6.2. Volumes. Nesta seção aprenderemos a usar a integração para encontrar o volume de um sólido. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO

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1 APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 6.2 Volumes Nesta seção aprenderemos a usar a integração para encontrar o volume de um sólido.

2 SÓLIDOS IRREGULARES Começamos interceptando S com um plano e obtemos uma região plana chamada seção transversal de S.

3 SÓLIDOS IRREGULARES Seja A(x) a área da secção transversal de S no plano P x perpendicular ao eixo x e passando pelo ponto x, onde a x b. Pense em fatiar S por x e calcular a área de uma fatia.

4 SÓLIDOS IRREGULARES Vamos dividir S em n fatias de larguras iguais a x usando os planos P x1, P x2,... para fatiar o sólido. Pense em fatiar um filão de pão.

5 DEFINIÇÃO DE VOLUME Seja S um sólido que está entre x = a e x = b. Se a área da secção transversal de S no plano P x, passando por x e perpendicular ao eixo x, é A(x), onde A é uma função contínua, então o volume de S é: n V = lim A( xi*) Δ x= A( x) dx x i = 1 b a

6 ESFERAS Mostre que o volume de uma esfera de raio 3 r é 4 V = π r. 3 Exemplo 1

7 ESFERAS Assim, a área da secção transversal é: A x πy π r x Exemplo 1 ( ) = = ( )

8 ESFERAS Usando a definição de volume com a = -r e b = r, temos: r π ( ) r ( 2 2) V = A( x) dx = π r x dx r r r = r x dx Exemplo 1 (O integrando é par.) 3 r 3 2 x 3 r = 2π rx 2π r 3 = 3 0 π 3 = r

9 ESFERAS Observe que quando aumentamos o número de cilindros aproximantes, a correspondente soma de Riemann torna-se mais próxima do volume verdadeiro.

10 ESFERAS Exemplo 2 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y= x de 0 até 1. Ilustre a definição de volume esboçando um cilindro aproximante típico.

11 ESFERAS Exemplo 2 A região é exposta na Figura 6(a). Se fizermos a rotação em torno do eixo x, obteremos o sólido mostrado na Figura 6(b). Quando fatiamos no ponto x, obtemos um disco com raio x.

12 ESFERAS Exemplo 2 A área dessa secção transversal é: Ax ( ) = π ( x) = π x O volume do cilindro aproximante (um disco com espessura x) é: ( ) Δ = 2 Ax x π xδx

13 ESFERAS Exemplo 2 O sólido está entre x = 0 e x = 1. Assim, o seu volume é: V = = A( x) dx π 2 xdx 1 x = π = π

14 ESFERAS Exemplo 2 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x 3, Y = 8, e x = 0 em torno do eixo y.

15 ESFERAS Exemplo 2 Como a região é girada ao redor do eixo y, faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo y e, portanto, integrar em relação a y. Se fatiarmos a uma altura y, obteremos um disco circular com raio x, onde x = 3 y

16 ESFERAS Exemplo 3 Então, a área da seção transversal em y é: /3 A( y) = πx = π( y) = πy E o volume do cilindro aproximante mostrado é: 2/3 Ay ( ) Δ y= π y Δy

17 ESFERAS Como o sólido está entre y = 0 e y = 8, seu volume é: V = = A( y) dy π y y 3 5 dy 8 = π = 0 Exemplo π

18 ESFERAS Exemplo 4 A região R, limitada pelas curvas enclosed by the curves y = x e y = x 2 é girada em torno do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante.

19 ESFERAS Exemplo 4 As curvas y = x e y = x 2 interceptam nos pontos (0, 0) e (1, 1). A região entre esses pontos, o sólido de rotação e a secção transversal perpendicular ao eixo x são mostrados na Figura.

20 ESFERAS Exemplo 4 A A secção transversal no plano P x tem o formato de uma arruela (um anel) com raio interno x 2 e raio externo x, de modo que calculamos a área da secção transversal subtraindo a área do círculo interno da área do círculo externo: Ax ( ) = πx π( x) 2 4 = ( x x ) π

21 ESFERAS Portanto, temos: V = A( x) dx 2 4 = π ( x x ) dx x x = π 3 5 2π = 15 Exemplo

22 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Em geral, calculamos o volume de um sólido de revolução usando a fórmula básica da definição V b = A( x) dx ou V ( ) a = c d A y dy Encontramos a área da secção transversal A(x) ou A(y) por uma das seguintes maneiras.

23 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 1. Se a secção transversal é um disco (como nos Exemplos 1 3), encontramos o raio do disco (em termos de x ou y) e usamos: A = π(raio) 2

24 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Se a secção transversal é uma arruela (como nos Exemplos 4 e 5), encontramos o raio interno r in e o raio externo r ex a partir de um esboço. Calculamos a área da arruela subtraindo a área do disco interno da área do disco externo: A = π (raio externo) 2 π (raio interno) 2

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26 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Exemplo 6 A Figura mostra uma secção transversal horizontal. É uma arruela com raio interno 1 + y e raio externo1 + y.

27 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Exemplo 6 Assim, a área de seção transversal é:

28 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Exemplo 6 O volume é: V = 1 0 A( y) dy 1 ( ) 2 ( ) 2 = π 1 y 1 y + + dy ( 2 2 ) = π y y y dy y y y π = π =

29 VOLUMES Agora encontraremos os volumes de três sólidos que não são de revolução. A Figura mostra um sólido com base circular de raio 1. Secções transversais paralelas perpendiculares à base são triângulos equiláteros. Encontre o volume do sólido.

30 VOLUMES Exemplo 7 Consideremos o círculo como x 2 + y 2 = 1. O sólido, sua base e uma secção transversal típica a uma distância x da origem são mostrados na Figura.

31 VOLUMES Exemplo 7 Como B está no círculo, temos y = 1 x 2 Assim a base do triângulo ABC é AB = x

32 VOLUMES Exemplo 7 Como o triângulo é equilátero, vemos que a altura é 2 3y = 3 1 x

33 VOLUMES Exemplo 7 A área da secção transversal é, portanto: Ax ( ) = 2 1 x 3 1 x = 3(1 x )

34 VOLUMES Exemplo 7 O volume do sólido é: V = 1 1 A( x) dx = 3(1 x ) dx= 2 3(1 x ) dx 1 0 x 4 3 = 2 3 x =

35 VOLUMES Exemplo 8 Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com lado L e cuja altura é h.

36 VOLUMES Exemplo 8 Colocamos a origem O no vértice da pirâmide e o eixo x ao longo do seu eixo central. Qualquer plano P x que passa por x e é perpendicular ao eixo x intercepta a pirâmide em um quadrado com lado de comprimento s.

37 VOLUMES Exemplo 8 Podemos expressar s em termos de x observando que, para os triângulos semelhantes na Figura, x 2 = s = s de forma que s = Lx/h. h L 2 L Outro método é observar que a reta OP tem uma inclinação L/(2h), e desse modo a sua equação é y = Lx/(2h).

38 VOLUMES Exemplo 8 Portanto, a área da secção transversal é: L A( x) = s = x h

39 VOLUMES Exemplo 8 A pirâmide está entre x = 0 e x = h; assim o seu volume é: V = = 0 h 0 h A( x) dx 2 L 2 2 x dx h 2 3 h 2 L x L h = 2 h 3 = 3 0