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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 Turma V1 Data 29/05/2009 1) Represente a curva C por uma função com valores vetoriais a) C é a curva é definida pela função b) C é a curva definida pela função 2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por. Encontre uma expressão que relacione a e b de tal forma que o fluido representado pelo campo vetorial seja incompressível no ponto (1,0,1) 3) Calcule, onde γ é a inserção do plano y=x com a superfície, sendo o sentido do percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2). 4) Seja um campo vetorial continuo definido no R². Seja C uma curva simples diferenciável por partes contidas no R² definida por. Mostre que: 5) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Ao mover uma partícula ao longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas e no sentido anti horário. 6) Enuncie e prove o teorema das equivalências. 7) Considere o campo vetorial continuo num subconjunto aberto D R² definido por: a) Sabendo que define uma força conservativa, encontre uma função potencial para. b) Calcule o trabalho de ao longo da circunferência 1

2 RESPOSTAS: P1 TURMA V1 29/05/2009 1) a) c) 2) 2

3 3) Para o ponto (1,1,2) 4) 5).1. = 0 = + a ). ( )dt = = at = a² d = + t ) ( ) dt = - 3

4 d = ). dt = 0 W= + d = 2a² 6) Solução Caderno 7) a) = y (1) = x (2) Integrando (1): f = (3) Derivando (3) em relação a y: = x + (y) (4) (4) = (2) temos: C = a f = xy+a c) x = cos t y = sen t 0 t t 0 cos 0 sen t π cos π sen π -1,0) W=0.d = 4

5 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda P1 Período Especial Data 25/03/2002 1) (2,0 Pontos) Supondo que, com r = e que a seja um vetor constante. Mostre que: a) (0,5) b) (0,5) c) (0,5) d) (0,5) 2) (2,5 Pontos) Considere o campo vetorial F continuo num subconjunto aberto D definido por:. z, 2x.y.z, x a) (1,0) Sabendo que F define uma força conservativa, encontre uma função potencial f para F. b) (1,0) Calcule o trabalho F ao longo da espiral parametrizada pelo caminho c) Seja C uma curva simples fechada em. O que se pode dizer sobre o trabalho de F ao longo de C? Justifique sua resposta. 3) (3,0 Pontos) Seja Um campo vetorial de classe C 1, fechada e definido em onde A i são pontos do plano e que Em D. Sejam C 1, C 2, C 3 circunferências unitárias centradas em cada um destes pontos, percorrido no sentido horário e tais que C i contem apenas o ponto A i. suponha que: Onde a) (1,0) Calcule o valor de, onde C é um curva fechada em D, percorrida no sentido anti-horário e que envolve os pontos A i. b) (1,0) Quais os possíveis valores de, onde C é qualquer curva fechada contida em D. c) (1,0) Caso Em D. Qual seria o valor de, onde C é uma circunferência de equação que envolve os pontos A i no sentido anti horário. 4) (2,5 Pontos) Seja Um campo vetorial em R 2. Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C 1 e C 2, orientadas no sentido anti horarario, onde: a) (1,0) C 1 é a circunferência de equação 5

6 b) (1,5) C 2 é a fronteira do retângulo RESOLUÇÃO PROVA V1 25/03/2002 QUESTÃO 1: a) temos que: e r = então: = ; e desta forma: b) Seja o vetor constante a x r = Portanto: c) 6

7 Portanto: d) Portanto: QUESTÃO 2 a) Como o campo é conservativo ou seja: Integrando (1), teremos 7

8 Derivando (4) em relação à y e depois derivando (4) em relação à z, e igualando (2) e (3), respectivamente, teremos que: Como podemos tomar g(y,z) como sendo zero. Então: b) Para um campo conservativo: Aplicando (5) c) Como o campo é conservativo, o trabalho realizado só dependerá do ponto inicial e final. Seja p um ponto da cur a C parametr ada por σ t com t e tal que σ a σ b = p Então pelo teorema fundamental do calculo: Logo, o trabalho da força conservativa f ao longo de uma curva fechada é zero. QUESTÃO 3 a) Para um campo conservativo o teorema de Green é dado por: ou seja: 8

9 Como os sentidos de C1, C2 e C3 são horários e C é anti-horário, devemos colocá-las no mesmo sentido. Então, b) Para C no sentido anti- horário: Para A2: Para A3: Para A1 e A2: Para A1 e A3: Para A2 e A3: Para D: 9

10 Para A1, A2 e A3: Para C no sentido horário os valores acima são validos com sinal trocado. OBS: se C for da forma Temos mais valores. A1 A2 c) Como Pelo teorema de Green: A integral dupla do segundo membro deve ser expressa por: o tem a temos: QUESTÃO 4 a) Pelo teorema de Green: 10

11 Cons derando γ como ² + ² 1 Temos: Temos que: E: Portanto: 11

12 b) Pelo teorema de Green 12

13 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda P1- Turma V1 Data 02/10/2009 1) Calcule o comprimento e o centroide do arco de círculo dado por: C={(x,y) R²/ x² + y² = a², x y A posição do centroide é dada por [, ]: = ;. 2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por = 2xe x² seny + e x² cosy. Encontre onde C é o arco da parábola y = x² que vai do ponto (0,0) ao ponto (1, ). 3) Seja F(x,y,z) = P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z) um campo vetorial continuo definido no R³. Seja C uma curva simples, diferencial por partes, contida no R³ definida por. Mostre que. 4) Mostre que qualquer campo vetorial da forma é incompressível. 5) Seja e. Verifique as identidades: a) b) = 13

14 RESOLUÇÃO P1 TURMA V1 02/10/2009 1) x = y = - Cálculo do Comprimento: - Cálculo da Posição do Centróide: Cálculo de Cálculo de Cálculo de C = : = = ; C = 2) Integrando (2) : 14

15 Cálculo de : (4) = (1) (5) em (3) 3) 4) 5) a) 15

16 b) 16

17 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Terceira Avaliação 1) Calcule onde e, com, sendo a normal apontando para cima. 2) Calcule o fluxo do campo através da superfície fechada da figura abaixo, sabendo-se que,com e constantes e vetor normal exterior. 3) Encontre o fluxo de para cima através da porção do plano no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima. 4) Calcule se e C é a borda da porção do plano no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima. 17

18 Resolução Terceira Avaliação 1) 2) Teorema de Gauss: 18

19 3) Plano σ 4) Plano σ= 19

20 20

21 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Primeira Avaliação Turma V1 1) Se f e g são funções de classe C² de R R³, e são campos vetoriais de classe C¹ num aberto de R³, então mostre que: a) b) 2) Se é um caminho em R³, tal que σ (t)= para todo t, prove que a trajetória é uma reta, ou um ponto. 3) Calcule onde γ é a interseção do paraboloide com o plano. O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t) no plano caminhe no sentido anti-horário. 4) Dado um campo vetorial tridimensional onde as derivadas parciais são contínuas num conjunto aberto. Se é o gradiente de alguma função potencial ϕ prove que: Em cada ponto de 5) Resolva as seguintes questões: a) Se um objeto move-se em um campo de forças de tal modo que, em cada ponto, seu vetor velocidade seja ortogonal à, mostre que o trabalho realizado por sobre o objeto é 0. b) Ache o trabalho realizado por uma força elástica dirigida para origem, de módulo proporcional à distância do ponto de aplicação da força à (0,0). Se o ponto de aplicação da força traça um quarto da elipse pertencente ao primeiro quadrante. 21

22 Resolução Primeira Avaliação Turma V1 1) a) Seja: Assim: b) 2) Assim: 22

23 A trajetória pode ser uma reta ou um ponto. 3) Curva γ: 5) a) Sendo σ(t)=posição e σ t eloc dade Se então, então W=0 b) 23

24 24

25 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Primeira Avaliação Turma V2 1) Considere o campo de forças onde R R é uma função derivável e. Prove que é irrotacional. 2) A base de uma cerca é uma C no plano definida por: A altura em cada ponto ( ) é dada por (x e y em metros). Se para pintar cada m² um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrará para pintar a cerca? 3) Calcule onde e c é a interseção das superfícies o ponto (-1,0,0) sendo o sentido do percurso de ponto (1,0,0) para 4) Considere o campo vetorial contínuo num subconjunto aberto R definida por Se define uma força conservativa, encontre uma função f para e calcule onde γ é dada por 5) Seja A a área de uma região R limitada por uma curva simples, fechada, diferenciável por partes. Prove que: 6) Seja c uma curva simétrica em relação ao eixo y, que vai do ponto (2,0) a (-2,0), percorrida no sentido anti-horário. Sabendo-se que a área da região delimitada por c e pelo eixo x vale 6π, calcule, onde 7) Seja D uma região fechada e limitada do plano cuja área é 10, sua fronteira D está orientada positivamente e é parametrizada por uma função C¹ por partes, de modo que D seja percorrida uma única vez. Se C¹ num subconjunto aberto que contém D e, então calcule é um campo vetorial de classe 25

26 Resolução Primeira Avalição Turma V2 1) = = 2) I) II) 26

27 Resposta: 900p Reais 3) (x,y,z)= 2yi + zj + xk c: interseção x 2 + xy² = 1 ; x² + y² = 1 : y 0 z 0 4) Integrando (1) 27

28 5) pelo teorema de green Se Q=x e P=0 Se P=-y e Q= 0 Se P = -y/2 e Q = x/2 então 6) Calculo de 7) Pelo teorema da divergência no plano DivF = 20 28

29 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Primeira Avaliação Turma V1 1) As equações de Maxwell relacionam campo elétrico e o campo magnético quando eles variam com o tempo numa região que não contenha nem carga e nem corrente, como segue: Use essas equações para mostrar que: Onde c é a velocidade da luz. 2) Calcule onde γ é a interseção do paraboloide com o plano O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t) no plano xy caminhe no sentido anti horário. 3) Calcule onde, c é a interseção das superfícies e, x 0, y 0, z 0 sendo o sentido do percurso do ponto (1,0,0) para o ponto (0,0,2) 4) Um campo de forças F em duas dimensões é descrito pela equação Mostre que o trabalho realizado por esta força movendo uma partícula ao longo da curva Depende somente de f(a), f(b), g(a), g(b). encontre o trabalho realizado quando f(a) = 1, f(b) = 2, g(a) = 3 e g(b) = 4. 5) Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região delimitada pelos gráficos E 6) Calcule, onde c é o arco de circunferência no segundo quadrante, orientado no sentido anti horário. 7) Seja 4 ) seja c dada por Seja a área do conjunto limitado pela curva c que é fechada. Calcule Onde n é normal a c e aponta para fora do conjunto mencionado 29

30 Resolução Primeira Avalição Turma V1 1) 2) 3) 30

31 4) Calculo da Função Potencial: Integrando (1): Derivando (3) em relação a y: Fazendo (4)=(2): Assim: Então: 31

32 5) dx 6) 32

33 7) - 33

34 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Segunda avaliação 1) Parametrize o cilindro e mostre q o elemento de área correspondente é dado por 2) Calcule a área da superfície 3) Considere uma casca esférica homogênea de massa M e raio a. o potencial gravitacional gerado em um ponto a uma distancia c da origem é dado pela integral Mostre que : onde G é a constante gravitacional e é a densidade. 4) Considere o campo vetorial Calcule a circulação ao longo da elipse C descrita por orientada no sentido anti horário quando vista de cima. 5) Sejam e. Seja σ uma superfície esférica, com normal exterior n. calcule supondo que o ponto (0,0,0) não pertence a figura. 34

35 1) 2) 35

36 3) Equações paramétricas: Chamando 36

37 4) 37

38 5) Seja σ a fronteira da esfera k, com normal exterior. Suponhamos que a origem não pertença a K R 38

4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. cos (1=t), para 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. Sendo esta derivada

4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. cos (1=t), para 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. Sendo esta derivada 4.1 Curvas Regulares 4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. (a) ~r (t) = t~i + (1 t)~j; 0 t 1 (b) ~r (t) = 2t~i + t 2 ~j; 1 t 0 (c) ~r (t) = (1=t)~i + t~j; 1 t

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