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1 Análise Matemática IIC Ficha 6 - Integrais Curvilíneos de campos de vectores. Teorema de Green. Integrais de Superfície. Teorema de Stokes. Teorema da Divergência. 1. Determine o valor do integral curvilíneo do campo F (x, y, z) = xzî + xĵ + y k ao longo da linha (L), definida por: percorrida num dos sentidos. { x 2 /4 + y 2 /25 = 1 z = 2 2. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F ao deslocar uma partícula ao longo da curva C, sabendo que: (a) F (x, y, z) = xy î + 2z ĵ + (y + z) k e C é a curva associada à função vectorial r (t) = t î + t ĵ + 2t 2 k, com t [0, 1]; (b) F (x, y, z) = 5e sin(πx) î 4e cos(πx) ĵ e C é a curva associada à função vectorial r (t) = 1 2 î + 2 ĵ log(t) k, com t [0, π 6 ]; (c) F (x, y, z) = x î + y ĵ z k { x = 1 e C é a curva dada por z = y 4, percorrida desde o ponto (1, 0, 0) até ao ponto (1, 1, 1). 3. Calcule os seguintes integrais curvilíneos ao longo das curvas indicadas: (a) C x2 dy + y 2 dx onde C é a curva de equação x 2 + 4y 2 = 4 com y 0, percorrida no sentido horário; (b) C x2 dx + y 2 dy onde C é o segmento de recta [AB] com A (0, 0) e B (1, 1) percorrido de A até B; (c) C (2x2 +2xy+y 2 )dx+(x 2 +2xy+3y 2 )dy onde C é a circunferência orientada dada por com t [0, 2π]. x = R cos t y = R sin t 1

2 4. Mostre que o campo vectorial F (x, y, z) = (y sin(xy) + y 2 z)î + (x sin(xy) + 2yxz)ĵ + (xy 2 + z 2 ) k é conservativo e determine uma sua função potencial. Determine ainda o valor do integral curvilíneo do campo, ao longo duma linha suave e regular, com origem no ponto A = (0, 1, 1) e extremidade no ponto B = (1, 0, 1). 5. Verifique se os seguintes integrais curvilíneos são ou não independentes do caminho e calcule-os: (a) C (x + y)dx + (x + y3 )dy, entre os pontos (1, 1) e (2, 2); (b) C (9x2 + 4y 2 )dx + (8xy + 5y 4 )dy, ao longo do polígono de vértices (1, 0), (2, 2) e (5, 3); (c) C (x + yexy )dx + (π cos(πy) + xe xy )dy onde C é a curva orientada de equações paramétricas { x(t) = cos(πe t ) y(t) = 3 e t 1, com t [0, log 2]. 6. Determine f(x, y) tal que C y2 dx + f(x, y)dy = 0, onde C é uma curva simples e fechada do plano xoy. 7. Verifique que ( x ) xdy ydx f = 0, para qualquer contorno fechado C y x 2 C que não passe nos eixos e qualquer função f de classe C Use o Teorema de Green para calcular 1 y dx + 1 x dy, C ao longo da curva fechada C, percorrida no sentido positivo, que é a fronteira da região plana R definida por R = {(x, y) R 2 : y 1, x 4, y x}. 9. Seja C uma curva simples, fechada, percorrida no sentido positivo e fronteira de uma região plana R simplesmente conexa. Mostre que C x2 dy = 2 xdxdy. R 2

3 10. Sejam u e v funções reais de duas variáveis reais, com derivadas parciais de primeira ordem contínuas num aberto contendo a bola fechada R cuja fronteira é a circunferência de equação x 2 + y 2 = 1. Sejam F e G dois campos vectoriais definidos por F (x, y) = v(x, y)î+ u(x, y)ĵ e G(x, y) = (u x u y )î + (v x v y )ĵ. Sabendo que sobre a fronteira de R se tem u(x, y) = 1 e v(x, y) = y, prove que F. Gdxdy = π. 11. Calcule os seguintes integrais de superfície: R (a) S z2 ds e S é a porção de superfície cónica de equação z = x2 + y 2, compreendida entre os planos de equações z = 1 e z = 3; (b) S (x2 + y 2 )ds onde S é a reunião da porção de parabolóide de equação z = 1 x 2 y 2, situada acima do plano xoy, com a porção deste último plano definida pela condição x 2 + y Calcule os seguintes integrais de superfície de campos de vectores: (a) S F (x, y, z) = yî xĵ + 8 k e S é a parte do parabolóide de equação z = 9 x 2 y 2, situada acima do plano xoy e n é a normal dirigida para cima; (b) S F (x, y, z) = xî ĵ + 2x 2 k e S é a porção do parabolóide de equação z = x 2 + y 2, limitada pelas superfícies cilíndricas dadas por x = 1 y 2 e x = y 2 1 orientada com a normal n dirigida para baixo; (c) S F (x, y, z) = (2x + 1) k e S é a porção da superfície esférica de equação x 2 + y 2 + z 2 = 1, situada entre os planos dados por z = 1 e z = 1, orientada com a normal exterior unitária 2 n. 13. Calcule o fluxo de F (x, y, z) = xzî + xyĵ + yz k através da superfície S, fronteira do sólido definido por { } E = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1 y 0 0 z 1 (com r e h constantes reais positivas), estando S orientada com a normal exterior. 3

4 14. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vectorial F (x, y, z) = x 3 î + y 3 ĵ + z 3 k, através da superfície esférica de centro na origem e raio r. 15. Calcule, utilizando o teorema da divergência, os seguintes integrais de superfície (a) (b) S (x 2 î + y 2 ĵ + z 2ˆk).ˆn ds, { onde S é a superfície fronteira do sólido E dado por E = (x, y, z) } R 3 : x 2 + y 2 a 2 0 z 2, a 0, orientada com a normal unitária exterior; F. n ds, S onde F (x, y, z) = y 3 e z î xyĵ+xarctg y k e S é a fronteira do sólido limitado pelos três planos coordenados e pelo plano x + y + z = 1, orientada com a normal exterior n. 16. Sendo F (x, y, z) = xî + yĵ + z k e S a porção de parabolóide dado por x2 a + y2 2 a = z 4, com z 0 e orientada com a normal unitária 2 4 exterior n, prove que S F. n ds = 6πa Sejam E a região sólida de fronteira S, limitada pelas superfícies de equações z = 0, x 2 + y 2 = 2 e x 2 + z = 4. Consideremos o campo vectorial F (x, y, z) = e x yî + (e z 1 2 ex y 2 )ĵ + 4z k. (a) Calcule o volume de E; (b) Use o Teorema da Divergência para calcular S F. n ds, onde n é a normal unitária exterior a S. 18. Verifique o Teorema de Stokes para o campo vectorial F (x, y, z) = x 3 ĵ e sendo (S) a face exterior da superfície parabólica z = x2 + y2 com 9 25 z Considere o campo vectorial F (x, y, z) = yî + x k 4

5 (a) Utilizando directamente a definição determine o fluxo do rotacional de F (x, y, z) através da face exterior da superfície { x 2 + y 2 + z 2 = 4 z 0 (b) Determine o fluxo referido na alínea anterior por aplicação do Teorema de Stokes. 20. Usando o Teorema de Stokes, calcule S rot F (x, y, z) = 2yî + zĵ + 3 k e S é: (a) a porção de parabolóide de equação z = 1 x 2 y 2, com z 0, orientada com a normal exterior; (b) a fronteira da região sólida dada por φ = {(x, y, z) R 3 : z 1 x 2 y 2, z } 1 x 2 y 2 orientada com a normal exterior. 21. Seja F (x, y, z) = (3x + x 2 z)î + 2xyzĵ 2xz 2 k e S a porção da superfície esférica de equação x 2 + y 2 + z 2 = 3, situada no interior da superfície esférica de equação x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 1, orientada com a normal unitária exterior n. Usando o Teorema de Stokes, prove que S rot F. n ds = 0. 5

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