1. Superfícies Quádricas

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1 . Superfícies Quádricas álculo Integral 44. Identifique e esboce as seguintes superfícies quádricas: (a) x + y + z = (b) x + z = 9 x + y + z = z (d) x + y = 4 z (e) (z 4) = x + y (f) y = x z = + y (g) x (h) x + y + 9 = (i) x + y z = (j) x y z = Represente geometricamente o sólido S definido pelas condições: (a) x + y z x y (b) x + y 4 e x + y (z 6) x + y e z x + y (d) z e x + y z. 46. Faça o esboço gráfico dos seguintes subconjuntos de R 3 : (a) S = (x, y, z) R 3 : x, y, z, e 6x + 3y + z } (b) S = (x, y, z) R 3 : x + y = 6y e x + y + z 36} S = (x, y, z) R 3 : 4 + z x + y e z x + y }.. Integral duplo. álculo do integral duplo em coordenadas cartesianas 47. alcule f(x, y) da, sendo: R (a) f(x, y) = x + y e R = [, ] x [, ]

2 (b) f(x, y) = x y se x + y se x + y > e R = [, ] x [, ] f(x, y) = x y e R a região de R definida por y x e x y (d) f(x, y) = x y e R o subconjunto do ō quadrante de R determinado por y x, y x y x, y x (e) f(x, y) = x + y e R = (x, y) R : x, y } (f) f(x, y) = a x e R = (x, y) R : (x a) + (y a) a, x a, y a} 48. Inverta a ordem de integração e calcule, nos casos relevantes, os seguintes integrais: (a) (b) (d) x 9 3 e y dy dx y sin(x 3 ) dx dy e log x y dy dx 4 x 4 x f(x, y) dy dx (e) r rx x dx f(x, y) dy x (f) x f(x, y) dy dx x f(x, y) dy dx. álculo do integral duplo em coordenadas polares 49. alcule os seguintes integrais passando a coordenadas polares: (a) x dxdy onde = (x, y) R : y x, x, x + y 9 e x + y 4}

3 (b) dxdy onde = (x, y) R : x + y 4} (d) (e) 4 x x (x + y ) 3 dy dx e x + y dy dx xy (x + y ) x y dxdy sendo a região do ō quadrante de R limitada por (f) y =, y = 3 3 x, x + y = 4 e x y =. dxdy onde = (x, y) R : x + y x, x + y 4 e y 3x} 5. Usando uma mudança de coordenadas conveniente, calcule xy dxdy onde = (x, y) R : (x + y 4 x y ) (4x + y 4 x y )}..3 Algumas aplicações do integral duplo.3. Áreas de regiões planas 5. etermine, usando integrais duplos, as áreas dos domínios planos definidos por: (a) R = (x, y) R : y 6x x e y x x} (b) R = (x, y) R : y e x, y e x e x } R = (x, y) R : x + y x, y 3x e y x} (d) R = (x, y) R : x + y, y x e y } (e) R = (x, y) R : x 4 + y, x 4 + y 9, y x, x e y } (f) R = (x, y) R : y 4x e y x 4} (g) R = (x, y) R : x + 4y 5 e xy }. 5. Usando integrais duplos, calcule a área da região plana R definida por R = (x, y) R : x + y, (x ) + y e y }.

4 .3. Volumes 53. Usando integrais duplos, calcule o volume dos seguintes subconjuntos de R 3 : (a) x + y z x + y (e) x + y z x + y + z 3 (b) x + y z x y x 4 + y z 3x 4y (f) (g) y x x y z 3 (z 6) x + y x + y 4 (d) x + y + z 4 x + y x (h) z (x + y ) y + z. 54. Seja E = (x, y, z) R 3 : x + z, x + z y e y }. etermine o volume de E usando integrais duplos..3.3 Áreas de superfícies 55. alcule as áreas das seguintes superfícies : (a) Porção do plano de equação 6x + 3y + z = situada no primeiro octante (b) Porção do parabolóide de equação x + y = z situada no interior da superfície cilíndrica x + y = Superfície esférica (d) Porção da superfície cónica de equação x +y = z situada no interior da superfície cilíndrica de equação x + y = (e) S = (x, y, z) R 3 : x + y + z = 4 e x + y z } (f) S = (x, y, z) R 3 : x + y = 4 e z 3}. 3

5 3. Integral triplo 3. álculo do integral triplo em coordenadas cartesianas 56. alcule f(x, y, z) dx dy dz, em cada um dos seguintes casos: V (a) V = (x, y, z) R 3 : x + y + z x y z } e f(x, y, z) = (x + y + z + ) 3 (b) V = (x, y, z) R 3 : x 4 z ( y ) x y z } e f(x, y, z) = x y V = (x, y, z) R 3 : z 3 x y x + y } e f(x, y, z) = x + y. 57. onsidere o integral triplo I = E x dx dy dz escrito na forma. x 4x y x dz dy dx (a) Inverta a ordem de integração de modo a que a primeira integração se faça em ordem a i. x ii. y. (b) alcule o valor de I. 3. álculo do integral triplo em coordenadas ciĺındricas e em coordenadas esféricas 58. Usando uma mudança de variável conveniente calcule os seguintes integrais triplos (a) dv com ( x y ) 3 (b) (d) = (x, y, z) R 3 : x + y z x y } dv com (x + y + z ) 3 = (x, y, z) R 3 : 4 x + y + z 9} x + y + z dxdydz com = (x, y, z) R 3 : x + y + z x + y + (z ) } y dv com = (x, y, z) R 3 : x + y + z z x + y } 4

6 (e) z dv com = (x, y, z) R 3 : x + y z z x y } 59. onsidere o integral triplo I escrito na seguinte forma I = (a) alcule o valor de I π rcosθ r 4r sin θ dz dr dθ. (b) Represente graficamente o domínio de integração E Escreva I como um integral iterado usando coordenadas cartesianas. 3.3 Aplicação do integral triplo ao cálculo de volumes 6. Usando integrais triplos, calcule o volume das regiões de R 3 definidas por: (a) x + y + z r, r > x + y (b) z x + y (z ) z (d) x + y z x + y x + y + z 8 (e) z x + y x + y + z 4 (f) x + y + (z ) etermine o volume dos seguintes sólidos (a) V = (x, y, z) R 3 : z e x + y z } (b) V = (x, y, z) R 3 : x + y + z z, x + y + z 3 e y x}. 6. alcule 4. Integral curviĺıneo 4. álculo e aplicação ao cálculo do trabalho F d r onde (a) F (x, y) = (x y )î + xĵ e é o arco da circunferência de equação x + y = 4, orientada no sentido directo, que vai de A(, ) a B(, ) (b) F (x, y, z) = (y + z)î + (x + z)ĵ + (x + y)ˆk e é o arco da curva de equação y = x z = x 4 que une os pontos A(,, ) e B(,, ) e orientada de A para B 5

7 F (x, y, z) = (x z)î + yĵ + xˆk e é a curva que se obtem por justaposição do segmento de recta de extremos (,, ) e (,, ) com a curva parametrizada por x = cos t y = sin t, t π z = t π (d) F (x, y, z) = yî + xĵ + zˆk e é a curva definida por = (x, y, z) R 3 : x + y + z = e z = } x + y, orientada no sentido directo. 63. alcule os seguintes integrais curvilíneos: ( π ) ( π ) (a) (y sin x) dx + cos x dy, onde é o triângulo de vértices P (, ), Q, e R,, orientado no sentido positivo (b) (y z) dx + (z x) dy + (x y) dz, onde é a elipse definida por x +y = e x+z =. 64. etermine o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y, z) = xî + yĵ zˆk, no deslocamento ao longo da curva definida por: z = y 4 x = 65. onsidere as duas superfícies de equações, desde (,, ) a (,, ). S : x + y + z = 4 e S : z = 3, e seja Γ a linha de intersecção de S com S. alcule o trabalho realizado pelo campo G(x, y, z) = y î + xyĵ + (z + )ˆk, para deslocar uma partícula material ao longo da curva Γ, orientada no sentido directo. 66. alcule 67. alcule 4. ampos conservativos. Independência do caminho ( π e x sin y dx + e x cos y dy, onde é uma curva entre o ponto P (, ), e o ponto Q, π ). (y x ) dx + x dy, onde = (x, y) R : (y = x x x ) (x + 3y = 4 x 4)} e está orientada de A = (4, ) para B = (, ). 6

8 68. etermine a função φ(x), com primeira derivada contínua, que se anula para x = e tal que o integral y dx + φ(x) dy é independente do caminho de integração. 69. Seja Γ a curva que se obtém por justaposição da curva definida por x + y = 4 e x e y, orientada de A(, ) para B(, ), com a curva definida parametricamente por x = t, t [, ]. y = 4t 8t alcule Γ e x dx + ( + y ) dy. 4.3 Teorema de Green 7. Por aplicação do Teorema de Green, calcule o integral x y dx + xy dy, onde é a circunferência de equação x + y = 4, orientada no sentido directo. 7. Sendo } R = (x, y) R : x y e x y +, use o Teorema de Green para calcular o integral y dxdy. 7. Seja K = R y dx + e y y dy onde é a fronteira, orientada no sentido directo, da região plana R determinada pelas condições x e y (x + ). Apresente o valor da área de R em função de K. 73. onsidere o campo de vectores definido por ( ) F (x, y) = arccos x, x +, (x, y) ], [ R. alcule o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma partícula desde o ponto A = ( ) (, até ao ponto B =, ), ao longo do arco de circunferência definido por x + y = 4 e x. 74. onsidere a região plana R = (x, y) R : y x e x + y x}. (a) alcule o valor da constante k dada por k = y da. (b) Sendo a curva com orientação positiva, que é fronteira da região R, mostre que (x + y ) dx + (xy + y ) dy = 3k. 7 R

9 75. onsidere a seguinte região plana R = (x, y) R : y (x + ) } e a curva que é a fronteira de R orientada positivamente. (a) Usando uma parametrização, calcule, x dy y dx. (b) Use o resultado anterior para determinar o volume do sólido E = (x, y, z) R 3 : (x, y) R e z y x}. 76. Seja a curva de equações paramétricas x(t) = a cos t, t [, π] e y(t) = Usando o Teorema de Green, determine a por forma a que x dx + xy dy = 8. a sin t, t [, π], t ]π, π]. 8