6.2. Volumes. Nesta seção aprenderemos a usar a integração para encontrar o volume de um sólido. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "6.2. Volumes. Nesta seção aprenderemos a usar a integração para encontrar o volume de um sólido. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO"

Transcrição

1 APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 6.2 Volumes Nesta seção aprenderemos a usar a integração para encontrar o volume de um sólido.

2 SÓLIDOS IRREGULARES Começamos interceptando S com um plano e obtemos uma região plana chamada seção transversal de S.

3 SÓLIDOS IRREGULARES Seja A(x) a área da secção transversal de S no plano P x perpendicular ao eixo x e passando pelo ponto x, onde a x b. Pense em fatiar S por x e calcular a área de uma fatia.

4 SÓLIDOS IRREGULARES Vamos dividir S em n fatias de larguras iguais a x usando os planos P x1, P x2,... para fatiar o sólido. Pense em fatiar um filão de pão.

5 DEFINIÇÃO DE VOLUME Seja S um sólido que está entre x = a e x = b. Se a área da secção transversal de S no plano P x, passando por x e perpendicular ao eixo x, é A(x), onde A é uma função contínua, então o volume de S é: n V = lim A( xi*) Δ x= A( x) dx x i = 1 b a

6 ESFERAS Mostre que o volume de uma esfera de raio 3 r é 4 V = π r. 3 Exemplo 1

7 ESFERAS Assim, a área da secção transversal é: A x πy π r x Exemplo 1 ( ) = = ( )

8 ESFERAS Usando a definição de volume com a = -r e b = r, temos: r π ( ) r ( 2 2) V = A( x) dx = π r x dx r r r = r x dx Exemplo 1 (O integrando é par.) 3 r 3 2 x 3 r = 2π rx 2π r 3 = 3 0 π 3 = r

9 ESFERAS Observe que quando aumentamos o número de cilindros aproximantes, a correspondente soma de Riemann torna-se mais próxima do volume verdadeiro.

10 ESFERAS Exemplo 2 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y= x de 0 até 1. Ilustre a definição de volume esboçando um cilindro aproximante típico.

11 ESFERAS Exemplo 2 A região é exposta na Figura 6(a). Se fizermos a rotação em torno do eixo x, obteremos o sólido mostrado na Figura 6(b). Quando fatiamos no ponto x, obtemos um disco com raio x.

12 ESFERAS Exemplo 2 A área dessa secção transversal é: Ax ( ) = π ( x) = π x O volume do cilindro aproximante (um disco com espessura x) é: ( ) Δ = 2 Ax x π xδx

13 ESFERAS Exemplo 2 O sólido está entre x = 0 e x = 1. Assim, o seu volume é: V = = A( x) dx π 2 xdx 1 x = π = π

14 ESFERAS Exemplo 2 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x 3, Y = 8, e x = 0 em torno do eixo y.

15 ESFERAS Exemplo 2 Como a região é girada ao redor do eixo y, faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo y e, portanto, integrar em relação a y. Se fatiarmos a uma altura y, obteremos um disco circular com raio x, onde x = 3 y

16 ESFERAS Exemplo 3 Então, a área da seção transversal em y é: /3 A( y) = πx = π( y) = πy E o volume do cilindro aproximante mostrado é: 2/3 Ay ( ) Δ y= π y Δy

17 ESFERAS Como o sólido está entre y = 0 e y = 8, seu volume é: V = = A( y) dy π y y 3 5 dy 8 = π = 0 Exemplo π

18 ESFERAS Exemplo 4 A região R, limitada pelas curvas enclosed by the curves y = x e y = x 2 é girada em torno do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante.

19 ESFERAS Exemplo 4 As curvas y = x e y = x 2 interceptam nos pontos (0, 0) e (1, 1). A região entre esses pontos, o sólido de rotação e a secção transversal perpendicular ao eixo x são mostrados na Figura.

20 ESFERAS Exemplo 4 A A secção transversal no plano P x tem o formato de uma arruela (um anel) com raio interno x 2 e raio externo x, de modo que calculamos a área da secção transversal subtraindo a área do círculo interno da área do círculo externo: Ax ( ) = πx π( x) 2 4 = ( x x ) π

21 ESFERAS Portanto, temos: V = A( x) dx 2 4 = π ( x x ) dx x x = π 3 5 2π = 15 Exemplo

22 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Em geral, calculamos o volume de um sólido de revolução usando a fórmula básica da definição V b = A( x) dx ou V ( ) a = c d A y dy Encontramos a área da secção transversal A(x) ou A(y) por uma das seguintes maneiras.

23 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 1. Se a secção transversal é um disco (como nos Exemplos 1 3), encontramos o raio do disco (em termos de x ou y) e usamos: A = π(raio) 2

24 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Se a secção transversal é uma arruela (como nos Exemplos 4 e 5), encontramos o raio interno r in e o raio externo r ex a partir de um esboço. Calculamos a área da arruela subtraindo a área do disco interno da área do disco externo: A = π (raio externo) 2 π (raio interno) 2

25

26 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Exemplo 6 A Figura mostra uma secção transversal horizontal. É uma arruela com raio interno 1 + y e raio externo1 + y.

27 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Exemplo 6 Assim, a área de seção transversal é:

28 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Exemplo 6 O volume é: V = 1 0 A( y) dy 1 ( ) 2 ( ) 2 = π 1 y 1 y + + dy ( 2 2 ) = π y y y dy y y y π = π =

29 VOLUMES Agora encontraremos os volumes de três sólidos que não são de revolução. A Figura mostra um sólido com base circular de raio 1. Secções transversais paralelas perpendiculares à base são triângulos equiláteros. Encontre o volume do sólido.

30 VOLUMES Exemplo 7 Consideremos o círculo como x 2 + y 2 = 1. O sólido, sua base e uma secção transversal típica a uma distância x da origem são mostrados na Figura.

31 VOLUMES Exemplo 7 Como B está no círculo, temos y = 1 x 2 Assim a base do triângulo ABC é AB = x

32 VOLUMES Exemplo 7 Como o triângulo é equilátero, vemos que a altura é 2 3y = 3 1 x

33 VOLUMES Exemplo 7 A área da secção transversal é, portanto: Ax ( ) = 2 1 x 3 1 x = 3(1 x )

34 VOLUMES Exemplo 7 O volume do sólido é: V = 1 1 A( x) dx = 3(1 x ) dx= 2 3(1 x ) dx 1 0 x 4 3 = 2 3 x =

35 VOLUMES Exemplo 8 Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com lado L e cuja altura é h.

36 VOLUMES Exemplo 8 Colocamos a origem O no vértice da pirâmide e o eixo x ao longo do seu eixo central. Qualquer plano P x que passa por x e é perpendicular ao eixo x intercepta a pirâmide em um quadrado com lado de comprimento s.

37 VOLUMES Exemplo 8 Podemos expressar s em termos de x observando que, para os triângulos semelhantes na Figura, x 2 = s = s de forma que s = Lx/h. h L 2 L Outro método é observar que a reta OP tem uma inclinação L/(2h), e desse modo a sua equação é y = Lx/(2h).

38 VOLUMES Exemplo 8 Portanto, a área da secção transversal é: L A( x) = s = x h

39 VOLUMES Exemplo 8 A pirâmide está entre x = 0 e x = h; assim o seu volume é: V = = 0 h 0 h A( x) dx 2 L 2 2 x dx h 2 3 h 2 L x L h = 2 h 3 = 3 0

Aplicações de integração. Cálculo 2 Prof. Aline Paliga

Aplicações de integração. Cálculo 2 Prof. Aline Paliga Aplicações de integração Cálculo Prof. Aline Paliga Áreas entre curvas Nós já definimos e calculamos áreas de regiões que estão sob os gráficos de funções. Aqui nós estamos usando integrais para encontrar

Leia mais

Aplicação de Integral Definida: Volumes de Sólidos de Revolução

Aplicação de Integral Definida: Volumes de Sólidos de Revolução Aplicação de Integral Definida: Prof a. Sólidos Exemplos de Sólidos: esfera, cone circular reto, cubo, cilindro. Sólidos de Revolução são sólidos gerados a partir da rotação de uma área plana em torno

Leia mais

6.3. Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas

6.3. Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 6.3 Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas Nesta seção aprenderemos como aplicar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume de um sólido. VOLUMES POR CASCAS CILÍNDRICAS

Leia mais

18/06/2013. Professora: Sandra Tieppo UNIOESTE Cascavel

18/06/2013. Professora: Sandra Tieppo UNIOESTE Cascavel 18/06/01 Professora: Sandra Tieppo UNIOESTE Cascavel 1 Superfícies geradas por uma geratriz (g) que passa por um ponto dado V (vértice) e percorre os pontos de uma linha dada d (diretriz), V d. Se a diretriz

Leia mais

1 Exercícios de Aplicações da Integral

1 Exercícios de Aplicações da Integral Cálculo I (5/) IM UFRJ Lista 6: Aplicações de Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 9.5.5 Eercícios de Aplicações da Integral. Eercícios de Fiação Fi.: Esboce o gráco e calcule a área

Leia mais

Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas

Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes

Leia mais

Integrais - Aplicações I. Daniel 26 de novembro de 2016

Integrais - Aplicações I. Daniel 26 de novembro de 2016 Integrais - Aplicações I Daniel 26 de novembro de 2016 1 Sumário Aplicações da Integral Construção de Fórmulas Integrais Aplicação da Estratégia de Integrais Definidas Áreas entre duas Curvas Volume por

Leia mais

Integração Volume. Aula 07 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Integração Volume. Aula 07 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Integração Volume Aula 7 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Volume de um sólido Na tentativa de encontra o volume de um sólido, nos deparamos com o mesmo tipo de problema que para

Leia mais

Aula 14 Áreas entre duas curvas. Volumes e Áreas de sólidos de revolução.

Aula 14 Áreas entre duas curvas. Volumes e Áreas de sólidos de revolução. Universidade Federal do ABC Aula 14 Áreas entre duas curvas. Volumes e Áreas de sólidos de revolução. BCN0402-15 FUV Suporte ao aluno Site da disciplina: http://gradmat.ufabc.edu.br/disciplinas/fuv/ Site

Leia mais

. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 )

. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 ) Estudo da Reta no R 2 Condição de alinhamento de três pontos: Sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta, ou seja, dados A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ), eles estão sempre alinhados. y. B(x

Leia mais

O logarítmo e aplicações da integral Aula 31

O logarítmo e aplicações da integral Aula 31 O logarítmo e aplicações da integral Aula 31 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 27 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA TEXTO: CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO AUTORES: Mayara Brito (estagiária da BOM) André Brito (estagiário da BOM) ORIENTADOR:

Leia mais

Capítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1

Capítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1 Capítulo 7 Na aula anterior definimos o produto interno entre dois vetores e vimos como determinar a equação de uma reta no plano de diversas formas. Nesta aula, vamos determinar as bissetrizes de duas

Leia mais

Matemática Fascículo 07 Manoel Benedito Rodrigues

Matemática Fascículo 07 Manoel Benedito Rodrigues Matemática Fascículo 07 Manoel Benedito Rodrigues Índice Geometria Resumo Teórico...1 Exercícios...4 Dicas...5 Resoluções...7 Geometria Resumo Teórico 1. O volume de um prisma eodeumcilindro (retos ou

Leia mais

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME PROGRAMA IME ESPECIAL 1991 GEOMETRIA ESPACIAL PROF PAULO ROBERTO 01 (IME-64) Um cone circular reto, de raio da base igual a R e altura h, está circunscrito a 1 1 uma esfera de raio r Provar que = rh r

Leia mais

3. (Uerj 98) a) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo original, em função de R e m.

3. (Uerj 98) a) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo original, em função de R e m. 1. (Unicamp 91) Uma esfera de raio 1 é apoiada no plano xy de modo que seu pólo sul toque a origem desse plano. Tomando a reta que liga o pólo norte dessa esfera a qualquer outro ponto da esfera, chamamos

Leia mais

Aula 01 Introdução à Geometria Espacial Geometria Espacial

Aula 01 Introdução à Geometria Espacial Geometria Espacial Aula 01 Introdução à 1) Introdução à Geometria Plana Axioma São verdades matemáticas aceitas sem a necessidade de demonstração. 1 1.1) Axioma da Existência Existem infinitos pontos em uma reta (e fora

Leia mais

Valter B. Dantas. Momento de Inércia

Valter B. Dantas. Momento de Inércia Valter B. Dantas Momento de Inércia Momento de Inércia de um Sistema Contínuo de Partículas Como calcular o momento de inércia de uma barra retilínea de material homogêneo em relação a um eixo perpendicular

Leia mais

DESENHO TÉCNICO ( AULA 03)

DESENHO TÉCNICO ( AULA 03) Sólidos Geométricos DESENHO TÉCNICO ( AULA 03) Você já sabe que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano. Quando uma figura geométrica tem pontos situados em diferentes planos, temos

Leia mais

MAT146 - Cálculo I - Cálculo de Áreas

MAT146 - Cálculo I - Cálculo de Áreas Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Anteriormente, definimos a área de uma região plana como sendo o limite de uma soma de Riemann e que tal limite é uma integral definida.

Leia mais

Equações paramétricas da Reta

Equações paramétricas da Reta 39 6.Retas e Planos Equações de Retas e Planos Equações da Reta Vamos supor que uma reta r é paralela a um vetor V = a, b, c) não nulo e que passa por um ponto P = x, y, z ). Um ponto P = x, pertence a

Leia mais

Geometria Espacial. Revisão geral

Geometria Espacial. Revisão geral Geometria Espacial Revisão geral Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente:

Leia mais

1 PONTOS NOTÁVEIS. 1.1 Baricentro. 1.3 Circuncentro. 1.2 Incentro. Matemática 2 Pedro Paulo

1 PONTOS NOTÁVEIS. 1.1 Baricentro. 1.3 Circuncentro. 1.2 Incentro. Matemática 2 Pedro Paulo Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA VIII 1 PONTOS NOTÁVEIS 1.1 Baricentro O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo. Na figura abaixo, é o ponto médio do lado, é o ponto médio do lado

Leia mais

Sejam VÛ, V½, VÝ os volumes dos sólidos gerados pela rotação do triângulo em torno dos lados A, B e C, respectivamente.

Sejam VÛ, V½, VÝ os volumes dos sólidos gerados pela rotação do triângulo em torno dos lados A, B e C, respectivamente. 1. (Ufpe 96) O trapézio 0ABC da figura a seguir gira completamente em torno do eixo 0x. Calcule o inteiro mais próximo do volume do sólido obtido. 2. (Fuvest 91) Considere um triângulo retângulo com hipotenusa

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015-2 a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015-2 a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 205-2 a Fase Proposta de resolução GRUPO I. O valor médio da variável aleatória X é: µ a + 2 2a + 0, Como, numa distribuição de probabilidades de uma variável aleatória,

Leia mais

Aplicações de. Integração

Aplicações de. Integração Aplicações de Capítulo 6 Integração APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO Neste capítulo exploraremos algumas das aplicações da integral definida, utilizando-a para calcular áreas entre curvas, volumes de sólidos e

Leia mais

Aula 6 Propagação de erros

Aula 6 Propagação de erros Aula 6 Propagação de erros Conteúdo da aula: Como estimar incertezas de uma medida indireta Como realizar propagação de erros? Exemplo: medimos A e B e suas incertezas. Com calcular a incerteza de C, se

Leia mais

Construções Geométricas

Construções Geométricas Desenho Técnico e CAD Técnico Prof. Luiz Antonio do Nascimento Engenharia Ambiental 2º Semestre Ângulo - é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem. Classificação dos ângulos: Tipos

Leia mais

PUC-Rio Desafio em Matemática 23 de outubro de 2010

PUC-Rio Desafio em Matemática 23 de outubro de 2010 PUC-Rio Desafio em Matemática 3 de outubro de 010 Nome: GABARITO Assinatura: Inscrição: Identidade: Questão Valor Nota Revisão 1 1,0 1,0 3 1,0 4 1,5 5 1,5 6,0 7,0 Nota final 10,0 Instruções Mantenha seu

Leia mais

Aula 9. Superfícies de Revolução. Seja C uma curva e r uma reta contidas num plano π.

Aula 9. Superfícies de Revolução. Seja C uma curva e r uma reta contidas num plano π. Aula 9 Superfícies de Revolução Seja C uma curva e r uma reta contidas num plano π. Fig. 1: Superfície de revolução S, geratriz C e eixo r contidos no plano π A superfície de revolução S de geratriz C

Leia mais

Desenho Técnico e Geometria Descritiva Construções Geométricas. Construções Geométricas

Desenho Técnico e Geometria Descritiva Construções Geométricas. Construções Geométricas Desenho Técnico e Geometria Descritiva Prof. Luiz Antonio do Nascimento Engenharia Ambiental 2º Semestre Bissetriz - é a reta que divide um ângulo qualquer em dois ângulos iguais, partindo do vértice deste

Leia mais

1 - RECORDANDO 2 - CENTRO NA ORIGEM 3 - EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA. Exercício Resolvido 2: Exercício Resolvido 1: Frente I

1 - RECORDANDO 2 - CENTRO NA ORIGEM 3 - EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA. Exercício Resolvido 2: Exercício Resolvido 1: Frente I Matemática Frente I CAPÍTULO 22 EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA 1 - RECORDANDO Até agora, o nosso foco principal foi as retas: calculamos as equações geral e reduzida de uma reta, a interseção entre duas retas,

Leia mais

MATEMÁTICA (11º ano) Exercícios de Exames e Testes Intermédios Equações de retas e planos

MATEMÁTICA (11º ano) Exercícios de Exames e Testes Intermédios Equações de retas e planos MATEMÁTICA (11º ano) Exercícios de Exames e Testes Intermédios Equações de retas e planos 1 Seja um número real. Considere, num referencial o.n., a reta e o plano definidos, respetivamente, por e Sabe-se

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência)

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência) EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência) ************************************************************************************* 1) (U.F.PA) Se a distância

Leia mais

Novo Espaço Matemática A 11.º ano Proposta de Teste Intermédio [Novembro 2015]

Novo Espaço Matemática A 11.º ano Proposta de Teste Intermédio [Novembro 2015] Proposta de Teste Intermédio [Novembro 05] Nome: Ano / Turma: N.º: Data: - - Não é permitido o uso de corretor. Deves riscar aquilo que pretendes que não seja classificado. Para cada resposta, identifica

Leia mais

Consideremos um triângulo de lados a,b e c. Temos duas possibilidades: ou o triângulo é acutângulo ou é obtusângulo. Vejamos:

Consideremos um triângulo de lados a,b e c. Temos duas possibilidades: ou o triângulo é acutângulo ou é obtusângulo. Vejamos: Lei dos Cossenos Consideremos um triângulo de lados a,b e c. Temos duas possibilidades: ou o triângulo é acutângulo ou é obtusângulo. Vejamos: Triângulo Obtusângulo Tomemos um triângulo Obtusângulo qualquer,

Leia mais

MATEMÁTICA 32,2 30. 0 2 4 5 6 8 10 x

MATEMÁTICA 32,2 30. 0 2 4 5 6 8 10 x MATEMÁTICA 01. O preço pago por uma corrida de táxi normal consiste de uma quantia fixa de R$ 3,50, a bandeirada, adicionada de R$ 0,25 por cada 100 m percorridos, enquanto o preço pago por uma corrida

Leia mais

UNICAMP - 2005. 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

UNICAMP - 2005. 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR UNICAMP - 2005 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 São conhecidos os valores calóricos dos seguintes alimentos: uma fatia de pão integral, 55 kcal; um litro de leite,

Leia mais

Por que as antenas são parabólicas?

Por que as antenas são parabólicas? Por que as antenas são parabólicas? Adaptado do artigo de Eduardo Wagner A palavra parábola está, para os estudantes do ensino médio, associada ao gráfico da função polinomial do segundo grau. Embora quase

Leia mais

UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL Exercícios propostos: aulas 01 e 02 GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO GA - LISTA DE EXERCÍCIOS 001 1. Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dado A = (2, 1), B = (-1, 3) e C = (4, -2). 2. Provar que

Leia mais

1.1 UFPR 2014. Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 04 de Novembro de 2014

1.1 UFPR 2014. Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 04 de Novembro de 2014 Sumário 1 Questões de Vestibular 1 1.1 UFPR 2014.................................... 1 1.1.1 Questão 1................................. 1 1.1.2 Questão 2................................. 2 1.1.3 Questão

Leia mais

PROVA PARA OS ALUNOS DE 2º ANO DO ENSINO MÉDIO. 4 cm

PROVA PARA OS ALUNOS DE 2º ANO DO ENSINO MÉDIO. 4 cm PROVA PARA OS ALUNOS DE º ANO DO ENSINO MÉDIO 1ª Questão: Um cálice com a forma de um cone contém V cm de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de cm é colocada dentro do cálice. Supondo

Leia mais

GEOMETRIA ESPACIAL. Professores: Jotair Kwaitkowski Jr e Maria Regina Lopes

GEOMETRIA ESPACIAL. Professores: Jotair Kwaitkowski Jr e Maria Regina Lopes GEOMETRIA ESPACIAL Professores: Jotair Kwaitkowski Jr e Maria Regina Lopes Caros alunos, Esse ebook é um pdf interativo. Para conseguir acessar todos os seus recursos, é recomendada a utilização do programa

Leia mais

Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota:

Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Questão 1 (OBMEP RJ) Qual é a menor das raízes da equação Questão 2 (OBMEP RJ adaptada) Mariana entrou na sala e viu

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 1 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 1 Professor Marco Costa 1 1. (Fgv 2005) No plano cartesiano, considere o feixe de paralelas 2x + y = c em que c Æ R. a) Qual a reta do feixe com maior coeficiente linear que intercepta a região determinada pelas inequações: ýx

Leia mais

Frente 3 Aula 20 GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas Cartesianas Ortogonais

Frente 3 Aula 20 GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas Cartesianas Ortogonais Frente ula 0 GEOETRI NLÍTI oordenadas artesianas Ortogonais Sistema cartesiano ortogonal Sabemos que um sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eios perpendiculares entre si com uma origem comum.

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 3. Questão 2. Questão 4. alternativa A. alternativa E. alternativa E

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 3. Questão 2. Questão 4. alternativa A. alternativa E. alternativa E Questão TIPO DE PROVA: A Uma empresa entrevistou k candidatos a um determinadoempregoerejeitouumnúmerode candidatos igual a 5 vezes o número de candidatos aceitos. Um possível valor para k é: a) 56 b)

Leia mais

P 3 ) Por dois pontos distintos passa uma única reta. P 4 ) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.

P 3 ) Por dois pontos distintos passa uma única reta. P 4 ) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas. Geometria Espacial Conceitos primitivos São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:

Leia mais

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 Geometria Plana I Exercícios TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O revestimento do piso de um ambiente, com a utilização de tacos de madeira, pode ser feito formando desenhos que constituam um elemento decorativo

Leia mais

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos.

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos. VTB 008 ª ETAPA Solução Comentada da Prova de Matemática 0 Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 00 alunos Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação Dentre

Leia mais

De modo análogo as integrais duplas, podemos introduzir novas variáveis de integração na integral tripla.

De modo análogo as integrais duplas, podemos introduzir novas variáveis de integração na integral tripla. 8 Mudança de variável em integrais riplas 38 De modo análogo as integrais duplas, podemos introduzir novas variáveis de integração na integral tripla. I f ( dxddz Introduzindo novas variáveis de integração

Leia mais

MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO ESCOLA DE SARGENTOS DAS ARMAS ESCOLA SARGENTO MAX WOLF FILHO

MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO ESCOLA DE SARGENTOS DAS ARMAS ESCOLA SARGENTO MAX WOLF FILHO MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO ESCOLA DE SARGENTOS DAS ARMAS ESCOLA SARGENTO MAX WOLF FILHO EXAME INTELECTUAL AOS CURSOS DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS 015-16 GABARITO DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA Sendo

Leia mais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada TPC nº 6 (entregar no dia 14 01

Leia mais

Capítulo 6. Geometria Plana

Capítulo 6. Geometria Plana Capítulo 6 Geometria Plana 9. (UEM - 2013 - Dezembro) Com base nos conhecimentos de geometria plana,assinale o que for correto. 01) O maior ângulo interno de um triângulo qualquer nunca possui medida inferior

Leia mais

MATEMÁTICA. cos x : cosseno de x log x : logaritmo decimal de x

MATEMÁTICA. cos x : cosseno de x log x : logaritmo decimal de x MATEMÁTICA NESTA PROVA SERÃO UTILIZADOS OS SEGUINTES SÍMBOLOS E CONCEITOS COM OS RESPECTIVOS SIGNIFICADOS: x : módulo do número x i : unidade imaginária sen x : seno de x cos x : cosseno de x log x : logaritmo

Leia mais

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B R C i z Rez) Imz) det A tr A : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : parte real do número z C : parte imaginária do número z C

Leia mais

FUVEST VESTIBULAR 2006. RESOLUÇÃO DA PROVA DA FASE 2. Por Professora Maria Antônia Conceição Gouveia

FUVEST VESTIBULAR 2006. RESOLUÇÃO DA PROVA DA FASE 2. Por Professora Maria Antônia Conceição Gouveia FUVEST VESTIBULAR 6 RESOLUÇÃO DA PROVA DA FASE Por Professora Maria Antônia Conceição Gouveia QUESTÃO Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de m por m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja,

Leia mais

Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici

Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 3 R E TA S E P L A N O S Dando continuidade ao nosso estudo sobre lugares geométricos e suas equações, vamos nos concentrar agora no estudo de dois elementos geométricos fundamentais da geometria as retas

Leia mais

Como calcular sua área?

Como calcular sua área? TRAPÉZIO Vamos tentar preencher o trapézio com os quadradinhos. Somente 40 pequenos quadrados de 1 u.a. estão na superfície interna. Os outros estão parte dentro e parte fora. Como calcular sua área? TRAPÉZIO

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 3 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 3 Professor Marco Costa 1 1. (Fgv 97) Uma empresa produz apenas dois produtos A e B, cujas quantidades anuais (em toneladas) são respectivamente x e y. Sabe-se que x e y satisfazem a relação: x + y + 2x + 2y - 23 = 0 a) esboçar

Leia mais

Professor Alexandre Assis. 1. O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura.

Professor Alexandre Assis. 1. O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura. 1. O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura. A aresta VA é perpendicular ao plano da base e tem a mesma medida do segmento AD. O seguimento AB mede 6 cm. Determine o volume

Leia mais

Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 2003/04 Geometria 2 - Revisões 11.º Ano

Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 2003/04 Geometria 2 - Revisões 11.º Ano Escola Secundária/ da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática no Lectivo 00/0 Geometria - Revisões º no Nome: Nº: Turma: região do espaço definida, num referencial ortonormado, por + + = é: [] a circunferência

Leia mais

QUESTÃO 16 Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50 cm de altura no muro e colocaram uma escada sobre ele, conforme a figura.

QUESTÃO 16 Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50 cm de altura no muro e colocaram uma escada sobre ele, conforme a figura. Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO EM 0 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50

Leia mais

a, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3

a, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3 Matemática 0. Considere a expressão x x 3 5x x 6. Pede-se: A) encontrar o valor numérico da expressão para x. B) obter todas as raízes complexas do polinômio p(x) x x 3 5x x 6. Questão 0 Comentários: A

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015 - Época especial

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015 - Época especial Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ano 015 - Época especial Proposta de resolução GRUPO I 1. Como P A B = P A + P B P A B, substituindo os valores conhecidos, podemos calcular P A: 0,7 = P A + 0,4 0, 0,7

Leia mais

Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos

Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos 1. (Fgv 013) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é

Leia mais

Gabarito - Colégio Naval 2016/2017 Matemática Prova Amarela

Gabarito - Colégio Naval 2016/2017 Matemática Prova Amarela Gabarito - Colégio Naval 016/017 PROFESSORES: Carlos Eduardo (Cadu) André Felipe Bruno Pedra Jean Pierre QUESTÃO 1 Considere uma circunferência de centro O e raio r. Prolonga-se o diâmetro AB de um comprimento

Leia mais

Sendo o polinômio P(x), de grau quatro e divisível por Q(x) = x 3, o resto de sua divisão por D(x) = x 5 é

Sendo o polinômio P(x), de grau quatro e divisível por Q(x) = x 3, o resto de sua divisão por D(x) = x 5 é Questão 01) O polinômio p(x) = x 3 + x 2 3ax 4a é divisível pelo polinômio q(x) = x 2 x 4. Qual o valor de a? a) a = 2 b) a = 1 c) a = 0 d) a = 1 e) a = 2 TEXTO: 1 Para fazer um estudo sobre certo polinômio

Leia mais

A lei dos senos. Na Aula 42 vimos que a Lei dos co-senos é. a 2 = b 2 + c 2-2bc cos Â

A lei dos senos. Na Aula 42 vimos que a Lei dos co-senos é. a 2 = b 2 + c 2-2bc cos  A UA UL LA A lei dos senos Introdução Na Aula 4 vimos que a Lei dos co-senos é uma importante ferramenta matemática para o cálculo de medidas de lados e ângulos de triângulos quaisquer, isto é, de triângulos

Leia mais

ESCOLA ESTADUAL DR. JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA - ANO 2013 RECUPERAÇÃO ESTUDOS INDENPENDENTES

ESCOLA ESTADUAL DR. JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA - ANO 2013 RECUPERAÇÃO ESTUDOS INDENPENDENTES ESCOLA ESTADUAL DR. JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA - ANO 2013 RECUPERAÇÃO ESTUDOS INDENPENDENTES Nome Nº Turma 3 EJAS Data / / Nota Disciplina Matemática Prof. Elaine e Naísa Valor 30 Instruções: TRABALHO DE

Leia mais

Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios - Geometria Analítica. 6. Duas pessoas A e B decidem se encontrar em

Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios - Geometria Analítica. 6. Duas pessoas A e B decidem se encontrar em 6. Duas pessoas A e B decidem se encontrar em 1. Sendo (x + 2, 2y - 4) = (8x, 3y - 10), determine o valor de x e de y. um determinado local, no período de tempo entre 0h e 1h. Para cada par ordenado (x³,

Leia mais

30's Volume 8 Matemática

30's Volume 8 Matemática 30's Volume 8 Matemática www.cursomentor.com 18 de dezembro de 2013 Q1. Simplique a expressão: Q2. Resolva a expressão: Q3. Calcule o inverso da expressão: ( 3 2 ) 3 16 10 4 8 10 5 10 3 64 10 5 10 6 0,

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 2 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 2 Professor Marco Costa 1 1. (Fgv 2001) a) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x +y -4x=0 e o ponto P(3,Ë3). Verificar se P é interior, exterior ou pertencente à circunferência. b) Dada a circunferência

Leia mais

Exercícios de Revisão Áreas de figuras Planas 3 o Ano Ensino Médio - Manhã

Exercícios de Revisão Áreas de figuras Planas 3 o Ano Ensino Médio - Manhã Exercícios de Revisão Áreas de figuras Planas 3 o Ano Ensino Médio - Manhã ======================================================== 1) Num retângulo, a base tem cm a mais do que o dobro da altura e a diagonal

Leia mais

Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte 3. Circunferência. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte 3. Circunferência. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte Circunferência. 8 ano/e.f. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda Elementos Básicos de Geometria - Parte. Circunferência. 1 Exercícios Introdutórios Exercício

Leia mais

Lista 7 Funções de Uma Variável

Lista 7 Funções de Uma Variável Lista 7 Funções de Uma Variável Aplicações de Integração i) y = sec 2 (x) y = cos(x), x = π x = π Áreas 1 Determine a área da região em cinza: Ache a área da região delimitada pela parábola y = x 2 a reta

Leia mais

Versão 2. Identifica claramente, na folha de respostas, a versão do teste (1 ou 2) a que respondes.

Versão 2. Identifica claramente, na folha de respostas, a versão do teste (1 ou 2) a que respondes. Teste Intermédio de Matemática Versão 2 Teste Intermédio Matemática Versão 2 Duração do Teste: 90 minutos 07.02.2011 9.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 6/2001, de 18 de Janeiro Identifica claramente,

Leia mais

Metrologia Professor: Leonardo Leódido

Metrologia Professor: Leonardo Leódido Metrologia Professor: Leonardo Leódido Sumário Definição Conceitos Básicos Classificação de Forma de Orientação de Posição Definição Tolerância pode ser definida como um intervalo limite no qual as imperfeições

Leia mais

O Plano. Equação Geral do Plano:

O Plano. Equação Geral do Plano: O Plano Equação Geral do Plano: Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = (a, b, c), n 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano (figura ao lado). Como n π, n é ortogonal a todo vetor

Leia mais

Origem do nome de alguns termos usados na geometria: ÂNGULO. angle angle ángulo Winkel. Inglês Francês Espanhol Alemão

Origem do nome de alguns termos usados na geometria: ÂNGULO. angle angle ángulo Winkel. Inglês Francês Espanhol Alemão INTRODUÇÃO Origem do nome de alguns termos usados na geometria: ÂNGULO angle angle ángulo Winkel Inglês Francês Espanhol Alemão Do latim angulus. O sufixo-ulus implica diminutivo. Assim, angulus é entendido

Leia mais

Matemática A. Novembro de 2009

Matemática A. Novembro de 2009 Matemática A Novembro de 2009 Matemática A Itens 10.º Ano de Escolaridade No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 29 de Janeiro de 2010, os itens de grau de dificuldade mais elevado poderão ser

Leia mais

Volume de um sólido de Revolução

Volume de um sólido de Revolução Algumas aplicações da engenharia em estática, considerando um corpo extenso, e com distribuição continua de massa, uniforme ou não é necessário determinar-se e momento de inércia, centroide tanto de placas

Leia mais

Engrenagens são elementos de máquinas que transmitem o movimento por meio de sucessivos engates de dentes, onde os dentes atuam como pequenas

Engrenagens são elementos de máquinas que transmitem o movimento por meio de sucessivos engates de dentes, onde os dentes atuam como pequenas Engrenagens Engrenagens são elementos de máquinas que transmitem o movimento por meio de sucessivos engates de dentes, onde os dentes atuam como pequenas alavancas. Classificação das Engrenagens As engrenagens

Leia mais

Seja a função: y = x 2 2x 3. O vértice V e o conjunto imagem da função são dados, respectivamente, por: d) V = (1, 4), Im = {y y 4}.

Seja a função: y = x 2 2x 3. O vértice V e o conjunto imagem da função são dados, respectivamente, por: d) V = (1, 4), Im = {y y 4}. MATEMÁTICA b Seja a função: y = x 2 2x. O vértice V e o conjunto imagem da função são dados, respectivamente, por: a) V = (, 4), Im = {y y 4}. b) V = (, 4), Im = {y y 4}. c) V = (, 4), Im = {y y 4}. d)

Leia mais

Preço de uma lapiseira Quantidade Preço de uma agenda Quantidade R$ 10,00 100 R$ 24,00 200 R$ 15,00 80 R$ 13,50 270 R$ 20,00 60 R$ 30,00 160

Preço de uma lapiseira Quantidade Preço de uma agenda Quantidade R$ 10,00 100 R$ 24,00 200 R$ 15,00 80 R$ 13,50 270 R$ 20,00 60 R$ 30,00 160 Todos os dados necessários para resolver as dez questões, você encontra neste texto. Um funcionário do setor de planejamento de uma distribuidora de materiais escolares verifica que as lojas dos seus três

Leia mais

Relações métricas no triângulo retângulo, Áreas de figuras planas, Prisma e Cilindro.

Relações métricas no triângulo retângulo, Áreas de figuras planas, Prisma e Cilindro. Lista de exercícios de geometria Relações métricas no triângulo retângulo, Áreas de figuras planas, Prisma e Cilindro. 1. A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10 cm, e cuja base é o pentágono

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA CONCURSO DE ADMISSÃO 2013/2014 1º ANO DO ENSINO MÉDIO

PROVA DE MATEMÁTICA CONCURSO DE ADMISSÃO 2013/2014 1º ANO DO ENSINO MÉDIO CONCURSO DE ADMISSÃO 2013/2014 PROVA DE MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO CONFERÊNCIA: Membro da CEOCP (Mat / 1º EM) Presidente da CEI Dir Ens CPOR / CMBH PÁGINA 1 RESPONDA AS QUESTÕES DE 1 A 20 E TRANSCREVA

Leia mais

Capítulo 4. Retas e Planos. 4.1 A reta

Capítulo 4. Retas e Planos. 4.1 A reta Capítulo 4 Retas e Planos Neste capítulo veremos como utilizar a teoria dos vetores para caracterizar retas e planos, a saber, suas equações, posições relativas, ângulos e distâncias. 4.1 A reta Sejam

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta Questão São conhecidos os valores calóricos dos seguintes alimentos: uma fatia de pão integral, 55 kcal; um litro de leite, 550 kcal; 00 g de manteiga,.00 kcal; kg de queijo,.00 kcal; uma banana, 80 kcal.

Leia mais

Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. 8 ano/9 a série E.F.

Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. 8 ano/9 a série E.F. Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Relações Métricas no Triângulo Retângulo. 8 ano/9 a série E.F. Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Relações Métricas no Triângulo Retângulo.

Leia mais

b) 1, 0. d) 2, 0. Página 1 de 10

b) 1, 0. d) 2, 0.  Página 1 de 10 Retas: Paralelas, Perpendiculares, Inequações de retas, Sistema de inequações de retas, Distância entre ponto e reta e Distância entre duas retas paralelas. 1. (Insper 014) No plano cartesiano da figura,

Leia mais

ABCD ADEF 810. é a corda da circunferência contida no eixo Oy. é uma corda da circunferência, paralela ao eixo Ox

ABCD ADEF 810. é a corda da circunferência contida no eixo Oy. é uma corda da circunferência, paralela ao eixo Ox Ficha de Trabalho n.º 3 página.1. Mostre que o ponto C tem coordenadas ( 09, ) e que o ponto D tem coordenadas ( 8, 9 )... Determine uma equação da mediatriz do segmento AD. Apresente a sua resposta na

Leia mais

O número mínimo de usuários para que haja lucro é 27.

O número mínimo de usuários para que haja lucro é 27. MATEMÁTICA d Um reservatório, com 0 litros de capacidade, já contém 0 litros de uma mistura gasolina/álcool com 8% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova mistura gasolina/álcool de modo que

Leia mais

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME EXERÍIOS DE GEOMETRI PLN REVISÃO 1991 PROF PULO ROERTO 01 (IME-64) Uma corda corta o diâmetro de um círculo segundo um ângulo de 45º Demonstrar que a soma do quadrado dos segmentos aditivos m e n, com

Leia mais

Aula 32. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

Aula 32. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil Superfícies de Revolução e Outras Aplicações Aula 32 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 29 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia

Leia mais

Lista de Estudo P2 Matemática 2 ano

Lista de Estudo P2 Matemática 2 ano Lista de Estudo P2 Matemática 2 ano 24) Dada a figura a seguir e sabendo-se que os dois quadrados possuem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a área da parte preenchida? a) 100.

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área de Superfície de Revolução

CÁLCULO I. 1 Área de Superfície de Revolução CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 6: Área de Superfície de Revolução e Pressão Hidrostática Objetivos da Aula Calcular a área de superfícies de revolução; Denir pressão hidrostática.

Leia mais

7) (F.C.CHAGAS) Determine a área da região hachurada nos casos:

7) (F.C.CHAGAS) Determine a área da região hachurada nos casos: EXERCÍCIOS - PARTE 1 1) (PUC) Se a área do retângulo é de 32 cm 2 e os triângulos formados são isósceles, então o perímetro do pentágono hachurado, em cm, é: 39 a) b) 10+7 2 c) 10 + 12 2 d) 32 e) 70 2

Leia mais

Eixo Temático ITema 1: Conjuntos Numéricos. Números e Operações

Eixo Temático ITema 1: Conjuntos Numéricos. Números e Operações Eixo Temático ITema 1: Conjuntos Numéricos Números e Operações 1. Conjunto dos números naturais 2. Conjunto dos números inteiros 1.0. Conceitos 3 1.1. Operar com os números naturais: adicionar, multiplicar,

Leia mais

Faculdade Pitágoras Unidade Betim

Faculdade Pitágoras Unidade Betim Faculdade Pitágoras Unidade Betim Atividade de Aprendizagem Orientada Nº 4 Profª: Luciene Lopes Borges Miranda Nome/ Grupo: Disciplina: Cálculo III Tempo da atividade: h Curso: Engenharia Civil Data da

Leia mais