SOMBRAS II. Sumário: Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 1

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1 14 SOMBRAS II Neste capítulo mostra-se como se determinam sombras próprias e projetadas de sólidos sobre os planos de projeção, nomeadamente de pirâmides, prismas, cones e cilindros. Sumário: 2. Sombras de sólidos no espaço 3 e 4. Sombras de pirâmides 5 e 6. Sombras de prismas 7, 8 e 9. Sombras de cones 10 e 11. Sombras de cilindros 12 e 13. Eercícios Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 1

2 Sombras de sólidos no espaço Aqui mostra-se como surgem as sombras própria e projetada por um cone Compreendendo esta situação, facilmente se compreendem outras envolvendo outros sólidos. l V φ 0 T V S2 O T S1 T O S1 V v1 T S1 ν 0 Sombras própria e projetada por um cone de revolução com base horizontal Como a base do sólido é paralela ao PHP, determinam-se em primeiro lugar as sombras da base e do vértice nesse plano. A sombra da base, com centro em O S1, liga-se a V V1 através das tangentes [T S1 V V1 ] e [T S1 V V1 ]. Essas tangentes dão origem aos pontos de quebra e que, unidos à sombra real do vértice, V S2, permitem determinar a sombra projetada pelo cone no PFP. Para determinar a sombra própria traçam-se os raios [OT] e [OT ], paralelos respetivamente a [O S1 T S1 ] e [O S1 T S1 ]. As geratrizes [TV] e [T V] separam a zona iluminada do cone da zona em sombra própria, pelo que se designam separatrizes. Aqui, como nas páginas seguintes, fazem-se tracejados finos para indicar as manchas de sombra: 45ºad no PFP; 45ºad no PHP e horizontais na sombra própria. Uma situação idêntica a esta surge representada em projeções na página 7. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 2

3 Sombras de pirâmides Observa-se aqui como se determinam sombras projetadas e sombras próprias de pirâmides. Nesta página eemplifica-se com pirâmides de bases frontais. B 2 B S2 A 2 A S2 V 2 Sombras de uma pirâmide regular com a base no PFP D 2 D S2 D 1 C 2 C 1 V S1 V V2 Estando a base no PFP, a sua sombra situa-se aí, pelo que basta determinar a sombra do vértice principal. Determinase também a sombra virtual desse vértice por se encontrar no plano da base e assim se poder unir a ela. A sombra própria é limitada pelas arestas [BV] e [DV], as mesmas cujas sombras limitam a mancha que se projeta V 1 A 2 F2 B2 Sombras de uma pirâmide oblíqua com a base frontal A S2 Aqui foram determinadas as sombras reais dos vértices da base, assim como ambas as sombras do vértice principal. As sombras dos vértices das bases que se unem às sombras do vértice principal são aquelas que permitem a maior abertura de ângulo a partir deste. A sombra de C não se indica por se situar no interior da mancha de sombra projetada. As arestas [BV] e [DV] limitam a sombra própria. De notar que nesta situação a sombra própria não é visível em projeção horizontal. E 2 E1 F1 F S2 E S1 V2 D 2 D 1 D S1 C 1 C 2 B S2 Q S VS1 VV2 V1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 3

4 Aqui observa-se mais uma situação que envolve a determinação das sombras própria e projetada por uma pirâmide R 2 E 2 D 2 A 2 C 2 B 2 (fδ) t 2 t 2 r 2 D S2 C S2 B S2 B V1 V 2 A S1 D 1 C 1 V 1 V S1 V V2 E 1 t 1 r 1 t 1 R 1 Sombras de uma pirâmide regular com a base horizontal Aqui foi utilizado um processo que não se aplicou na página anterior. Começou por se determinar as separatrizes, que são as arestas [AV] e [DV], com recurso ao raio de luz r que contém o vértice e cruza o plano da base no ponto R. A partir desse ponto foram traçadas as tangentes t e t que contêm os pontos A e D. Deste modo fica-se a saber que o ponto E, situado no espaço interior dessas tangentes, não se utiliza nas determinação das sombra projetada, pois a sua sombra ficaria no interior dessa mancha. Para determinar os pontos de quebra faz -se recurso das sombras virtuais dos pontos V e B. De notar que a sombra própria fica invisível em projeção horizontal, uma vez que a pirâmide está invertida. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 4

5 Sombras de prismas Aqui observa-se como se determinam sombras projetadas e sombras próprias de prismas. Nesta página eemplifica-se com prismas retos. D 2 D 2 D S2 G2 G 2 GS2 F 2 F 2 F S2 E2 E 2 F 1 D 1 E 1 G 1 F S1 G S1 Sombras de um prisma reto com uma base no PFP As arestas laterais são de topo, pelo que as suas sombras projetadas no PFP fazem 45ºad e as projetadas no PHP são perpendiculares ao eio, não havendo necessidade de recorrer a sombras virtuais. As arestas [FF ] e [GG ] são as separatrizes da sombra própria que, neste caso, não é visível em nenhuma das projeções. E S1 F 1 D 1 E 1 G 1 J 2 I 2 K 2 H 2 L 2 K S2 Sombras de um prisma regular com as bases horizontais Também aqui não há necessidade de determinar sombras virtuais, dado que as arestas laterais são verticais. De notar que o segmento de reta [H S1 ] é paralelo a [H 1 L 1 ], o que permite determinar o ponto de quebra da direita. As arestas [HH ] e [JJ ] são as separatrizes da sombra própria. J2 JS1 I 2 K2 J S2 H 2 K 1 K 1 L 2 L S2 H S1 J 1 J 1 L1 L 1 IS1 HS1 I1 I 1 H1 H 1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 5

6 Nesta página observa-se como se determinam as sombras própria e projetada de mais dois prismas, o segundo com as bases de perfil. A 2 A 2 A S2 B 2 Sombras de um prisma oblíquo com as bases frontais C 2 C S1 C 2 B 2 C 1 A S1 Aqui não foi feito uso de sombras virtuais, já que se tirou proveito de paralelismos. Determina-se o ponto de quebra da esquerda uma vez que [A 2 C 2 ] é paralelo a [A 2S ], e o da direita porque [A S1 ] é paralelo a [C S1 C S1 ]. Não se indica a sombra projetada pelo ponto B, uma vez que esta fica no interior da mancha da sombra projetada pelo sólido. A sombra própria é limitada pelas arestas [AA ] e [CC ]. B S1 C S1 C 1 A 1 B 1 D 2 D S2 D 2 D V1 Sombras de um prisma oblíquo com as bases de perfil Aqui recorreu-se às sombras virtuais de dois pontos para determinar os pontos de quebra. Não se indica a sombra projetada pelo ponto E, uma vez que fica no interior da mancha projetada pelo sólido. A sombra própria é limitada pelas separatrizes [DD ] e [FF ], não sendo visível em nenhuma das projeções. E 2 F 2 D 1 F S1 E 2 F 2 D 1 D S2 D V1 F 1 F 1 F S1 E S1 E 1 E 1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 6

7 Sombras de cones Nesta página observa-se como se determinam as sombras própria e projetada de dois cones com bases horizontais, sendo um reto e outro oblíquo. V2 A 2 T2 QS B 2 T 2 T 1 T S1 O 2 VS2 V V1 Sombras de um cone de revolução com a base no PHP A base do cone situa-se no PHP, por isso coincide com a sua sombra real. Determinando a sombra virtual do vértice, liga-se à sombra da base nos pontos de tangência T e T. Os pontos de quebra fazem a ligação à sombra real do vértice. É nos pontos de tangência que nascem as separatrizes que limitam a sombra própria. A sombra própria é limitada pelas separatrizes [TV] e [T V]. V 1 O 1 O S1 T 1 T S1 V 2 V S2 V V1 A 2 T 2 O 2 T 2 B 2 TS1 T1 O S1 O1 T 1 T S1 V1 Sombras de um cone oblíquo com a base horizontal Determina-se a sombra da base e as sombras real e virtual do vértice. A sombra projetada determina-se de modo idêntico ao do eercício anterior. Para determinar as projeções dos pontos de tangência, T e T, traçaramse dois raios nas projeções da base paralelos aos da sombra, pois aqui as circunferências não coincidem. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 7

8 Aqui mostra-se como se determinam as sombra de um cone em posição invertida. T 2 A 2 O 2 V 2 B2 T2 V S QS Q S V1 T S1 T V2 B S1 OV1 T S1 T V2 1 S1 2S1 T 1 O T Sombras de um cone de revolução com a base frontal Determina-se a sombra do vértice e a sombra da base no plano em relação ao qual esta é paralela, ou seja o PFP. A determinação dos pontos de tangência e dos pontos de quebra faz-se como nos casos da página anterior. Aqui toda a sombra real da base é elíptica, sendo utilizados os pontos 1, 2 e B para a determinar. A sombra própria é limitada pelas separatrizes [TV] e [T V]. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 8

9 Nesta página mostra-se como se determinam as sombras de um cone com a base de perfil. R2 hπ fπ hπr T2 C2 E 2 O2 A2 B2 E S2 TS2 V2 T 2 F2 G2 A S2 V S2 V V1 Q2 D 2 F S2 fπ R AR QS T R E R O R F R Q R D R E 1 F 1 Q 1 T 1 D S1 O 1 C 1 D 1 G S1 T S1 V 1 G 1 G R T R T 1 B1 R R R 1 Sombras de um cone oblíquo com a base de perfil Em rebatimento determinam-se quais os pontos da base cuja sombra interessa achar. Para o efeito utilizam-se os pontos A, D, E, F, G e Q, ponto de quebra nessa linha. O ponto R é a intersecção do raio de luz que passa pelo vértice com o plano da base. Os pontos de tangência T e T são aqueles em que o contorno da sombra une as partes elípticas com as partes retas. É também nesses pontos que nascem as separatrizes. Aqui um ponto de quebra situa-se no contorno elíptico, outro no contorno reto. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 9

10 Sombras de cilindros Quando se trata de cilindros com bases paralelas a um plano de projeção, sugere-se que se comece com a determinação das suas sombras nesse plano, sejam elas reais ou virtuais. Nesta página observam-se dois cilindros de revolução com as bases frontais. U2 U 2 US2 A2 A 2 O 2 O 2 O S2 B2 B 2 Sombras de um cilindro de revolução com uma base no PFP T2 T 2 TS T 1 QS U1 A1 O 1 U V2 U S1 O V2 B S1 A sombra da base de afastamento nulo situa-se no PFP. Unindo as sombras projetadas pelas duas bases no PFP obtém-se toda a sombra projetada pelo cilindro nesse plano. Acima do eio essa sombra é real, abaio é virtual. A sombra virtual passa a real através da determinação das sombras reais dos pontos de tangência T e U, assim como dos pontos 1, 2 e B. A sombra própria é limitada pelas separatrizes [TT ] e [UU ]. T S1 2 S1 T V2 1 S1 A 1 T 1 O U B 1 Sombras de um cilindro de revolução com as bases frontais Este caso tem semelhanças com o anterior, com a diferença de que a base de menor afastamento não se situa no PFP. Unindo as sombras projetadas pelas duas bases no PFP obtém-se toda a sombra projetada pelo cilindro nesse plano. De seguida passa-se para reais as sombras virtuais. De notar que um ponto de quebra está se situa no contorno reto e outro no contorno curvo da sombra projetada. Para determinar a sombra elíptica da base de maior afastamento foram utilizados os pontos 2, 3 e B. O ponto 1 foi utilizado para determinar o pequeno arco de elipse da sombra da base de menor afastamento. A sombra própria é limitada pelas separatrizes [TT ] e [UU ]. U 2 U 2 A 2 A 2 O 2 O 2 B 2 B 2 T 2 T Q S 3 2 O S2 1S1 T V2 TS1 11 T1 O1 U1 B1 T S1 3S1 2S1 U S2 T V2 QS U S1 O V2 B S1 U V2 A 1 T 1 O 1 21 U 1 31 B 1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 10

11 Aqui temos as sombras de um cilindro oblíquo com as bases horizontais, estando uma delas no plano horizontal de projeção. A 2 T 2 O 2 12 U 2 22 B 2 T S2 1S2 T V1 2S2 O V1 B S2 A2 T2 O2 QS B 2 T 1 T S1 U S1 21 O1 OS1 T 1 11 U 1 U S1 A 1 O 1 B 1 Sombras de um cilindro oblíquo com uma base no PHP A base de menor cota tem a sua sombra no sítio onde se encontra, pelo que se determina apenas a sombra da base de maior cota. Os pontos de quebra surgem da união das sombras das suas bases, estando um no contorno reto, outro no contorno circular da sombra projetada. Para determinar a sombra da linha elíptica, foram utilizados os pontos 1, 2 e B. As sombras próprias estão limitadas pelas separatrizes [TT ] e [UU ]. U 1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 11

12 Sombras II Eercícios Sombras de pirâmides 1. Representar uma pirâmide regular com 7cm de altura, cuja base é o heágono horizontal [ABCDEF], sendo A(3;1;0) e F(6;2;0) dois dos seus vértices consecutivos. 2. Representar uma pirâmide regular com 6cm de altura, cuja base é o triângulo frontal [JKL], sendo J(6;2;7) e K(0;2;7) os seus vértices de menor cota. 3. Representar uma pirâmide oblíqua, cuja base é o pentágono horizontal [ABCDE], inscrita numa circunferência com 3cm de raio e centro em O(4;3;3). o ponto A situa-se no PFP. O vértice principal é V(7;9) e a sua abcissa é igual à do vértice da base que se situa mais à direita. 4. Representar uma pirâmide oblíqua, cuja base é o quadrado horizontal [FGHI], sendo F(5;3;8) e G(1;1;8) os seus vértices de menor afastamento. O vértice principal é V(-1;3;0). 5. Representar uma pirâmide com 8cm de altura cuja base tem como vértices os pontos R(7;0;1), S(7;6;3) e T(7;2;6). O vértice principal é V, sendo a aresta [TV] fronto-horizontal. Sombras de prismas 6. Representar um prisma reto, com 4cm de altura e bases retangulares horizontais, sendo [JKLM] a de menor cota. J(5;0;0) e K(0;2;0) são os etremos de um dos lados maiores; os lados menores medem 3cm. 7. Representar um prisma heagonal regular com 5cm de altura e bases frontais, sendo [ABCDEF] a de maior afastamento, inscrita numa circunferência com centro em X(2;8;4). Duas faces laterais do sólido são horizontais. 8. Representar um prisma oblíquo com 5cm de altura, cujas bases são triângulos equiláteros. [DEF] é a de menor afastamento e está inscrita numa circunferência com 2,5cm de raio e centro em O(4;1,5;4). O lado de menor cota da base é fronto-horizontal. As projeções frontais e horizontais das arestas laterais fazem 40ºad e 70ºad, respetivamente. 9. Representar um prisma pentagonal oblíquo de bases horizontais, sendo o pentágono regular [ABCDE] a de menor cota, inscrita numa circunferência com 3,5cm de raio e centro em O(4;4;2). O lado [AB] é fronto-horizontal e o de menor abcissa. A outra base está inscrita numa circunferência com centro em O (4;7;7). 10. Representar um prisma regular com 3cm de altura e bases quadradas de perfil, sendo [ABCD] a de menor abcissa. A(3;0;5) e C(3;5;4) são dois vértices opostos dessa base. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 12

13 Sombras de cones 11. Representar um cone de revolução com 7cm de altura, cuja base é frontal com 3cm de raio e centro em O(2;0;5). 12. Representar um cone de revolução com 7cm de altura, cuja base é frontal, tem 3cm de raio e centro em X(4;2;5). 13. Representar um cone oblíquo cuja base é horizontal, tem 3cm de raio e centro em O(4;3;4). O vértice é V(10;8), sendo de perfil a geratriz situada mais à direita. 14. Representar um cone oblíquo cuja base é horizontal, tem 3cm de raio e centro em X(3;5;7). O ponto V(8;7;1) é o vértice. 15. Representar um cone de revolução com 8cm de altura, cuja base é de perfil, com 3cm de raio e centro em O(0;5;4). O vértice situa-se à esquerda da base. Sombras de cilindros 16. Representar um cilindro de revolução com 6cm de altura e bases horizontais com 2,5cm de raio, uma delas com centro em O(4;4;0). 17. Representar um cilindro de revolução com 5cm de altura e bases horizontais com 3cm de raio, uma delas com centro em X(4;3;3). 18. Representar um cilindro oblíquo com 6cm de altura e bases frontais com 2,5cm de raio, uma delas com centro em O(5;0;4). As geratrizes são horizontais e fazem 60ºad. 19. Representar um cilindro oblíquo com 5cm de altura e bases frontais com 2,5cm de raio, uma delas com centro em X(5;2;3). As projeções frontais e horizontais das geratrizes fazem 45ºad e 60ºad, respetivamente. 20. Representar um cilindro de revolução com 4cm de altura e bases de perfil, tendo a de menor abcissa centro em O(-1;4;5). Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 13