Notas de Aulas de Cálculo III. Prof. Sandro Rodrigues Mazorche. Turmas: A e C

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1 Notas de Aulas de Cálculo III Prof. Sandro Rodrigues Mazorche 1 o semestre de 2015 Turmas: A e C

2 Capítulo 1: Integral Dupla 1.1 Definição: Vamos considerar uma função z = f(x, y) definida em uma região fechada e limitada R do plano XoY.

3 Considere R k R. Em cada retângulo escolhendo (x k, y k ) R k. Soma de Riemann de z = f(x, y) sobre R é dada por, n k=1 f(x k, y k ) A k onde A k = x k y k é a área de R k. Tomando R k cada vez menores, de tal forma que a diagonal máxima dos retângulos R k tende a zero quando n. Nessa situação, se lim n n k=1 f(x k, y k ) A k existe, ele é chamado integral dupla de f(x, y) sobre a região R.

4 Denotamos R f(x, y)da ou R f(x, y)dxdy Observações: a) A região R é chamada região de integração. b) O limite deve ser independente da escolha das retas que subdividem a região R e dos pontos. c) A existência do limite depende da função f e também de R. No curso vamos supor que R é formado por um número finitos de arcos de curvas suaves e que f é contínua sobre R.

5 1.2 Interpretação Geomêtrica da Integral Dupla: Quando f(x, y) > 0, a R f(x, y)dxdy nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x, y), inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.

6 1.3 Propriedades da Integral Dupla: a) b) R Kf(x, y)da = K R f(x, y)da, para todo K real. R [f(x, y) ± g(x, y)] da = R f(x, y)da ± c) Se f(x, y) g(x, y) em R, então d) Se f(x, y) 0 em R, então R R R f(x, y)da f(x, y)da 0. g(x, y)da. R g(x, y)da. e) Se a região R é composta de suas sub-regiões R 1 e R 2, R = R 1 R 2, que não tém pontos em comum, exceto possivelmente os pontos de suas fronteiras, então R f(x, y)da = R 1 f(x, y)da + R 2 f(x, y)da.

7 Teorema de Fubini: Se a função z = f(x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] [c, d], então a integral dupla de f sobre R pode ser obtida através de integrais iteradas, ou seja: R f(x, y)da = b a [ d c f(x, y)dy ] dx = d c [ b a f(x, y)dx ] dy.

8 1.4 Cálculo da Integral Dupla: Todas as regiões que consideraremos serão de tipo I, de tipo II, ou então poderão ser divididas num número finito de sub-regiões, cada uma das quais é de tipo I ou II. Região do Tipo I: R = {(x, y) IR 2 a x b e f 1 (x) y f 2 (x)} Região do Tipo II: R = {(x, y) IR 2 c y d e g 1 (y) x g 2 (y)}

9 Teorema: Seja f uma função definida e contínua num subconjunto limitado e fechado R IR 2. Se R é uma região do Tipo I, então R f(x, y)da = b a [ f2 (x) f 1 (x) f(x, y)dy ] dx Se R é uma região do Tipo II, então R f(x, y)da = d c [ g2 (y) g 1 (y) f(x, y)dx ] dy as integrais do lado direito das igualdades são chamadas de integrais iteradas.

10 Exemplo 1: Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 x y, inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e y = 1 4 x e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.

11 Exemplo 2: Calcular a integral R (x + y)da onde R é a região limitada por y = x 2 e y = 2x.

12 Exemplo 3: Calcular a integral x e y2 dydx.

13 Exemplo 4: Calcular a integral R y sin(x y)da onde R é a região delimitada por x = 0, y = π 2 e x = y.

14 Exemplo 5: Descrever a região de integração da integral x 2 f(x, y)dydx e inverta a ordem de integração. 4 x2

15 Exemplo 6: Calcular R xyda onde R é o triângulo OAB da figura abaixo.

16 Mudança de variáveis em Integrais Duplas Por meio de uma mudança de variáveis, (1) { x = x(u, v) y = y(u, v), uma integral dupla sobre uma região R do plano x y pode ser transformada em uma integral dupla sobre uma região R do plano u v. A correspondência entre as reigiões R e R é bijetora, e podemos retornar de R para R pela transformação inversa, (2) { u = u(x, y) v = v(x, y).

17 Teorema MV: Considere g uma aplicação definida por (1), g(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), onde x e y são funções de classe C 1 num subconjunto aberto U IR 2. Seja R um subconjunto limitado e fechado contido em U tal que (i) g é injetora em R (ii) o determinante Jacobiano da aplicação g, (x,y) (u,v) x = u y u x v y v, nunca se anula em R. Se f é integrável em g(r ), então g(r ) f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) R (x, y) (u, v) dudv.

18 Casos especiais de mudança de variáveis. (1) Mudança linear: Consideremos a transformação linear g definida pelas equações { x = au + bv y = cu + dv, onde a, b, c e d são constantes reais. O determinante Jacobiano desta transformação é dado por (x, y) (u, v) = a c b d = ad bc. Quando ad bc = 0, a aplicação g é injetora em IR 2 e pelo Teorema MV g(r ) f(x, y)dxdy = f(au + bv, cu + dv) ad bc dudv. R

19 Exemplo 7: Calcule R (x y)dxdy, sendo R o paralelogramo limitado pelas retas x y = 0, x y = 1, y = 2x e y = 2x 4.

20 Exemplo 8: Calcule R e y x y+xdxdy, onde R é a região triangular limitada pela reta x + y = 2 e os eixos coordenados.

21 (2) Mudança Coordenadas Polares: Consideremos a transformação g definida pelas equações { x(r, θ) = r cos(θ) y(r, θ) = r sin(θ), onde r 0 e θ varia num intervalo da forma [θ 0, θ 0 + 2π). O determinante Jacobiano desta transformação é dado por (x,y) (r,θ) = cos(θ) r sin(θ) sin(θ) r cos(θ) = r. Do Teorema MV temos g(r ) f(x, y)dxdy = rf(r cos(θ), r sin(θ))drdθ. R

22 Exemplo 9: Calcular origem e raio 2. R x 2 + y 2 dxdy, sendo R o círculo de centro na

23 Exemplo 10: Calcular R ex2 +y 2 dxdy, onde R é a região do plano x y delimitada por x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9.

24 Exemplo 11: Calcular R (x + y)dxdy, onde R é a região delimitada: (1) x 2 + y 2 ax = 0, a > 0.

25 (2) x 2 + y 2 ay = 0, a > 0.

26 Exemplo 12: Calcular R x 2 + y 2 dxdy, sendo R a região limitada pelas curvas x 2 + y 2 = 2x, x 2 + y 2 = 4x, y = x e y = 3 3 x.

27 Exemplo 13: Calcular R [(x 2)2 + (y 2) 2 ]dxdy, onde R é a região delimitada pela circunferência (x 2) 2 + (y 2) 2 = 4.

28 Exemplo 14: Calcular R (x2 + y 2 )dxdy, onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles x 2 y 2 = 1, x 2 y 2 = 9, xy = 2 e xy = 4.

29 Aplicações da Integral Dupla (1) Cálculo de volume: Vimos que, para f(x, y) 0, a integral R f(x, y)da nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x, y), inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.

30 Exemplo 15: Calcular o volume do sólido acima do plano x y delimitado por z = 4 2x 2 2y 2.

31 Exemplo 16: Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado por y + z = 2 e pelo cilindro que contorna a região delimitada por y = x 2 e x = y 2.

32 Exemplo 17: Calcular o volume do sólido abaixo do plano x y delimitado por z = x 2 + y 2 9.

33 Exemplo 18: Calcular o volume do sólido delimitado por z = 2x 2 + y 2 ez = 4 2x 2 y 2.

34 Exemplo 19: Calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros x 2 + y 2 = 16 e x 2 + z 2 = 16.

35 Exemplo 20: Calcular o volume do tetraedro dado pela figura abaixo.

36 (2) Cálculo de áreas de regiões planas: Se f(x, y) = 1 na região R então a integral R da nos dá a área da região de integração R. Se temso uma região do Tipo I, como mostra na figura acima, podemos escrever A = R da = b a f2 (x) f 1 (x) dydx = b a [f 2(x) f 1 (x)]dx

37 Exemplo 21: Calcular a área da região R delimitada por x = y e x + y = 3.

38 Exemplo 22: Calcular a área da região R delimitada por y = x 3, y = x e y = 2 3 x

39 Exemplo 23: Usando integral dupla, mostre que a área da região R delimitada por uma elipse com semi-eixos a e b é πab unidades de área.

40 (3) Aplicações físicas: Consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região R do plano e assumamos que a massa está distribuída sobre esta lâmina com densidade conhecida( f(x, y) 0 em R ). (i) A massa total da lâmina é: M = R f(x, y)da (ii) O momento de massa em relação ao eixo x é: M x = (iii) O momento de massa em relação ao eixo y é: M y = R R yf(x, y)da xf(x, y)da (iv) O centro de massa, (x, y), é definido por x = M y M e y = M x M. Quando a densidade é constante, f(x, y) = k em R, o centro de massa (x, y) é chamada centóide da lâmina(ou da região R).

41 Se L é uma reta no plano da lâmina R, seja d(x, y) a distância do ponto (x, y) em R à reta L. O número I L = R d2 (x, y)f(x, y)da, onde f(x, y) é a densidade, é chamado de momento de inércia da lâmina em relação à reta L. (i) Momento de inércia em relação ao eixo x: I x = (ii) Momento de inércia em relação ao eixo y: I y = (iii) Momento de inércia polar: I o = R (x2 + y 2 )f(x, y)da R y2 f(x, y)da R x2 f(x, y)da

42 Exemplo 24: Determinar o centro de massa de uma chapa homogênea formada por um quadrado de lado 2a, encima por um triângulo isósceles que tem por base o lado 2a do quadrado e por altura a.

43 Exemplo 25: Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos y da chapa desenhada na figura abaixo, sabendo que a densidade de massa é igual a xy kg/m 2.

44 Capítulo 2: Integrais Triplas 2.1 Definição: Seja w = f(x, y, z) uma função definida e contínua em uma região fechada e limitada T do espaço. Subdividimos T em pequenas subregiões traçando planos paralelos coordenados. Se existe lim n n k=1 f(x k, y k, z k ) V k, ele é chamado integral tripla da finção f(x, y, z) sobre a região T e o representamos por T fdv ou T f(x, y, z)dxdydz.

45 2.3 Propriedades da Integral Tripla: a) T KfdV = K fdv, para todo K real. T b) T T [f ± g]dv = fdv ± gdv. T c) Se f g em T, então T fdv gdv. T d) Se a região T é composta de suas sub-regiões T 1 e T 2, T = T 1 T 2, então T fdv = T 1 fdv + T 2 fdv.

46 2.3 Cálculo da Integral Tripla: 1 o Caso A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico da função z = h 1 (x, y) e superiormente pelo gráfico de z = h 2 (x, y), onde h 1 e h 2 são funções contínuas sobre a região R do plano x y, como mostra a figura. ( R : { f1 (x) y f 2 (x) a x b ) T fdv = [ ] h2 (x,y) f(x, y, z)dz dxdy = R h 1 (x,y) b f2 (x) h2 (x,y) a f 1 (x) h 1 (x,y) f(x, y, z)dzdydx

47 2 o Caso: A região T é delimitada à esquerda pelo gráfico de y = p 1 (x, z) e à direita pelo gráfico de y = p 2 (x, z), onde p 1 e p 2 são funções contínuas sobre a região R do plano x z, como mostra a figura. ( R : { f1 (x) z f 2 (x) a x b ) T fdv = [ ] p2 (x,z) f(x, y, z)dy dxdz = R p 1 (x,z) b f2 (x) p2 (x,z) a f 1 (x) p 1 (x,z) f(x, y, z)dydzdx

48 3 o Caso: A região T é delimitada na parte de trás pelo gráfico de x = q 1 (y, z) e na frente pelo gráfico de x = q 2 (y, z), onde q 1 e q 2 são funções contínuas sobre a região R do plano y z, como mostra a figura. ( R : { f1 (y) z f 2 (y) c y d ) T fdv = [ ] q2 (y,z) f(x, y, z)dx dydz = R q 1 (y,z) d f2 (y) q2 (y,z) c f 1 (y) q 1 (y,z) f(x, y, z)dxdzdy

49 Exemplo 26: Calcular I = T fdv, onde T é o sólido delimitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 25, pelo plano x + y + z = 8 e pelo plano x y.

50 Exemplo 27: Calcular I = T fdv, onde T e a região delimitada pelos planos coordenados e pelo plano x 3 + y 2 + z = 1.

51 Exemplo 28: Calcular I = T dv, onde T é a reigão delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 = 3z.

52 Exemplo 29: Calcular I = T (x 1)dV, onde T é a reigão do espaço delimitada pelos y = 0, z = 0, y + z = 5 e pelo cilindro parabólico z = 4 x 2.

53 2.4 Mudança de variáveis em Integral Tripla: De forma análoga à apresentada para as integrais duplas. podemos introduzir novas variáveis de integração na integral tripla T f(x, y, z)dxdydz. Introduzindo novas variáveis de integração u, v, w por meio das equações x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = z(u, v, w), a integral acima pode ser expressa por f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) T (x, y, z) (u, v, w) dudvdw onde T é a correspondente região no espaço u, v, w e (x,y,z) (u,v,w) é o determinante jacobiano de x, y, z em relação a u, v e w.

54 Cálculo de uma Integral Tripla em coordenadas ciĺındricas: As coordenadas ciĺındricas de um ponto P no espaço, de coordenadas cartesianas (x, y, z), são determinadas pelos números r, θ e z, onde r e θ são as coordenadas polares da projeção de P sobre o plano x y. A relação entre as coordenadas ciĺındricas e cartesianas é dada pelas equações x = r cos(θ) y = r sin(θ) z = z.

55 O jacobiano de x, y, z em relação às novas variáveis r, θ e z é: (x, y, z) (u, v, w) = cos(θ) r sin(θ) 0 sin(θ) r cos(θ) = r. Assim, T f(x, y, z)dxdydz = f(r cos(θ), r sin(θ), z)rdrdθdz T onde T é a região T descrita em coordenadas ciĺındricas. Se a região T se enquadra no 1 o caso então R [ g2 (r,θ) g 1 (r,θ) f(r cos(θ), r sin(θ), z)rdz ] drdθ. a) g 1 e g 2 são as superfícies que delimitam T inferior e superiormente. b) R é a projeção de T sobre o plano x y descrita em coordenadas polares.

56 Exemplo 30: Calcular I = T (x2 + y 2 )dv, onde T é a reigão delimitada pelo plano x y, pelo paraboloíde z = x 2 + y 2 e pelo cilindro x 2 + y 2 = a 2.

57 Exemplo 31: Calcular I = T dv, sendo T a porção da esfera x2 + y 2 + z 2 = a 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = ay.

58 Exemplo 32: Escrever, na forma de uma soma de integrais iteradas duplas, a integral I = T dv, onde T é a região inferior à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e exterior ao cone z 2 = x 2 + y 2.

59 Cálculo de uma Integral Tripla em coordenadas esféricas: As coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de um ponto P (x, y, z) no espaço são ilustradas na Figura abaixo. A coordenada ρ é a distância do ponto P até a origem; A coordenada θ é a mesma que em coordenadas ciĺındricas; A coordenada φ é o ângulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento que une o ponto P à origem; x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ) e z = ρ cos(φ).

60 O jacobiano de (x, y, z) (ρ, θ, φ) = Assim, T f(x, y, z)dxdydz = (x, y, z) (ρ, θ, φ) é: sin(φ) cos(θ) ρ sin(φ) sin(θ) ρ cos(θ) cos(θ) sin(φ) sin(θ) ρ sin(φ) cos(θ) ρ cos(φ) sin(θ) cos(φ) 0 ρ sin(φ) = ρ 2 sin(φ). T f(ρ sin(φ) cos(θ), ρ sin(φ) sin(θ), ρ cos(φ))ρ 2 sin(φ)dρdφdθ onde T é a região de integração T descrita em coordenadas esféricas.

61 Exemplo 33: Calcular I = z 2 a 2. T xdv, onde T é a esfera sólida x2 + y 2 +

62 Exemplo 34: Calcular I = T zdv, onde T é a região limitada superiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e inferiormente pelo cone z = x 2 + y 2.

63 Exemplo 35: Calcular I = T x 2 + y 2 + z 2 dv, onde T é a coroa esférica limitada por x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4.

64 Exemplo 36: Descrever, em coordenadas esféricas, o sólido T limitado inferiormente pelo plano x y, superiormente pelo cone φ = π 6 e lateralmente pelo cilindro x 2 + y 2 = a 2. Escrever na forma de uma integral iterada tripla I = T x2 + y 2 + z 2 dv.

65 2.5 Aplicações: (1) Volume: O cálculo de volume de um corpo T ou sólido delimitado por uma região fechada e limitada no espaço é dado pela integral V (T ) = T dv. Exemplo 37: Calcular o volume do sólido T delimitado por y = 0, z = 0, y + z = 5 e z = 4 x 2.

66 Exemplo 38: Calcular o volume do sólido delimitado inferiormente por z = 3 y 2, superiormente por z = 6 e lateralmente pelo cilindro vertical que contorna a região R delimitada por y = x 2 e y = 4.

67 Exemplo 39: Encontrar o volume do sólido limitado acima pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e abaixo pelo cone 3z 2 = x 2 + y 2.

68 (2) Aplicações físicas: Seja T um corpo ou sólido delimitado por uma região fechada e limitada do espação. Vamos supor que a densidade de massa em um ponto (x, y, z) é dada pela função δ = δ(x, y, z), contínua em T. (i) A massa total do corpo é: M = T δ(x, y, z)dv (ii) O momento de massa em relação ao plano x z é: M xz = (iii) O momento de massa em relação ao plano y z é: M yz = (iv) O momento de massa em relação ao plano x y é: M xy = T T T yδ(x, y, z)dv xδ(x, y, z)dv zδ(x, y, z)dv (v) O centro de massa, (x, y, z), é definido por x = M yz M, y = M xz M e z = M xy M.

69 Outro conceito, já discutido para integrais duplas é o de momento de inércia em relação a um eixo L. De forma análoga temos os momentos de inércia correspondentes dados por: (i) Momento de inércia em relação ao eixo x: I x = (ii) Momento de inércia em relação ao eixo y: I y = (iii) Momento de inércia em relação ao eixo z: I z = T T T (y 2 +z 2 )δ(x, y, z))dv (x 2 +z 2 )δ(x, y, z))dv (x 2 +y 2 )δ(x, y, z))dv

70 Exemplo 40: Calcular a massa e o centro de massa do sólido T, delimitado por 2x+y+z = 1 e os planos coordenados, sabendo que a densidade de massa em P (x, y, z) é proporcional à distância até o plano x y.

71 Exemplo 41: Um sólido tem a forma da região delimitada pelo parabolóide z = 1 x 2 y 2 e o plano x y. A densidade em P (x, y, z) é proporcional à distância de P até a origem. Escrever as integrais usadas para calcular as coordenadas do centro de massa.

72 Exemplo 42: Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 9 e pelos planos z = 2 e z = 4, sabendo que a densidade de massa é igual a (x 2 + y 2 )kg/m 3.

73 Capítulo 3: Funções Vetoriais e Curvas 3.1 Definição: Chamamos de função vetorial de uma variável real t, definida em um intervalo I, a função que a cada t I associa um vetor f do espaço. Denotamos f = f(t). Por exemplo, em IR 3 o vetor f pode ser escrito como f(t) = f 1 (t) i + f 2 (t) j + f 3 (t) k.

74 Exemplo 43: Encontrar a função vetorial f(t) que expressa o movimento de uma partícula na posição P (f 1 (t), f 2 (t)) no tempo t.

75 Operações com funções vetoriais: Dadas as funções vetoriais f(t) = f 1 (t) i + f 2 (t) j + f 3 (t) k e g(t) = g 1 (t) i + g 2 (t) j + g 3 (t) k, definidas para t I, podemos definir novas funções vetoriais como segue: a) h(t) = f(t) ± g(t) = (f 1 (t) ± g 1 (t)) i + (f 2 (t) ± g 2 (t)) j + (f 3 (t) ± g 3 (t)) k. b) w(t) = f(t) g(t) = i j k f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t) g 1 (t) g 2 (t) g 3 (t) c) v(t) = p(t). f(t) = p(t)f 1 (t) i + p(t)f 2 (t) j + p(t)f 3 (t) k, onde p(t) é uma. função real definida em I. Também podemos definir uma função real por meio do produto interno: h(t) = f(t) g(t) = f 1 (t)g 1 (t) + f 2 (t)g 2 (t) + f 3 (t)g 3 (t).

76 Exemplo 44: Dadas as funções vetoriais f(t) = t i+t 2 j+5 k e g(t) = t 3 i+ j e a função h(t) = t 2 1, determinar: a) f(t) + g(t) b)2 f(t) g(t) c) f(t) g(t) d) [h(t) f(t)] g(t) e) f( 1 a ) + g(1 a ) para a 0.

77 Limite e Continuidade: Definição f = f(t) uma função vetorial definida em um intervalo aberto I, contendo t 0, exceto possivelmente no próprio t 0. Dizemos que o limite de f(t) quando t aproxima-se de t 0 é a e escrevemos lim f(t) = a, t t 0 se para todo ɛ > 0, existe δ > 0, tal que f(t) a < ɛ sempre que 0 < t t 0 < δ.

78 Proposição: Sejam f(t) = f 1 (t) i + f 2 (t) j + f 3 (t) k e a = a 1 i + a 2 j + a 3 k. O lim t t0 f(t) = a se, e somente se, lim t t0 f i (t) = a i i = 1, 2, 3. Propriedades: Sejam f(t) e g(t) duas funções vetoriais e h(t) uma função real, definidas em um mesmo intervalo. Se lim t t0 f(t) = a, lim t t0 g(t) = b e lim t t0 h(t) = m, então: a) lim t t0 [ f(t) ± g(t)] = a ± b; c) lim t t0 f(t) g(t) = a b; b) lim t t0 f(t) g(t) = a b d) lim t t0 h(t) f(t) = m a Definição: Uma função vetorial f = f(t), definida em um intervalo I, é contínua em t 0 I, se lim t t0 f(t) = f(t0 ). Segue que f(t) é contínua em t 0 se, e somente se, suas componentes são funções contínuas em t 0.

79 Exemplo 45: Calcule: a) lim t [t 2 i + (t 2 1) j + 2 k]; 2 b) lim[ sin(t) i + t j]; t 0 t c) lim t 0 f(t) e lim t 2 (t 2 4t + 4) f(t), onde f(t) = a+2 b t 2, a = i e b = 2 j k.

80 Exemplo 46: Sejam f(t) = t i + 2t 2 j + 3t 3 k e g(t) = 3t i 2 j + 4t 2 k. a) lim t 1 [ f(t) + g(t)]; b) lim t 1 [ f(t) g(t)]; c) lim t 1 [ f(t) g(t)];

81 Exemplo 47: Verificar se a função f(t) = sin(t) i + cos(t) j + k é contínua em t 0 = π. Exemplo 48: Verificar se a função g(t) = { sin(t) t i + j t 0 2 i + j t = 0 é contínua em t 0 = 0. Exemplo 49: Indicar os intervalos de continuidades das seguintes funções: a) g(t) = 1 t i + t 2 j; b) h(t) = ln(t) j + 2 k.

82 Curvas: Definição: Dada uma função vetorial contínua f(t) = f 1 (t) i + f 2 (t) j + f 3 (t) k, t I, chamamos curva o lugar geométrico dos pontos P do espaço que têm vetor posição f(t), t I. Se f(t) é o vetor posição de uma partícula em movimento, a curva C coincide com a trajétoria da partícula.

83 Representação Paramétrica de Curvas: Sejam (1) x = x(t) y = y(t) z = z(t) funções contínuas de uma variável t, definidas para t [a, b]. As equaçõe (1) são chamadas equações paramétricas de uma curva e t é chamado parâmetro.

84 Dadas as equações paramétricas de uma curva, podemos obter uma equação vetorial para ela. Basta considerar o vetor posição r(t) de cada ponto da curva. As componentes de r(t) são precisamente as coordenadas do ponto. Escrevemos r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, a t b.

85 Definições: a) Uma curva plana é uma curva que está contida em um plano no espaço. Uma curva que não é plana chama-se curva reversa. b) Uma curva parametrizada r(t), t [a, b], é dita fechada se r(a) = r(b). c) Se a cada ponto da curva corresponde um único valor do parâmetro t (exceto quando t = a e t = b), dizemos que a curva é simples.

86 Parametrização de uma reta: dada por A equação vetorial de uma reta qualquer pode ser r(t) = a + t b, sendo a e b vetores canstantes e t um parâmetro real. Na figura podemos visualizar os vetores a e b. A reta passa pelo ponto A, que tem vetor posição a e a direção do vetor b. r(t) = (a 1 +tb 1 )) i+(a 2 +tb 2 ) j +(a 3 +tb 3 ) k as equações paramétricas da reta que passa pelo panto (a 1, a 2, a 3 ) e tem direção b 1 i + b 2 j + b 3 k são x(t) = a 1 + tb 1 ; y(t) = a 2 + tb 2 e z(t) = a 3 + tb 3.

87 Exemplo 50: Determinar uma representação paramétrica da reta que para pelo ponto A(2, 1, 1) na direção do vetor b = 2 i 3 j + k. Exemplo 51: Determinar uma representação paramétrica da reta que para por A(2, 0, 1) e B( 1, 1 2, 0).

88 Parametrização de uma circunferência: Uma equação vetorial da circunferência de raio a, com centro na origem, no plano x y, é r(t) = a cos(t) i + a sin(t) j, 0 t 2π. Quando a circunferência não está centrada na origem, a equação vetorial é dada por r(t) = r 0 + r 1 (t), onde r 0 = x 0 i + y 0 j e r 1 (t) = a cos(t) i + a sin(t) j, 0 t 2π. Portanto, nesse caso, a equação vetorial é dada por (*) r(t) = [x 0 + a cos(t)] i + [y 0 + a sin(t)] j, 0 t 2π.

89 Exemplo 52: Obter as equações paramétrica da circunferência x 2 + y 2 6x 4y + 4 = 0 no plano z = 3. Exemplo 53: A equação vetorial r(t) = 2 i + 3 cos(t) j + 3 sin(t) k representa uma circunferência. Determinar a correspondente equação cartesiana.

90 Parametrização de uma elipse: Uma equação vetorial de uma elipse, no plano x y, com centro na origem e eixos nas direções x e y é r(t) = a cos(t) i + b sin(t) j, 0 t 2π. Se a elipse estiver centrada em (x 0, y 0 ) e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados, sua equação vetorial é r(t) = r 0 + r 1 (t), onde r 0 = x 0 i + y 0 j e r 1 (t) = a cos(t) i + b sin(t) j, 0 t 2π. Portanto, nesse caso, a equação vetorial é dada por (*) r(t) = [x 0 + a cos(t)] i + [y 0 + b sin(t)] j, 0 t 2π.

91 Exemplo 54: Escrever uma equação vetorial da elipse 9x 2 + 4y 2 = 36, no plano x y. Exemplo 55: Escrever uma equação vetorial para a elipse da figura abaixo.

92 Parametrização de uma hélice circular: A hélice circular é uma curva reversa. Ela se desenvolve sobre a superfície ciĺındrica x 2 + y 2 = a 2. Consideremos parte da superfí cil{indrica x 2 + y 2 = a 2, como na figura abaixo Dessa forma, escrevemos z(t) = x(t) = a cos(t) y(t) = a sin(t), onde θ é o ângulo agudo P Q = AN tan(θ) = at tan(θ) BÂC. Podemos fazer tan(θ) = m e escrever a equação vetorial da hélice circular como: r(t) = a cos(t) i + a sin(t) j + amt k

93 Parametrização de outras curvas Como vimos uma curva pode ser representada por equações paramétricas ou por uma equação vetorial. Existem outras formas de representação de uma curva: (*) gráfico de uma função contínua y = f(x) representa uma curva no plano x y. (**) A intersecção de duas superfícies representa, em geral, uma curva no plano ou no espaço.

94 Exemplo 56: Escrever uma equação vetorial para y = 5x + 3 no plano z = 2. Exemplo 57: A intersecção entre superfícies z = x 2 + y 2 e z = 2 + y determina uma curva. Escrever uma equação vetorial dessa curva.

95 Exemplo 58: Representar parametricamente a curva dada pela intersecção das superfícies x + y = 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 2(x + y). Exemplo 59: Representar graficamente as curvas C, dadas por: (a) f(t) = t i + t j (t 2 4) k (b) g(t) = t 2 i + t 2 j + 3 k (c) h(t) = 2 cos(t) i + 2 sin(t) j + 5 k

96 Derivada de uma função vetorial: Seja f(t) uma função vetorial. Sua derivada é uma função vetorial f (t), definida por f(t + t) f(t) f (t) = lim, t 0 t para todo t, tal que o limite existe. Se a deivada f (t) existe em todos os pontos de um intervalo I, dizemos que f é derivável em I. f (t) = f 1 i + f 2 j + f 3 k Geometricamente nos referimos a f (t) como sendo vetor tangente à curva C em P.

97 Interpretação física da derivada: Portanto, quando r(t) é derivável, a velocidade instantânea da partícula é dada por v(t) = r (t). Analogamente, se v(t) é derivável, a aceleração da partícula é dada por a(t) = v (t).

98 Proposição: Sejam f(t) e g(t) funções vetoriais e h(t) uma função real, deriváveis em um intervalo I. Então, para todo t I, temos: a) [ f(t) ± g(t)] = f (t) ± g (t); b) [h(t) f(t)] = h(t) f (t) + h (t) f(t); c) [ f(t) g(t)] = f (t) g(t) + f(t) g (t); d) [ f(t) g(t)] = f (t) g(t) + f(t) g (t). Derivadas sucessivas: Seja f(t) uma função vetorial derivável em um intervalo I. Sua derivada f (t) é uma função vetorial definida em I. Se f (t) é derivável em um ponto t I, a sua derivada é chamada derivada segunda de f no ponto t e é representada por f (t). Analogamente, são definidas as derivadas de ordem mais alta.

99 Exemplo 60: Dada f(t) = t i + t 2 j, determinar f (t). Esborçar a curva C descrita por f e os vetores tangentes f (1), f ( 1) e f (0). Exemplo 61: Determinar um vetor à curva C, descrita pela equação vetorial g(t) = cos(t) i + sin(t) j + k, t [0, 2π], no ponto P (0, 1, 1).

100 Exemplo 62: O vetor posição de uma partícula em movimento no plano é r(t) = t i + 1 t + 1 j, t 0. a) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração em um instante qualquer t. b) Esboçar a trjetória da partícula, desenhando os vetores velocidade no tempo t = 0 e t = 1.

101 Exemplo 63: Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segundo a lei r(t) = cos(2t) i + sin(2t) j + k. Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração ṕerpendicular ao vetor velocidade.

102 Exemplo 64: Sejam h(t) = t e f(t) = cos(t) i + sin(t) j. a) Determinar (h(t) f(t)). b) Mostrar que f (t) é ortogonal a f(t). Exemplo 65: Mostrar que f (t) é ortogonal a f(t) sempre que f(t) é uma constante.

103 Curvas Suaves: Geometricamente, uma curva suave é caracterizada pela ausência de pontos angulosos. Em cada um de seus pontos, a curva tem uma tengente única que varia continuamente quando se move sobre a curva. Geometricamente, uma curva suave é caracterizada pela ausência de pontos angulosos. Em cada um de seus pontos, a curva tem uma tangente única que varia continuamente quando se move sobre a curva. Sempre que uma curva C admite uma parametrização r(t), t I IR, que tem derivada contínua r(t) e r (t) 0, para todo t I, C é uma curva suave ou regular. Uma curva é suave por partes se puder ser dividida em um número finito de curvas suaves.

104 Orientação de uma Curva: Se um ponto material desloca-se sobre uma curva suave C, temos dois possíveis sentidos de percurso. A escolha de um deles como sentido poditivo define uma orientação na curva C. Vamos supor que a curva C seja representada por r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, t [a, b]. Convencionamos chamar de sentido positivo sobre C o sentido no qual a curva é traçda quando o parâmetro t cresce de a até b. O sentido oposto é chamado negativo sobre C. Se uma curva simples C é suave por partes, podemos orientá-la, orientando cada parte suave de C.

105 Definição: Dada uma curva orientada C, representada por r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, t [a, b]; a curva C é definida como a curva C com orientação oposta. A curva C é dada por r (t) = r(a + b t) = x(a + b t) i + y(a + b t) j + z(a + b t) k, t [a, b]. Exemplo 66: Apresentar duas parametrizações da circunferência de centro na origem e raio a onde uma é no sentido horário e outra no sentido antí-horário.

106 Exemplo 67: Parametrizar o seguimento de reta que une o ponto A(0, 0, 1) ao ponto B(1, 2, 3), no sentido de A para B. Exemplo 68: Paramerizar o segmento de reta que une o ponto (1, 2, 3) ao ponto (0, 0, 1).

107 Comprimento de Arco: Seja C uma curva dada pela equação vetorial r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, t [a, b]. Teorema: Seja C uma curva suave parametrizada por r(t), a t b. Então, l = b a r (t) dt = b a x 2 (t) + x 2 (t) + z 2 (t)dt. Se a curva é suave por partes, seu comprimento é dado pela soma das integrais definidas nos subintervalos de [a, b] nos quais a curva C é suave.

108 Exemplo 69: Encontrar o comprimento do arco da curva cuja equação vetorial é r(t) = t i + t 2 3 j, t [1, 4]. Exemplo 70: Encontrar o comprimento da hélice circular r(t) = (cos(t), sin(t), t) do ponto A(1, 0, 0) a B( 1, 0, π).

109 Função Comprimento de Arco: Na integral l = b a r (t) dt, se substituímos o limite superior b por um limite variável t, t [a, b], a integral se transforma em uma função de t, s(t) = t a r ( t) d t. A função s = s(t) é chamada função comprimento de arco e mede o comprimento de arco de C no intervalo [a, t]. Exemplo 71: Escreva a função comprimento de arco da circunferência de raio R. Exemplo 72: Encontrar a função comprimento de arco da hélice circular r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t), t).

110 Reparametrização de curvas por Comprimento de Arco: É conveniente parametrizarmos algumas curvas usando como parâmetro o comprimento de arco s. Para reparametrizarmos uma curva suave C, dada por r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, t [a, b] procedemos como segue: a) calculamos s = s(t); b) encontramos a sua inversa t = t(s), 0 s l; c) reescrevemos como h(s) = r(t(s)) = x(t(s)) i + y(t(s)) j + z(t(s)) k, s [0, l]. Temos, então, que h(s) descreve a mesma curva C que era dada por r(t), mas com uma nova parametrização, em que a variável s, 0 s l, representa o comprimento de arco de C.

111 Exemplo 73: Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva C : r(t) = (R cos(t), R sin(t)), 0 t 2π. Exemplo 74: Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada por r(t) = (e t cos(t), e t sin(t)), t 0. Exemplo 75: Dada uma curva C representada por r(t), mostrar que, se r (t) = 1, então o parâmetro t é o parâmetro comprimento de arco de C.

112 Exemplo 76: Verificar que a curva C : h(s) = ( s 5, 2s 5 ), s 0, está parametrizada pelo comprimento de arco. Exemplo 77: Seja C uma curva suave reparametrizada pelo comprimento de arco. Mostrar que se C é representada por h(s), então h (s) = 1.