LISTA DE CÁLCULO III. (A) Integrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (e) (f) (g) (h)

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1 1 LISTA E CÁLCULO III (A) Integrais uplas 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (c) (d) 1 y y a a 2 x 2 a 1 y x x 2 y 2 dxdy; a 2 x 2 (x + y)dydx; e x+y dxdy; x 1 + y 3 dydx; (e) (f) (g) (h) 2 2 x 1 1 y e y2 dydx; sin x 2 dxdy; y 2 x sin xdxdy. x sin y y dydx. 2. Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas: z = xy, z =, y = x, x = 1 (primeiro octante); x 2 + z 2 = 1, y 2 + z 2 = 1 (primeiro octante); (c) z = y 2, x =, x = 2 e y. 3. Calcule, em coordenadas polares: 3 9 x 2 2x x 2 arctan y x dydx; 2 xydydx; (c) 4 4y y 2 x 2 dxdy. 4. Escreva a soma das integrais como uma única integral dupla usando coordenadas polares e calcule: 2 x 1 1/ 2 x x2 + y 2 dydx x 2 xydydx x 1 8 x 2 xydydx + x2 + y 2 dydx 2 4 x 2 2 xydydx 5. Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume de uma esfera de raio a. 6. Encontre k de modo que o volume dentro do hemisfério z = 16 x 2 y 2 e fora do cilindro x 2 + y 2 = k 2 seja metade do volume do hemisfério. 7. Calcule o volume do elipsoide dado por x2 a + y2 2 b + z2 = 1, onde a, b, c >. 2 c2 8. Em cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada: x + y dydx, x = u, y = uv. : triângulo de vértices (, ), (4, ) e (4, 4). x

2 2 y = 4. y sin xydydx, x = u, y = v, : região entre os gráficos de xy = 1, xy = 4, y = 1 e v 9. Considere a região no plano-xy dada por x2 a + y2 2 b 2 = 1 e a transformação x = au, y = bv. Esboce a região e sua imagem inversa S sob a transformação e encontre (x, y) (u, v). 1. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela superfície z = 16 x 2 y 2 e inferiormente pela região elíptica x y Calcular, por dupla integração, a área da região acima do eixo x, limitada pela parábola semicúbica y 2 = x 3 e a reta y = x: integrando primeiro em relação a x; integrando primeiro em relação a y. 12. Achar o volume do sólido limitado pela superfície cilíndrica x 2 + az = a 2 e os planos x + y = a, y = e z =. 13. escreva a imagem da circunferência x 2 + y 2 = a 2 pela transformação T : (x, y) (u, v) = ( x 4, y ). 14. escrever as imagens das retas x = c pela transformação T : (x, y) (e x cos y, e x sin y) e fazer gráficos. 15. Calcule o volume do sólido compreendido entre os parabolóides z = 5x 2 +5y 2 e z = 6 7x 2 y O volume V abaixo do parabolóide hiperbólico z = xy e acima de uma região do plano-xy é dado por V = 1 y xydxdy y 1 xydxdy. Esboce a região no plano-xy, expresse V como uma integral dupla na qual a ordem de integração é invertida e calcule V. 17. Achar o volume removido quando se abre um furo de raio a numa esfera de raio 2a, sendo o eixo do furo um diâmetro da esfera. 18. Sendo a região limitada pelas retas y = x, y = e x = 1, calcule a integral dupla dxdy. (1 + x 2 + y 2 ) Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto dado: = {(x, y) 2 / ln x y 1 + ln x, y e x e}. = {(x, y) 2 /x 3 y x}. (c) é determinando pelas desigualdades xy 2, x y x + 1 e x. (d) = {(x, y) 2 /x >, 4 x y 3x2 + 7x}.

3 3 2. etermine o volume do sólido: Abaixo do parabolóide z = x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x 2 e x = y 2. Abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo com vértices (1, 1), (4, 1) e (1, 2). 21. Calcule a integral trocando a ordem de integração: 1 3 3y e x2 dxdy 4 2 x 1 y dydx 22. Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. xyda, onde é o disco com centro na origem e raio 3. cos(x 2 + y 2 )da, onde é a região à esquerda do eixo y e entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4. (c) e x2 y 2 da, onde é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 y 2 = 4 e o eixo y. 23. Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. 3 9 x 2 3 sin(x 2 + y 2 )dydx 1 2 y 2 (x + y)dxdy y 24. Expresse como união de regiões do tipo I ou do tipo II e calcule a integral. x 2 da yda 25. efinimos a integral imprópria (sobre todo o plano 2 ) I = e (x2 +y2) da = e (x2 +y 2) da = lim e (x2 +y2) da 2 a a onde a é o disco com raio a e centro na origem. Mostre que e (x2 +y 2) da = π Uma definição equivalente da integral imprópria acima é I = e (x2y2) da = lim e (x2y2) da 2 a S a onde S a é o quadrado con vértices (±a, ±a). Use esse resultado para mostrar que (c) eduza que e x2 dx e y2 dy = π e x2 dx = π

4 4 (d) Fazendo a mudança de variável t = 2x, mostre que e x2 2 dx = 2π (Este é um resultado fundamental em probabilidade e estatística.) 26. Calcule xda, onde é a região limitada por x = ln y, x = e y = e. 27. Use uma integral dupla para calcular a área da região, no primeiro quadrante, delimitada pela curva y = 1, pela reta que passa pelos pontos (, ) e (1, 1), e pela reta que passa pelos pontos ( x (, ) e 2, 1 ) ada a soma de integrais calcule a integral. 4 4 x ex/y dydx x ex/y dydx, inverta a ordem de integração e 29. Calcule o volume do sólido dado por: z 9 x 2 y 2 e x 2 + y 2 4, com y.

5 5 () Integrais Triplas 1. Calcule a integral tripla 12xy 2 z 3 dv na caixa retangular Q = {(x, y, z) 3 / 1 x 2; y 3; z 2}. 2. Seja Q a cunha no primeiro octante seccionado do sólido cilíndrico y 2 + z 2 1 pelos planos y = x e x =. Calcule zdv. Q 3. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x 2 + y 2 = 9 e entre os planos z = 1 e x + z = eescreva a integral 4 (4 x)/2 (12 3x 6y)/4 Q dzdydx na ordem dydxdz. 5. Calcule o volume acima do cone z 2 = x 2 + y 2 e dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z. 6. Calcule zdv onde é o tetraedro de vértices (,, ), (1, 1, ), (1,, ) e (1,, 1). 7. Use coordenadas cilíndricas para calcular S z x 2 + y 2 dxdydz, onde S é a metade do cone circular reto de vértice (,, h) e base x 2 + y 2 a 2 compreendido no lado direito do plano y =. 8. Expresse 3 9 x 2 9 x 2 y 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 dzdyxdx em coordenadas esféricas e calcule. 9. Calcule o volume do sólido S, no primeiro octante, limitado pela esfera r = 4, pelos planos coordenados, o cone φ = φ 6 e pelo cone φ = φ Usando coordenadas esféricas, calcule: zdxdydz, onde é o conjunto 1 x 2 + y 2 + z 2 4 e z. zdxdydz, onde é o conjunto z x 2 + y 2, x 2 + y 2 + z 2 1. (c) zdxdydz, onde é a interseção da semi-esfera x 2 + y 2 + z 2 4 e z com o cilindro x 2 + y Use uma integral tripla para determinar o volume: o tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x + y + z = 4. o sólido delimitado pelo cilindro elíptico 4x 2 + z 2 = 4 e pelos planos y = e y = z + 2. (c) o sólido limitado pelo cilindro x = y 2 e pelos planos z = e x + z = Escreva as equações em coordenadas cilíndricas. z = x 2 + y 2. x 2 + y 2 = 2y.

6 6 13. ê o volume do sólido descrito pelas desigualdades: r 2, π/2 θ π/2 e z Calcule xdv, onde E está delimitado pelos planos z = e z = x+y+5 e pelos cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9. E 15. Calcule a integral y 2 4 y Escreva a equação em coordenadas esféricas. z 2 = x 2 + y 2. 9 = x 2 + z ê o volume do sólido descrito pelas desigualdades dadas: ρ 2, φ π 2 e θ π 2. ρ 1 e 3π 4 φ π. x 2 +y 2 dv utilizando a mudança de coordenadas cilíndricas. 18. esolva utilizando coordenadas esféricas. (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 dv, onde é a bola centrada na origem de raio 5. zdv, onde E está entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro E octante. (c) x 2 dv, onde E é limitado pelo plano xz e pelos hemisférios y = 9 x 2 z 2 e E y = 16 x 2 z 2.