Integrais Múltiplos. Slide 1. c 2000, 1998 Maria Antónia Carravilla FEUP

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1 Integrais Múltiplos Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 2 c 2000, 1998

2 Integrais Múltiplos 1 Integrais Duplos Generalização do conceito de integral a subconjuntos limitados de R 2. Slide 2 Seja: R 2 limitado f : R função limitada, f(x, y) 0 S = [a, b] [c, d] R 2 tal que S. Nova função: se (x, y), g(x, y) = f(x, y) g : S R se (x, y) S \, g(x, y) = 0 Integrais Duplos Slide 3

3 Integrais Múltiplos 2 Integrais Duplos Seja P uma partição de S: P = {(x 0, y 0 ), (x 0, y 1 ),... (x 0, y m ),... (x n, y 0 ),... (x n, y m )} Slide 4 tal que a = x 0 < x 1 <... < x n = b c = y 0 < y 1 <... < y n = d Integrais Duplos Seja M ji = sup {g(x, y) : x j 1 x x j, y i 1 y y i } m ji = inf {g(x, y) : x j 1 x x j, y i 1 y y i } ssim, as somas superior e inferior relativamente à partição P são: Slide 5 Dado que: Soma superior Soma inferior U(f, P ) = n j=1 m i=1 M ji(x j x j 1 )(y i y i 1 ) L(f, P ) = n j=1 m i=1 m ji(x j x j 1 )(y i y i 1 ) m ji M ji j=1,...n i=1,...m Para qualquer partição P de S: L(f, P ) U(f, P )

4 Integrais Múltiplos 3 Integrais Duplos Seja agora P 1 um refinamento de P (qualquer subrectângulo definido por P 1 está contido num subrectângulo definido por P ) Então: L(f, P ) L(f, P 1 ) U(f, P 1 ) U(f, P ) Slide 6 Como f é limitada: L = {L(f, P ) : P partição de S} é um conjunto limitado superiormente supremo representa-se como: supl = I(f) = f (Integral inferior de f) U = {U(f, P ) : P partição de S} é um conjunto limitado inferiormente ínfimo representa-se como: infu = I(f) = I(f) = f f = I(f) f (Integral superior de f) Integrais Duplos - Definição R 2 f : R limitado função limitada, f diz-se função integrável (segundo Riemann) se: Slide 7 f = f O integral de f em representa-se por: f = f = f = f(x, y)dxdy

5 Integrais Múltiplos 4 Integrais Duplos - Teorema de Fubini Suponha que: S = [a, b] [c, d], f : S R é integrável Slide 8 x [a,b] a função f x : [c, d] R definida por f x (y) = f(x, y) é integrável (existe d c f x (y)dy) Então: S f(x, y)dxdy = b a ( ) d f(x, y)dy dx c este processo chama-se integração iterada. Integrais Duplos - Exemplo Calcule os seguinte integral: S f(x, y)dxdy onde : Slide 9 f(x, y) = sin (x + y) S = [0, π] [ π 2, π]

6 Integrais Múltiplos 5 Integrais Duplos - Conjuntos de medida nula Definição: Seja R 2. diz-se um conjunto de medida nula se, para todo o ɛ 0 é possível definir uma família numerável de rectângulos (S i ) i 1 tais que: Slide 10 a S i e i=1 i=1 área S i < ɛ a Não é possível determinar um escalar positivo que represente a área de ( não tem área em R 2 Integrais Duplos - Conjuntos de medida nula Se é um conjunto finito de pontos isolados em R 2 então é um conjunto de medida nula Em R 2 qualquer recta tem medida nula Slide 11 Seja φ : [a, b] R contínua. Então Gra φ = { (x, y) R 2 : x [a, b], y = φ(x) } tem medida nula. Teorema: Seja S = [a, b] [c, d] e f : S R limitada. f é integrável se e só se o conjunto de pontos de descontinuidade de f em S for um conjunto de medida nula.

7 Integrais Múltiplos 6 Integrais Duplos - Teorema (i) Seja: = { (x, y) R 2 : x [a, b], φ 1 (x) y φ 2 (x) } Slide 12 Seja f : R limitada e contínua no interior de. Então f é integrável em e: f(x, y)dxdy = b a ( ) φ2 (x) f(x, y)dy dx φ 1 (x) Integrais Duplos - Teorema (ii) Seja: B = { (x, y) R 2 : y [c, d], ψ 1 (y) x ψ 2 (y) } Slide 13 Seja f : B R limitada e contínua no interior de B. Então f é integrável em e: B f(x, y)dxdy = d c ( ) ψ2 (y) f(x, y)dx dy ψ 1 (y)

8 Integrais Múltiplos 7 Integrais Duplos - Exemplo Slide 14 f(x, y)dxdy Integrais Duplos Representação geométrica de f(x, y)dxdy f(x, y) 0 (x,y) f(x, y) = 1 Slide 15

9 Integrais Múltiplos 8 Integrais Duplos - Mudanças de variável Teorema: Sejam D e D subconjuntos de R 2. Slide 16 Seja F : D D (u, v) (x(u, v), y(u, v)) Uma função de classe C 1 e bijectiva. Seja f : D R uma função integrável. Então: f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) D (u, v) dudv Observação: D (x,y) (u,v) é o determinante da matriz Jacobiana de F Integrais Duplos - Mudanças de variável Coordenadas Polares: Considere-se a função: P(x,y) F : R + 0 [0, 2π[ R2 Slide 17 (ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sin θ) (x, y) (ρ, θ) = detj F (ρ, θ) = det cos θ ρ sin θ = ρ sin θ ρ cos θ f(x, y)dx dy = f(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ dρ dθ D D d Área = d d d

10 Integrais Múltiplos 9 Integrais Duplos - Mudanças de variável - Exemplo Calcular: x2 + y 2 dxdy onde: = { (x, y) R 2 : (x a) 2 + y 2 a 2} Slide 18 em coordenadas polares. 1. Determinar a variação máxima de θ 2. Fixar θ = const. Como varia ρ com θ? Troque agora a ordem de integração... Integrais Duplos - Mudanças de variável - Exemplo Calcular: T f(x, y)dxdy Slide 19 onde: T = { (x, y) R 2 : x [0, 1], x y x } { (x, y) R 2 : x [1, 2], x 2 y 2 x } usando a mudança de variável: u = y + x e v = y x.

11 Integrais Múltiplos 10 Integrais Duplos - Cálculo de áreas de superfícies Problema: Dada uma região Q R 2 e uma função f : Q R, pretende-se calcular a área da superfície z = f(x, y). Isto é, pretende-se calcular a área de : Slide 20 Graf = {(x, y, z) : (x, y) Q, z = f(x, y)} Definindo F : R 3 R por F (x, y, z) = f(x, y) z, tem-se: S = Graf = S F (0) = {(x, y, z) : (x, y) Q, F (x, y, z) = 0} Integrais Duplos - Cálculo de áreas de superfícies ds cos γ = d ds = S = ds = Q d cos γ d cos γ Slide 21

12 Integrais Múltiplos 11 Integrais Duplos - Cálculo de áreas de superfícies cos γ = F (x i, y i, z i ) (0, 0, 1) F (x i, y i, z i ) (0, 0, 1) = 1 ( ) 2 ( 2 f x (x i, y i ) + f y (x i, y i )) + 1 Slide 22 S = Q ( f ) 2 x (x i, y i ) + ( ) 2 f y (x i, y i ) + 1 d Integrais Duplos - Cálculo de áreas de superfícies - Exemplo (Larson) Calcular a área da superfície f(x, y) = 1 x 2 + y que se encontra por cima da região triangular de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 1, 0), tal como se representa na figura. Slide 23

13 Integrais Múltiplos 12 Integrais Triplos Slide 24 Seja: Q Q R 3 f : Q R f(x, y, z)dxdydz = limitado função limitada, n f(x i, y i, z i ) x i y i z i lim 0 i=1 Integrais Triplos - Teorema de Fubini B f(x, y, z)dv = b d v a c u f(x, y, z)dz dy dx Slide 25

14 Integrais Múltiplos 13 Integrais Triplos Slide 26 f(x, y, z)dv = W = b a γ 1 (x) D ( ) φ2 (x,y) f(x, y, z)dz dy dx φ 1 (x,y) φ 1 (x,y) ( ( γ2 (x) ) ) φ2 (x,y) f(x, y, z)dz dy dx Integrais Triplos - Exemplo Seja W uma região limitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 2 e o parabolóide de equação z = x 2 + y 2 e x 0, y 0. Calcular: xdxdydz W Slide 27

15 Integrais Múltiplos 14 Integrais Triplos - Exemplo Cálculo de Volumes: Determinar o volume do sólido limitado pelo elipsóide de equação: x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 Slide 28 Integrais Triplos - Mudanças de variável Teorema: Sejam B e B subconjuntos de R 3. Slide 29 Seja F : B (u, v, w) B (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) Uma função de classe C 1 e bijectiva. Seja f : B R uma função integrável. Então: f(x, y, z)dxdydz = B = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) (x, y, z) B (u, v, w) dudvdw Observação: é o determinante da matriz Jacobiana de F (x,y,z) (u,v,w)

16 Integrais Múltiplos 15 Integrais Triplos - Mudanças de variável - Coordenadas Cilíndricas: Considere-se a função: Slide 30 F : R + 0 [0, 2π[ R R3 (ρ, θ, z) (ρ cos θ, ρ sin θ, z) cos θ ρ sin θ 0 (x, y, z) (ρ, θ, z) = detj F (ρ, θ, z) = det sin θ ρ cos θ 0 = ρ f(x, y, z)dx dy dz = B f(ρ cos θ, ρ sin θ, z)ρ dρ dθ dz B Integrais Triplos - Coordenadas Cilíndricas - Exemplo (Larson) Calcular o volume da região sólida que o cilindro de equação x 2 + (y 1) 2 1 Slide 31 retira da esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 2 2

17 Integrais Múltiplos 16 Integrais Triplos - Coordenadas Cilíndricas - Exemplo (Larson) Calcular a massa do elipsóide de equação 4x 2 + 4y 2 + z 2 16 Slide 32 sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância entre o ponto e o plano xy. Integrais Triplos - Mudanças de variável - Coordenadas Esféricas: Considere-se a função: Slide 33 F : R + 0 [0, 2π[ [0, π[ R3 (ρ, θ, φ) (ρ cos θ sin φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos φ) cos θ sin φ ρ sin θ sin φ ρ cos θ cos φ (x, y, z) (ρ, θ, φ) = detj F (ρ, θ, φ) = det sin θ sin φ ρ cos θ sin φ ρ cos θ cos φ cos φ 0 ρ sin φ = ρ 2 sin φ f(x, y, z)dx dy dz = B f(ρ cos θ sin φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos φ)ρ 2 sin φ dρ dθ dφ B

18 Integrais Múltiplos 17 Integrais Triplos - Coordenadas Esféricas - Exemplo (Larson) Calcular o volume da região sólida Q limitada inferiormente pela parte superior do cone x 2 + y 2 = z 2 Slide 34 e superiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9