = 0. Se f é continua em R, exprima f ( x, y) da em termos
MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 1a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 2016
MAT55 - Cálculo iferencial e Integral para ngenharia III a. Lista de xercícios - o. semestre de 6. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) (y xy )dxdy, onde = {(x, y) : x, y }. esp. (a) 585. 8 x sin
CÁLCULO II - MAT0023. Nos exercícios de (1) a (4) encontre x e y em termos de u e v, alem disso calcule o jacobiano da
UNIVEIDADE FEDEAL DA INTEGAÇÃO LATINO-AMEICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza CÁLCULO II - MAT3 15 a Lista de exercícios Nos
Dessa forma, podemos reescrever o domínio
Turma A Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT55 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - o. Semestre - 9// Questão. (. pontos) Calcule as seguintes integrais: (a) arctg(y)
ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 2 PARA PRATICAR OUTUBRO DE Duração: 50 minutos
Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 3/Out/5 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE PARA PRATICAR OUTUBRO DE 5 RESOLUÇÃO (As soluções aqui propostas não são únicas!) Duração:
Cálculo III-A Módulo 14
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 4 Aula 25 Teorema de tokes Objetivo Estudar um teorema famoso que generalia
PROFESSOR: RICARDO SÁ EARP
LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE TRABALHO, CAMPOS CONSERVATIVOS, TEOREMA DE GREEN, FLUXO DE UM CAMPO AO LONGO DE UMA CURVA, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL DE UM CAMPO NO PLANO, FUNÇÕES HARMÔNICAS PROFESSOR: RICARDO
Questão 1. (2,5 pontos)
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UFN POVA DE EPOSIÇÃO DE CÁLCULO ECT 11 Turma 4/1/14 Profs. onaldo e Gabriel Nome Legível: Assintatura: Instruções: Q1 1. Leia todas as instruções antes de qualquer outra
Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia 2a. Prova - 1o. Semestre /05/2017
Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT55 - Cálculo iferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - 1o. Semestre 17-3/5/17 Turma A Questão 1: Calcule xy ds, onde é dada pela interseção das
APOIO À FICHA 7. (Alguns) Exemplos das aulas teóricas de (revistos e com solução detalhada).
APOIO À FICHA 7 MAGAIDA BAÍA, DM, IST (Alguns) Exemplos das aulas teóricas de 5-4-219 (revistos e com solução detalhada). 1. Calcule o volume de = {(x, y, z) 3 : x 2 + y 2 + z 2 16, z } esolução: Queremos
Cálculo III-A Módulo 2 Tutor
Eercício : Calcule Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo Tutor + e +. + da onde é a região compreendida pelas retas,,
ATENÇÃO: O 2 ō Teste corresponde às perguntas 5 a 10. Resolução abreviada. 1. Seja f(x,y) = a) Determine o domínio de f e a respectiva fronteira.
Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II 2 ō Teste/ ō Exame - de Janeiro de 2 Duração: Teste - h3m ; Exame - 3h Apresente e justifique
Integrais Múltiplos. Slide 1. c 2000, 1998 Maria Antónia Carravilla FEUP
Integrais Múltiplos Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 2 c 2000, 1998 Integrais Múltiplos 1 Integrais Duplos Generalização do conceito de integral a subconjuntos limitados
MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 1a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de x+y
MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III a. Lista de Exercícios - o. semestre de. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) R (y 3xy 3 )dxdy, onde R = {(x, y) : x, y 3}. Resp. (a) 585
Primeira avaliação - MAT MATEMÁTICA APLICADA II - Turma A
Primeira avaliação - MAT1168 - MATEMÁTICA APLICADA II - Turma A Nome: Cartao: Regras a observar: eja sucinto porém completo. Justifique todo procedimento usado. Use notação matemática consistente. Ao usar
Integral de linha de campo vectorial. Sejam : C uma curva dada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)), com. e F : Dom( F ) R 3 R 3
Integral de linha de campo vectorial Sejam : C uma curva dada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)), com t [a, b]. e F : Dom( F ) R 3 R 3 F = (F 1, F 2, F 3 ) um campo vectorial contínuo cujo Dom( F ) contem todos
Lista Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies descritas abaixo e calcule
UFPR - Universidade Federal do Paraná etor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM139 - Cálculo III Turma A Prof. Zeca Eidam Lista 2 uperfícies parametrizadas 1. Determine uma representação paramétrica
Integrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: x 2 y 2 dxdy; (a) (b) e x+y dxdy; (c) x 1+y 3 dydx; (d)
Integrais uplas Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas epartamento de Matemática Sexta Lista de Exercícios MAT 4 - Cálculo iferencial e Integral III - 7/I Em cada caso,
Cálculo Diferencial e Integral II Resolução do Exame/Teste de Recuperação 02 de Julho de 2018, 15:00h - versão 2 Duração: Exame (3h), Teste (1h30)
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II do Exame/Teste de Recuperação 2 de Julho de 218, 15:h - versão 2 Duração: Exame (3h),
Geometria Diferencial
Geometria Diferencial Exercícios sobre curvas planas e espaciais - 2007 Versão compilada no dia 20 de Setembro de 2007. Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(a)uel(pt)br Matemática
(a) Determine a velocidade do barco em qualquer instante.
NOME: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Instituto de Matemática PRIMEIRA PROVA UNIFICADA CÁLCULO II Politécnica, Engenharia Química - 10/10/2013. 1 a QUESTÃO : Um barco a vela de massa m = 1 parte
ANÁLISE MATEMÁTICA III CURSOS: LEAB, LEB, LEMG, LEMAT, LEN, LEQ, LQ. disponível em acannas/amiii
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 9// ANÁLISE MATEMÁTICA III CURSOS: LEAB, LEB, LEMG, LEMAT, LEN, LEQ, LQ PROPOSTA DE) RESOLUÇÃO DA
Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área I
UFRG INTITUTO E MATEMÁTIA epartamento de Matemática Pura e Aplicada MAT01168 - Turma A - 2017/1 Prova da área I 1-8 9 10 Total Nome: artão: Regras Gerais: Não é permitido o uso de calculadoras, telefones
Solução: Um esboço da região pode ser visto na figura abaixo.
Instituto de Matemática - IM/UFRJ Gabarito prova final - Escola Politécnica / Escola de Química - 29/11/211 Questão 1: (2.5 pontos) Encontre a área da região do primeiro quadrante limitada simultaneamente
Exercícios resolvidos P3
Exercícios resolvidos P3 Questão 1 Calcule a área da superfície obtida pela revolução da curva α(t) (R cos t,, R sin t + a), t [, 2π], < R < a, em torno do eixo x. Esta superfície é chamada de Toro. Resposta:
Analise Matematica III A - 1 o semestre de 2006/07 FICHA DE TRABALHO 6 - RESOLUC ~AO
ecc~ao de Algebra e Analise, Departamento de Matematica, Instituto uperior Tecnico Analise Matematica III A - o semestre de 6/7 FIHA DE TRABALHO 6 - REOLU ~AO ) Indique se as formas diferenciais seguintes
Lista 6: Área e Integral de Superfície, Fluxo de Campos Vetoriais, Teoremas de Gauss e Stokes
MAT 00 2 ō em. 2017 Prof. Rodrigo Lista 6: Área e Integral de uperfície, Fluo de Campos Vetoriais, Teoremas de Gauss e tokes 1. Forneça uma parametrização para: a a porção do cilindro 2 + y 2 = a 2 compreendida
(b) a quantidade de cloro no tanque no instante t;
NOME: Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemtica Departamento de Mtodos Matemticos Gabarito da a Prova de Cálculo II - 06//0 a QUESTÃO : Um tanque possui 0 litros de solução com cloro
Questão 1. (3,0 pontos)
ESOLA DE IÊNIAS E TENOLOGIA UFN TEEIA POVA DE ÁLULO 2 ET 22 Turma 2 27//24 Prof. onaldo Nome Legível: Assintatura: Instruções: Q. Leia todas as instruções antes de qualquer outra coisa. 2. Q2 A resolução
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III Capítulo 1 Vetores no Rn 1. Sejam u e v vetores tais que e u v = 2 e v = 1. Calcule v u v. 2. Sejam u
Cálculo IV EP2 Tutor
Eercício : Calcule + e +. Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP Tutor da
y dx + (x 1) dy (a) Primeiramente encontremos uma parametrização para a curva m = (8 + 8 cos t)(2)dt = 16π + 16sen t = 16π
MAT 2455 álculo Diferencial e Integral para Engenharia III Prova 2 14/5/213 Turma A Questão 1. a) 1, ponto) Um o tem o formato da curva {x, y) R 2 : x 2) 2 + y 2 = 4, y }. Se sua densidade de massa é dada
1 Aproximação Polinomial
1 Aproximação Polinomial 1. (a) Determine o polinómio de Taylor de log(1+x) de grau n no ponto a =. Considere log(1 + x) = x dt 1+t e siga o tratamento dado à função arctg(x) nas aulas teóricas. (b) Calcule
TÓPICO. Fundamentos da Matemática II INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA10. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
INTEGAÇÃO MÚLTIPLA TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II. Introdução. Integrais Duplas.3 Propriedades das Integrais Duplas.4 Cálculo de Integrais Duplas.5 Integrais duplas em regiões
Cálculo Diferencial e Integral II
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Exame/Teste de Recuperação v2-8h - 29 de Junho de 215 Duração: Teste - 1h3m; Exame -
MAT1153 / LISTA DE EXERCÍCIOS : CAMPOS CONSERVATIVOS, INTEGRAIS DE LINHA, TRABALHO E TEOREMA DE GREEN
MAT1153 / 2008.1 LISTA DE EXERCÍCIOS : CAMPOS CONSERVATIVOS, INTEGRAIS DE LINHA, TRABALHO E TEOREMA DE GREEN OBS: Faça os exercícios sobre campos conservativos em primeiro lugar. (1 Fazer exercícios 1:(c,
Derivadas Parciais - parte 1. 1) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Terceira Lista de Exercícios Cálculo II - Engenharia de Produção ( extraída do livro C ÁLCULO - vol 2 James Stewart ) Derivadas Parciais - parte 1 1) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da
x n+1 = 1 2 x n (2 valores) Considere a equação recursiva no modelo de Fisher, Wright e Haldane
.9.8.7.6.5.4.3.2.1 1 22/11/211 1 o teste A41N1 - Análise Matemática - BIOQ Nome... N o... 1. (2 valores) Calcule a soma da série 9 1 + 9 1 + 9 1 +... 9 1 + 9 1 + 9 1 + = 9 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 «1 +... =
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. Exercícios de. Análise Matemática II
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Exercícios de Análise Matemática II Maria Margarida Ferreira Maria do Rosário de Pinho Maria Antónia Carravilla Fevereiro de 2000 1 Aproximação Polinomial
Ney Lemke. Departamento de Física e Biofísica
Revisão Matemática Ney Lemke Departamento de Física e Biofísica 2010 Vetores Sistemas de Coordenadas Outline 1 Vetores Escalares e Vetores Operações Fundamentais 2 Sistemas de Coordenadas Coordenadas Cartesianas
ANÁLISE MATEMÁTICA III TESTE 2-9 DE JUNHO DE apresente e justifique todos os cálculos duração: hora e meia (19:00-20:30)
Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise ANÁLIE MATEMÁTICA III TETE - VERÃO A 9 DE JUNHO DE apresente e justifique todos os cálculos duração: hora e meia (9: - :3
Mudança de variável na integral dupla(continuação)
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 7 Assunto: Mudança de Variável na Integral Dupla e Coordenadas Polares Palavras-chaves: mudança de variável, integrais duplas, coordenadas
Lista Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies descritas abaixo e calcule
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II (Turma B) Prof. José Carlos Eidam Lista 4 Superfícies parametrizadas 1. Determine uma representação paramétrica de cada
Integral Dupla. Aula 06 Cálculo Vetorial. Professor: Éwerton Veríssimo
Integral Dupla Aula 06 Cálculo Vetorial Professor: Éwerton Veríssimo Integral Dupla Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas
Resumo com exercícios resolvidos do assunto:
www.engenhariafacil.weebly.com Resumo com exercícios resolvidos do assunto: (I) (II) (III) (IV) Derivadas Parciais; Plano Tangente; Diferenciabilidade; Regra da Cadeia. (I) Derivadas Parciais Uma derivada
Cálculo III-A Lista 8
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Lista 8 Eercício : Um objeto percorre uma elipse 4 +5 no sentido anti-horário e se
Nome Cartão Turma Chamada
UFG Instituto de Matemática 215/2 POVA 2 16 de outubro de 215 8h3 1 2 3 4 5 81 3 y 811 onsidere a integral dupla iterada I = f(x,y)dxdy, em que o integrando é dado por f(x,y) = 4x y 2 x 2. 1. Determine
Aula 6. Doravante iremos dizer que r(t) é uma parametrização da curva, e t é o parâmetro usado para descrever a curva.
Curvas ou Funções Vetoriais: Aula 6 Exemplo 1. Círculo como coleção de vetores. Vetor posição de curva: r(t) = (cos t, sen t), t 2π r(t) pode ser vista como uma função vetorial: r : [, 2π] R R 2 Doravante
Cálculo Diferencial e Integral II
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho 1 (versão de 6/0/009 (Esboço de Conjuntos. Topologia. Limites. Continuidade
Integrais triplas UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 28. Assunto: Integrais Triplas
Assunto: Integrais Triplas UNIVRSIDAD FDRAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJTO NWTON AULA 8 Palavras-chaves: integração, integrais triplas, volume, teorema de Fubini, soma de Riemann Integrais triplas Assim como
Notas de Aulas de Cálculo III. Prof. Sandro Rodrigues Mazorche. Turmas: A e C
Notas de Aulas de Cálculo III Prof. Sandro Rodrigues Mazorche 1 o semestre de 2015 Turmas: A e C Capítulo 1: Integral Dupla 1.1 Definição: Vamos considerar uma função z = f(x, y) definida em uma região
2.1 Mudança de variáveis em integral dupla
! "! # $! % & #! ' ( $ Objetivos. Os objetivos desta Aula são: apresentar a ideia de mudança de variáveis no plano para calcular integrais duplas; usar as coordenadas polares para calcular a integral dupla