1 Transformada de Laplace

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1 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6. Transformada de Laplace. Usando a definição de Transformada de Lapace, mostre que a) L{} = s, s>; b) L{e kt } = s k, s>k; c) L{t n } = n!, s>, n N; sn+ k d) L{sinkt)} = s + k, s>.. Sabendo que + e x dx = π,proveque L{t / } = r π s, s >. 3. Determine as transformadas de Laplace das funções definidas pelas seguintes expressões analíticas: a) ft) =e 3t cos t; F s) = s 3 s 3) +4 b) ft) =cos at; F s) = + s s s +4a ) c) ft) =sin5t cos t; F s) = s +49 s +9 d) ft) =t sin t; F s) = 6s s +) 3 e) ft) =t 3 e t. F s) = 6 s+) 4 f) ft) =te at cos bt), a, b IR F s) = s a) b 4. Determine a transformada de Laplace da seguinte função: ft) =t 5,t [, + [. [s a) +b ] F s) = 5 8 π s 3 s

2 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 5. a) Seja F s) =L{ft)}. Supondo que ft) t tem limite quando t, proveque L{ ft) } = t + s F u)du b) Determine a transformada de Laplace de cada uma das funções definidas pelas seguintes expressões analíticas: i. f t) = sin t ; F s) = π arctan s, s> t ii. g t) = cosat) ; G s) = ln s +a, s> s t iii. h t) = eat e at s+a. H s) =ln, s> a s a t 6. alcule a) L s ) ª ; b) L ½ 7 s ) 3 + s +) 4 ½ c) L s s +) s +) ½ ¾ e d) L πs ; s +6 te t ¾ ; 7 t e t + e t sinh t) ¾ ; e t t + sin t,t<π sin 4t),t π 4 e) L {arctan 4/s)} ½ ¾ f) L s +) t sin 4t) sin t t cos t

3 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 3. Aplicação da Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes 7. Use o operador Transformada de Laplace para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais que verifiquem as condições iniciais dadas. a) y +4y +4y = e x y) =,,x ; y ) = y = e x e x b) y +4y +3y =, y = e t e 3t y) = y ) =,t ; c) y y) = +6y 7=,,t ; y ) = y = 7 cos 6t 6 6 d) y y y = x, y) = y ) =,x ; y = 4 x 3 e x + ex e) y iv) k 4 y =, y) = y ) = y ) = y ) =,t ; y = 4 ekt + 4 e kt + cos kt) f) y y +5y =, y) = y ) =,t ; y = et sin t) g) y 9y =5e t, y) = y ) =,t ; y = + 3 e9t + 5 e t

4 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 4 h) y 5y +6y =3e 3t, y) = y ) =,t ; y =3te 3t 3e 3t +3e t i) y +4y =9t, y) = y ) = 7,t ; y = 9t + 9 sin t) 4 8 j) y y) = + y = cost, y ) = y = sin t + t sin t,t ; k) y 4y =sinht, y) = y ) = y ) =,t ; y = cosh t + cosh t) 4 3 l) y + y y =5e t sin t, y) = y ) =,t ; y = 3 et 3 e t + 4 e t cos t 3 4 e t sin t 8. Utilizando o operador Transformada de Laplace, determine a solução geral de cada uma das seguintes equações : a) y +y = e t, t y = e t + 3 et b) y +4y +3y =, t y = e 3t + e t 9. Usando a Transformada de Laplace, resolva o seguinte problema y 3y +y = e t,y) = e y ) =. Sugestão: Faça uma mudança de variável conveniente. y = 6 e t + 4e e e t + 3e e t 3e 3

5 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 5. Determine a solução de cada um dos seguintes problemas de valor inicial: y se t<4 +4y = se t 4 a). y) = 3 y ) = y = + cos t sin t +, t<4 4 4 [ +cost 4))],t 4 4 b) y se t<3 + y = 3t 7 se t 3. y) = y ) = cos t), t<3 y = 3t 7 cost 3sint 3),t 3 c) y +y + y = t 3)u 3 t) y) = y ) =. d) y = te t +[t 5) + e 3 t t )] u 3 t) y + y = δ t π) y) =. y ) = e) y =sint + u π t)) y +4y +3y = δ t π)+δ t 3π) y) = y ) =. f) y = e t cos 3t)+ 3 e t sin 3t)+ 3 e t π) sin 3 t π) u π t)+ 3 e t 3π) sin 3 t 3π) u 3π t) y +y +y = costδt 3π) y) = y ) = Sugestão: Atender a que + y = e t 3π) sin tu 3π t)+e t cos t f t) δ t t ) dt = f t ), sendo f contínua em ], + [.

6 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 6. Determine a solução de cada um dos seguintes problemas: y t)+yt)+ R t yu)du = sint a). y = 3 y) = te t + e t + sin t b) y t) = sint + R t yt u)cosudu y) =. y = t. Uma massa de, kg provoca um alongamento de cm numa mola. A massa é deslocada 5cm no sentido positivo e libertada sem velocidade inicial. Suponha-se ainda que o sistema se move num meio que oferece uma resistência ao movimento da massa numericamente igual a, vezes a velocidade instantânea da massa e que uma força externa de N, vertical e apontando para baixo, actua na massa a partir do instante t =5s. Determine a posição da massa em cada instante. yt) =.4e 4t 5) u 5 t).48e 7t 5) u 5 t)+.4u 5 t)+.e 7t.5e 4t 3. Um tanque contém litros de água com 3kg de sal dissolvidos e está ligado a duas válvulas, A e B. A partir do instante t =entram no tanque, através de A, 6L/ min de uma solução com uma concentração de, 4kg/L de sal. A partir do instante t =a válvula A é fechada e passam a entrar, através de B, 6L/ min de uma solução com uma concentração de, kg/l de sal. Existe também a válvula de saída pela qual saiem 6L/ min de solução, mantendo-se constante o volume da solução dentro do tanque. Suponha ainda que, em cada instante, as soluções são homogéneas. Determine, em cada instante, a quantidade de sal dentro do tanque.

7 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 7 x t) =4 37e 3t 5, t< e 3 5 t ),t 4. Uma trave uniforme de comprimento L, fixa nas extremidades e suportando uma carga, por unidade de comprimento, ω x), sofre uma deflexão y x) que satisfaz o problema EIy 4) x) =ω x) y ) =, yl) =,y ) =, y L) =, onde E e I são constantes. Supondo que a carga é dada por ω x) = K, x< L L, x L, onde K é constante, determine a deflexão y x). y = KL 384EI x 3KL 9EI x3 + KL 384EI x 3KL 9EI x3 + K 4EI x4, se x< L K 4EI x4 K 4EI x L 4, se x L 5. UmatraveuniformedecomprimentoL, fixa apenas na extremidade esquerda e suportando uma carga, por unidade de comprimento, ω x), sofreumadeflexão y x) que satisfaz o problema EIy 4) x) =ω x) y ) =, y ) =, y L) =,y L) =, onde E e I são constantes. Supondo que a carga é dada por ω x) = onde k é constante, determine a deflexão y x). k, x< L L, x L,

8 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 8 y = KL 6EI x KL EI x3 + KL 6EI x KL EI x3 + K 4EI x4, se x< L K 4EI x4 K 4EI x L 4, se x L 6. Resolvaoproblemaanteriornocasodacargaserdadapor, x< L 3 L ω x) = k, 3 x< L. 3 L x L 3 KL EI x KL 8EI x3, se x< L 3 KL y = EI x KL 8EI x3 + K 4EI x L 4 ³, se L x< L KL x EI x KL 8EI x3 + K 4EI L 4 4 x L, se x L UmatraveuniformedecomprimentoL, fixa apenas na extremidade esquerda e suportando uma carga P, concentrada em x = L,sofreumadeflexão y x) quesatisfazoproblema EIy 4) x) =P δ x L y ) =, y ) =, y L) =,y L) =, onde P, E e I são constantes. Determine y x). y = P L EI 4 x x3 6, se x< L P L 48EI, se x L

9 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 9. Aplicação da Transformada de Laplace na resolução de sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes 8. Use a Transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes sistemas de equações diferenciais que satisfazem às condições iniciais dadas. a) b) y + y = y + y =,com d x dt d y y =cosht y = sinh t 6 dy 7x = dt + x = 3, com dt y ) = y ) =. x =3 9 et et 3 e 3t y = 49 7 t + 9 et 9 et + 3 e 3t x ) = = x ) y ) = = y ). c) x +4x +3y =,com y +3x +4y = e t x = 3 8 et + e t 8 e 7t y = 5 8 et e t 8 e 7t x ) = y ) =. d) y +y + z = sinx z 4y z = cosx, com y = 3x +sinx z =3+6x cosx 3sinx y ) = z ) =. e) 5y + z +4z = sint y ) = = y ), com y +z + y = z ) = = z ). y = cos t cosh t + cosh t z = sinh t sinh t 6 3

10 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 9. Determine a solução geral dos seguintes sistemas: y + y = a) y + y = y = e t + e t + t + 3 y = e t e t b) y + z = y + z = ³ 3 x ³ 3 x y = e x + e x cos e x sin ³ 3 x ³ 3 x z = e x + 3 e x cos e x sin. Suponha que num tanque A se encontram 5 litros de água pura, estando este tanque ligado a um tanque B com 5 litros de água contendo.5kg de sal dissolvidos. É posto em funcionamento um dispositivo que faz com que, por minuto, entrem no tanque A 4 litros de solução com uma concentração de, kg/l de sal; entre no tanque B litro de solução com uma concentração de, kg/l de sal; passe do tanque B para o tanque A, litro de solução; passem do tanque A para o tanque B, 4 litros de solução; saia solução do sistema por ambos os tanques: do tanque A, L edotanqueb, 4L de solução. Suponha ainda que, em cada instante, as soluções são homogéneas. Determine a quantidade de sal em cada tanque e em cada instante. x t) =.8e 7 5 t 6.95e 3 5 t x t) =5.6e 7 5 t 3.9e 3 5 t +8.8

11 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 Método da Álgebra Linear na resolução de equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais: x = y x = e t + e t a) y = x + y y = e t e t b) y = y y = y 3 y3 = y +3y 3 y = + e x + 3 e x y = e x + 3 e x y 3 =4 e x + 3 e x c) x = y y = x x = sin t + cos t y = cos t + sin t d) x = y 7x y = x 5y x = e 6t cos t + sin t) y = e 6t cos t sin t) + sin t +cost)) e) f) g) y = y y = y y3 = y y + y 3 y = y + y + y 3 y = y + y + y 3 y3 = y + y + y 3 y = y +5y + y 3 y = 5y 6y +4y 3 y3 = y 3 y = e x + 3 e x y = e x 3 e x y 3 = e x 3 e x y = + 3 e 3x y = + 3 e 3x y 3 = + 3 e 3x y =8 e x +5e x cos 3x)+ 3 sin 3x)) y = 5 e x + e x 4cos3x) 3sin3x)) + 3 4sin3x)+3cos3x))) y 3 =5 e x

12 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 h) x = x + y + z y = y z = y + z x = e t + e t + 3 te t + et y = 3 e t z = e t + 3 te t i) j) k) l) y = y 3 y = y 3 + y y3 = y + y y = y y = y +y y 3 y3 = y + e t y = e t y = 3y +y +e t y = y y + e t " # " y = e t + y = y y y 3 + e x y = y +3y 3 + x t t t + # e t + y3 = 3y + y 3 x y = e x 3 e 4x + xe x y = e x +3 3 e 4x + x 4 y 3 = e x +3 3 e 4x x + 4 y = e x + e x + 3 e x x +) y =3 e x 3 e x y 3 =4 e x e x 3 xe x + 3 e t " # e t t + t +. Resolva as seguintes equações diferenciais: a) y y y +y = y = e x + e x + 3 e x b) y y + y = y = xe x + e x c) y y + y =coshx y = + e x + 3 xe x 8 e x + 4 x e x

13 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 3 3 Superfícies Quádricas. Identifique e faça um esboço gráfico de cada uma das seguintes superfícies quádricas: a) x +y + z = b) x + z =9 c) x + y + z = z d) x + y =4 z e) z 4) = x + y f) y = x z = y g) x h) x +y z = i) x y z =9. Represente geometricamente o sólido S definido pelas condições: a) x + y z x y b) x + y 4 e x + y z 6) c) x + y e z x + y d) z e x + y z 3. Faça o esboço gráfico dos seguintes subconjuntos de IR 3 : a) V = x, y, x) IR 3 : x, y, z, 6x +3y +z ª b) V = x, y, x) IR 3 : x + y =6y e x + y + z 36 ª c) V = nx, y, x) IR 3 :4+z x + y e z p o x + y

14 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 4 4 álculo Integral 4. Integral Duplo 4.. álculo do integral duplo em coordenadas cartesianas. alcule fx, y) da, sendo: D a) fx, y) =x + y e D =[, ] x [, ]; 3 x y se x + y b) fx, y) = e D =[, ] [, ]; 6 se x + y> c) fx, y) =xy e D aregiãodeir definida por y x e x y ; 4 d) fx, y) =sinx e D aregiãodeir definida por y sin x, πy x e x ; π 8 4π e) fx, y) = x + y e D = {x, y) IR : x, y }; 8 3 f) fx, y) = e a x D = {x, y) R :x a) +y a) a, x a, y a}; a 3. Inverta a ordem de integração e calcule, nos casos em que é dada a função integranda, os seguintes integrais: a) b) x 9 3 e y dydx; e4 4 y sinx 3 ) dx dy; cos 7 3 c) e ln x ydydx; e d) x y sin y cosx ) dy dx; sin cos ) y e) 4 x 4 x fx, y) dy dx; f) r rx x dx fx, y) dy; x

15 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 5 g) h) i) x y + y x fx, y) dy dx + x x f x, y) dxdy; 3 f x, y) dydx; 3 x fx, y) dy dx; 4.. Mudança de variável no integral duplo 3. alcule os seguintes integrais, passando para coordenadas polares: a) xdxdy onde D = {x, y) IR : y x, x,x + y 9 e x + y 4}; b) c) d) D 9 ) 6 4 x x D dxdy 7π x + y ) 3 dy dx; 3π 5 ep x + y dy dx; π onde D = {x, y) IR : x + y x,x + y 4 e y 3x}; 4. alcule os seguintes integrais, efectuando a mudança de variável indicada: x = u + v a) dxdy, fazendo y = u v,com D b) D = {x, y) IR : y,x e x + y }; x + y) dxdy, fazendo u = x + y e v =x y, sendo D D = {x, y) IR : y,x e x + y }; 3 5. Usando uma mudança de variável adequada, calcule: a) e y x y+x dxdy, onde D é o triângulo limitado pelas rectas x =, y =e x + y =; D b) D e e x y) sin x + y) dxdy, onde D é o polígono de vértices nos pontos de coordenadas π, ), π, π), π, π),,π). π4 3

16 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Usando a transformação x + y = u, y = uv mostre que x e y x+y dy dx = e ). 7. Usando mudanças de coordenadas convenientes, calcule xy dxdy, onde D = {x, y) IR :x + y 4 x y ) 4x + y 4 x y )}. D 3 8. alcule onde e 3 E x y) e x+y dxdy, E = x, y) IR :x + y) +x y) 3, x+ y, x y ª Aplicações do integral duplo 9. Usando integrais duplos, determine as áreas dos domínios planos definidos por: a) D = {x, y) IR : y 6x x e y x x}; 64 3 b) D = {x, y) R : x + y 6, x +) + y 4 e y }; c) D = {x, y) R : x + y x, y 3x e y x}; d) D = {x, y) R :x + y, y x e y }; 6π 3 3+π 6 ³ arctan 4 e) D = {x, y) R : x 4 + y, x 4 + y, y x, x e y }; 9 3 arctan π + arctan 3 f) D = {x, y) R : y 4x e y x 4}; 9. Usando integrais duplos, calcule a área da região plana D definida por π D = {x, y) IR : x + y, x ) + y e y }.

17 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 7. alcule as áreas das superfícies seguintes: a) Porção do plano de equação 6x +3y +z =situadanoprimeirooctante; 4 b) Porção do parabolóide de equação x + y =z situada no interior da superfície cilíndrica x + y =; )π 3 c) Superfície esférica; 4πr d) Porçãodasuperfíciecónicadeequaçãox + y = z situadanointeriordasuperfície cilíndrica de equação x + y =; π e) S = {x, y, z) IR 3 : x + y + z =4e x + y z }; 8π.. Usando integrais duplos, calcule o volume dos subconjuntos de IR 3 definidos pelas seguintes condições: x + y a) z x + y 3 b) x + y z x y π c) d) e) f) x 4 + y z 3x 4y x + y + z 4 x + y x z 6) x + y x + y 4 z x + y ) y + z π 6 3 π π π 3 3. Seja E = {x, y, z) IR 3 : x + z, x + z y e y }. Determine o volume de E usando integrais duplos. 4 3 π 4. Estabeleça, através de integrais iterados, o volume do sólido do o octante limitado pelas superfícies y = x, y =x, z = y e z =, considerando que o sólido é projectado a) no plano xoy;

18 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 8 b) no plano xoz; c) no plano yoz. 5. Utilizando integrais duplos, determine a massa m,osmomentosm x e M y e o centro de massa x,y ),deumalâminat, cuja densidade em cada ponto P x, y) de T é dada por ρx, y), quando: a) T é um triângulo rectângulo isósceles, cujos catetos medem a, eρx, y) é directamente proporcional ao quadrado da distância de P ao vértice do ângulo recto; m = ka4 ; M 6 y = M x = ka5 ; x 5,y )= a, a 5 5 b) T = {x, y) IR : y a x } a IR + ) e ρx, y) éadistânciadep ao ponto O, ); m = a3 π ; M 3 x = a4 ; M y =; x,y )=, 3a π

19 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Integral Triplo 4.. álculo do integral triplo em coordenadas cartesianas 6. alcule os seguintes integrais triplos: a) 3 dxdydz, com x + y + z +) E E = x, y, z) IR 3 : x + y + z x y z ª. b) c) 5 + ln 6 zdxdydz,em que E éaregiãodo o octante limitada pelas superfícies E 7 E x + y =, x +y = e y + z =4. ydxdydz,em que E é limitado pelas superfícies de equações y = x + z e y = x z π 7. Em cada um dos integrais seguintes, identifique o domínio de integração, escreva, se possível, os integrais dados por uma ordem de integração diferente, e calcule-os: a) b) c) x 4x y x 3 4 x 6 z 3x xdzdydx. 4 3 π +x +y dz dy dx. π 8 dy dz dx Mudança de variável no integral triplo 8. Usando uma mudança de variável conveniente, calcule os seguintes integrais triplos a) dv com E x y ) 3 E = {x, y, z) IR 3 : x + y z x y } ; 4π

20 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 b) E x + y + z ) 3 dv com E = {x, y, z) IR 3 :4 x + y + z 9} ; c) 4π ln 3 p x + y + z dxdydz com E E = {x, y, z) IR 3 : x + y + z x + y +z ) } ; d) 3 π E ydv com E = {x, y, z) IR 3 : x + y + z z p x + y } ; e) zdv com E E = {x, y, z) IR 3 : x + y z x + y + z z} ; f) π 6 r x 4 + y + z ) dxdydz com 9 E E = {x, y, z) IR 3 :9x +36y +4z 36}. 3 π 9. onsidere o integral triplo I escrito na seguinte forma I = π rcosθ r 4r sin θdzdrdθ. a) alcule o valor de I; b) Represente graficamente o domínio de integração E; c) Escreva I como um integral iterado usando coordenadas cartesianas. R dx R x x dy R x +x +y 4ydz

21 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Aplicações do integral triplo. Usando integrais triplos, calcule o volume das regiões de R 3 definidas por: a) x + y z ) z ; π 3 b) x + y z p x + y ; x + y + z 8 c) ; z x + y d) e) x + y + z 4 x + y +z ) 4. x + y z z. 3π π 6 64 )π 3 3 π. Determine o volume dos seguintes sólidos a) V = {x, y, z) R 3 : z e x + y z }; 4 3 π b) V = {x, y, z) R 3 : x + y + z z, x + y + z 3 e y x} π c) V = {x, y, z) R 3 : z + x 4,y+ z 4, y e z } Seja Q = {x, y, z) R 3 : + p x + y z p x + y }. a) alcule o volume de Q; π 3 b) alcule o volume de T Q), ondet : R 3 R 3 édefinida por 4 3 π 3. Determine a massa do sólido T x, y, z) =x y, y + z,z x). Q = {x, y, z) R 3 : x + y + z 4}, sabendo que a densidade, em cada ponto, é directamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto à origem. m = 8 5 kπ

22 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 4. Supondo que o sólido V, limitado pelas superficíes de equações z = p x + y e z = x +y, é homogéneo, determine a sua massa e o momento emrelaçãoaoplanoxoy. m = kπ 6 ; M xy = kπ 5. Determine as coordenadas do centro de massa do sólido sabendo que ρx, y, z) =k z.,, onsidere o sólido S definido por Q = {x, y, z) R 3 : z 5 x y e x + y }, S = {x, y, z) R 3 : x, y 3x, z 4x + y ) e x + y + z 4}. Determine a massa total de S, sabendoque ρx, y, z) = p x + y. m = π arctan 7. Seja E o sólido definido por z 4x + y ) x + y +z 6) 7 z 5. alcule a massa total de E, sabendo que a densidade, em cada ponto x, y, z) de E, é directamente proporcional à distância desse ponto ao plano de equação z =6. m = 4 π

23 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 3 Figure : urva e campo vectorial F 4.3 Integral urvilíneo de uma função vectorial 4.3. álculo do integral curvilíneo de uma função vectorial 8. alcule F d r onde a) F x, y) =x xy)î +y xy)ˆ e é o arco da parábola de equação y = x que vai de A, 4) a B, ); 369 urva e campo vectorial F b) F x, y) =x y )î + xˆ e é o arco da circunferência de equação x + y =4, orientada no sentido directo, que vai de A, ) a B, ); 3π 8 3 c) F x, y, z) =y + z)î +x + z)ˆ +x + y)ˆk e éoarcodacurvadeequação y = x z = x 4

24 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 4 que une os pontos A,, ) e B,, ) e orientada de A para B; 3 urva e campo vectorial F d) F x, y, z) =x z)î + yˆ + xˆk e é a curva que se obtem por justaposição do segmento de recta de extremos,, ) e,, ) com a curva parametrizada por x =cost y =sint z = t π, t π ; e) F x, y, z) = yî + xˆ + zˆk e éacurvadefinida por = nx, y, z) R 3 : x + y + z =e z = p o x + y, orientada no sentido directo. π f) F x, y) =y +, x ) e éacurvadefinida por = {x, y) R :y = x y =4) x [, ]}, orientada no sentido directo; 3 3 g) F x, y, z) =y z,z x, x y) e é a elipse definida por 4π x + y = e x + z =. 9. Sendo Q = {x, y, z) R 3 : p x + y z e x + y } e acurvafechadadefinida pela intersecção de Q com o plano z =e orientada no sentido directo, calcule ydx+ xdy+ zdz.

25 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F x, y, z) =xî +yˆ zˆk, nodeslocamentoaolongodacurva definida por: z = y 4, desde,, ) a,, ). x = 3. onsidere as duas superfícies de equações S : x +y + z =4 e S : z = 3, e seja Γ a linha de intersecção de S com S.alculeotrabalhorealizadopelocampo Gx, y, z) = y î + xyˆ +z +)ˆk, para deslocar uma partícula material ao longo da curva Γ, orientada no sentido directo.

26 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ ampos conservativos. Independência do caminho 3. alcule e x sin ydx+ e x cos ydy, onde é uma curva entre o ponto P, ) eopontoq e π 33. alcule y x ) dx + xdy, onde ³ π, π. = {x, y) IR :y =x x x ) x +3y =4 x 4)} e está orientada de A =4, ) para B =, ) Determine a função φx), com primeira derivada contínua, que se anula para x =etal que o integral y dx+ φx) dy é independente do caminho de integração. φ x) =x 4 ydx xdy 35. alcule o integral onde é uma curva simples, fechada e parcialmente y suave, que não intersecta o eixo das abcissas. 36. alcule: a) xyz dx +x z + z ) dy +x y +yz) dz, γ onde γ éumacurvasuavequeligaospontosa =, 5, ) e B =,, ). b) y cos xdx+y sin x + e z ) dy +ye z dz, γ onde γ éumacurvasuavequeligaospontoso e A = π,,. +e Teorema de Green 37. Por aplicação do Teorema de Green, calcule o integral circunferência de equação x + y = a, orientada no sentido directo. π a4 x ydx+ xy dy, onde éa

27 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Sendo ¾ R = ½x, y) IR : x y e x y +, use o Teorema de Green para calcular o integral y dxdy Seja K = ydx+ e y y dy onde é a fronteira, orientada no sentido directo, da região plana R determinada pelas condições R x e y x +). Apresente o valor da área de R em função de K. k 4. onsidere o campo de vectores definido por µ F x, y) = arccos x,x+, x, y) ], [ R. alcule o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma partícula desde o ponto A =, até ao ponto B =,, ao longo do arco de circunferência definido por x + y = 4 e x. 8 π + 4. alcule e x dx + +y dy, Γ onde Γ é a curva que se obtém por justaposição da curva definida por x + y =4com x e y, orientadadea, ) para B, ), com a curva definida parametricamente por x = t,t [, ]. y =4t 8t 3 4. onsidere a região plana R = {x, y) IR : y x e x + y x}. a) alcule o valor da constante k dada por k = yda. 6 R

28 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 8 b) Sendo a curva com orientação positiva, que é fronteira da região R, mostreque x +y ) dx +xy + y ) dy = 3k. 43. onsidere a seguinte região plana R = {x, y) IR : y x +) } e a curva que é a fronteira de R, orientada positivamente. a) alcule 56 5 x dy y dx. b) Use o resultado anterior para determinar o volume do sólido E = {x, y, z) R 3 :x, y) R e z y x} Recorrendo ao Teorema de Green, determine condições que definamumsólidocujovolume é dado por y 3 +yx ) dx +x + y x) dy, onde representa a circunferência de equação x + y =, percorrida no sentido directo. z e z x + y ) ou z e z x + y ) 45. Seja a curva de equações paramétricas xt) =a cos t, t [, π] e yt) = a sin t, t [,π], t ]π, π]. Usando o Teorema de Green, determine a por forma a que xdx+ xy dy =8. a =3 46. Seja F x, y) = y x + y î + x x + y ˆ.

29 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 9 a) Prove que F d r tem sempre o mesmo valor, qualquer que seja a curva fechada, simples e parcialmente suave que circunda a origem. b) Prove que esse valor é π. c) Prove ainda que, se a curva não circundar nem passar na origem, então F d r =. 47. Seja r um parâmetro real positivo e diferente de. Discuta, para os diferentes valores de r, ovalorde y dx+ xdy, x + y sendo a curva plana de equação x ) +y ) = r., se r< ; π, se r> 48. onsidere as funções u = ux, y) e v = vx, y) de classe numa região R de IR,que contém uma curva simples, fechada e seccionalmente suave,, que delimita uma região Q. Prove a seguinte igualdade: µ v x + v udxdy= y Q Q 5u 5vdxdy+ u v dy u v x y dx.

30 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Integral urvilíneo de uma função escalar 4.4. álculo do integral curvilíneo de uma função escalar 49. alcule o fx, y, z) ds, onde a) fx, y, z) =x + y + z e é a curva de equações paramétricas π x =sint y =cost z = t,t [, π]; b) fx, y, z) =x cos z e é a curva de equações paramétricas 5 5 c) fx, y, z) = 5 x = t y = t z =,t [, ]; z e éacurvadeequaçõesparamétricas +x y x = 3 t y =t z =5t,t [, ]. 5. alcule: a) x y ds, emque é o segmento de recta de equação y = x, compreendido entreospontosa, ) e B4, ); 5ln b) xy ds, onde é a circunferência de equação x + y 6x 4y +=; π c) x yds,onde d) R x y ds, onde = {x, y) R :y = x y =4) x } ; = {x, y, z) R 3 : x + y = x + y + z =}.

31 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Aplicações do integral curvilíneo de uma função escalar 5. Sejam e as curvas de equações paramétricas x =cost, t [, π] e y =3sint x =cos4t y =3sin4t, t [, π], respectivamente. a) Faça um esboço de e ; b) Mostre que o comprimento de é igual a 4 vezes o comprimento de. 5. onsidere uma lata cilíndrica cuja base é modelada parametricamente por cos t, sin t, ), t [, π], e à qual foi feito um corte, no topo, modelado pela função z =+ sin 3t). alcule a área da superfície lateral da lata. 4π 53. alcule a área da superfície S definida por ½ S = x, y, z) R 3 :x, y) z y ¾, 3 x onde é o arco da curva de equação x) =y que une os pontos A =, e B =,. 54. Pretendem-se caiar ambos os lados de uma cerca que tem por base a curva ½ ³ x ³ ¾ = x, y) R 3 y 3 : + =e y 3 3 e em que a altura é dada em cada ponto x, y) por ax, y) =+ y. Desprezando os 3 encargos com a cal, e sabendo que o pintor leva euros por caiar 5 u.a., determine o preço a que fica o trabalho. 36 euros 55. Um anel de arame, com a forma da curva de equação x + y = a, a>, temdensidade fx, y) = x + y. Determine a massa e o centro de massa do anel. m =8a ;x,y )=, ) 56. Determine o comprimento e o centro de massa de uma catenária uniforme a densidade é constante), de equação y =cosh x, entre os pontos de abcissas 5 e 5. ³ l) =4sinh 5;x,y )=, 5+sinh 5 sinh 5

32 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Integral de Superfície de uma função escalar 4.5. álculo do Integral de Superfície de uma função escalar 57. alcule os seguintes integrais de superfície a) z ds, ondes é a porção da superfície cónica S z = p x + y, b) c) limitada pelos planos z =e z =3; 4 π zds, onde S é o elipsóide de equação S x + y 4 + z 9 =; x + y ) ds, onde S é a reunião da porção do parabolóide S z = x + y ), d) situada acima do plano XOY, com a porção desse mesmo plano definida por x + y ; 5 5+ S 6 π + π xds,onde S = nx, y, z) IR 3 : x + y =x e z p o x + y onsidere a superfície S definida por S = {x, y, z) IR 3 : x + y =4e z x +3}. alcule os seguintes integrais: a) y ds; 4π S b) z ds. 6π S

33 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Aplicações do Integral de Superfície de uma função escalar 59. alcule a área de superfície de S quando: a) S é uma superfície esférica de raio igual a a, coma>; 4πa b) S écompostapelaporçãodoparabolóidex + y =4 z, situada acima do plano XOY, e pela porção da superfície esférica x + y + z =4 situada abaixo desse mesmo plano; π π 6 c) S é a superfície que limita o sólido Q definido por Q = {x, y, z) IR 3 : x + y z 6) e z 6}. 36π + 6. Determine o centro de massa do hemisfério x + y + z = a,z, se ele tiver densidade constante.,, a 6. Determine a massa de um funil fino com o formato da superfície definida por z = p x + y, z 4, se a sua função densidade for ρ x, y, z) = z. 8π

34 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Integral de Superfície de uma função vectorial 4.6. álculo do Integral de Superfície de uma função vectorial 6. alcule F ˆn dsquando: S a) F x, y, z) =yî xˆ +8ˆk e S é a porção do parabolóide z =9 x y situada acima do plano XOY,comˆn dirigida para cima; 7π que fica b) F x, y, z) =xî ˆ +x ˆk, sendo S aporçãodoparabolóidez = x + y, limitada pelas superfícies x = y e x = y, orientada com a normal ˆn dirigida para baixo; c) F x, y, z) = yî + xˆ + zˆk e S é a superfície esférica x + y + z =4,orientadacom anormalˆn dirigida para dentro; 3π 3 d) F x, y, z) =xzî + xyˆ + yzˆk e S édefinida por S = {x, y, z) IR 3 : x + y = r x y z h} r >, h>) e orientada com ˆn aapontarparaoexterior. r h π + hr3 8 3 e) F x, y, z) =xz, y, z) e S édefinida por S = x, y, z) o octante : y = x, z, y 4 ª e orientada com ˆn dirigida para a parte positiva do eixo Ox. 63. alcule o fluxo de através da parte do cilindro F x, y, z) = sin xyz),x y, z e x 5 4x + z =4 situada acima do plano xoy e entre os planos y = e y =, com orientação para cima. 8 ³ 4 5 e + 5 e. 64. Seja F x, y, z) =xî + x ˆ + yzˆk o campo vectorial que representa a velocidade em m/s) de uma corrente de fluido.

35 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 35 a) Determine quantos metros cúbicos de fluido atravessam, por segundo, o plano XOY através do quadrado definido por x e y. m 3 b) Determine quantos metros cúbicos de fluido atravessam, por segundo, o plano z = através do quadrado definido por z =, x e y..5 m Teorema de Stokes 65. Usando o Teorema de Stokes, transforme o integral de superfície curvilíneo e calcule o seu valor, para cada um dos casos seguintes: S rot F d S num integral a) F x, y, z) =yî + zˆ +3ˆk e S é a superfície do parabolóide z = x + y ),situada acima do plano XOY, com a orientação canónica. π b) F x, y, z) =xzî yˆ x yˆk, S é composta pelas 3 faces, não situadas no plano XO, do tetraedro limitado pelos 3 planos coordenados e pelo plano 3x + y +3z =6,com orientação determinada pela normal unitária exterior do tetraedro Usando o Teorema de Stokes, mostre que cada um dos seguintes integrais curvilíneos tem ovalorindicado. Emcadacasodigaemquesentidoéqueacurva é percorrida, para obter o resultado pretendido. I a) x yz) dx +y zx) dy +z xy) dz =,com uma curva simples, fechada eparcialmentesuave. b) c) d) I I ydx+ zdy+ xdz= π, sendo a circunferência x + y = z = ydx+ zdy+ xdz= π 3, sendo a curva de intersecção da superfície esférica x + y + z =com o plano x + y + z =. I y + z) dx +z + x) dy +x + y) dz =, sendo acurvadeintersecçãodasuperfície cilíndrica x + y =y com o plano y = z Teorema da Divergência 67. Utilizando o Teorema da Divergência, calcule: a) yz, xz, xy) ˆn ds onde S é composta pelas faces do tetraedro limitado pelos S planos x =, y =, z =e x + y + z =3,e ˆn é a normal unitária exterior a S; b) x,y,z ˆn dsonde ˆn é a normal unitária exterior a S e S.

36 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 36 i. S é composta pelas faces do cubo de vértices,, ),,, ),,, ),,, ),,, ) e,, ); 48 ii. S é a superfície que limita o sólido Q = {x, y, z) IR 3 : x + y + z e z } ; π iii. S é a superfície que limita o sólido Q = {x, y, z) IR 3 :4x + y ) z e z }. π onsidere o sólido V definido por V = {x, y, z) IR 3 : x + y + z 5 e z 3}. Sendo ˆn anormalexterioras, coms = frv ), calcule xz, yz, ) ˆn ds a) utilizando a definição; S b) usando o teorema da divergência. 8π 69. O filtro de uma máquina de lavar loiça tem a forma aproximada da superfície que é a fronteiradoconjunto V = {x, y, z) IR 3 : p x + y z 3}, eestáimerso,durantealavagem,numacorrentedeáguacomumavelocidadedadapelo campo F x, y, z) = yz cos y, xz cos x,. a) Mostre que a quantidade da água no interior do filtro se mantém constante durante alavagem. b) alcule o fluxodeáguaqueatravessa ofiltro, através da sua parede curva. Interprete o resultado obtido. 9π

37 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 37 Exercícios de Exames 7. Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial: y + y =6cost y ) = 3. y ) = y =3cost +3t +)sint 7. Sendo L o operador transformada de Laplace, calcule: se t<5 a) L{f t)}, comf t) =. e 3t se t 5 s e 5s )+ e 5s 3) s 3 n o b) L 3. s s 4 π t 3 7. Usando transformada de Laplace, determine a função y t), definida em IR +,queverifica y ) = e t y t) = sin t y τ) dτ. sin t t sin t 73. Seja F x, y, z) =x ) î y ˆ e S asuperfíciedefinida por z =4 y e x + y. a) alcule F ds supondo S com orientação canónica; π S I b) Use a alínea anterior para calcular G d r com e acurvadefinida por π Gx, y, z) =x î + z ˆ + xy ˆk x + y = z =4 y.

38 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Seja S a fronteira da região Q de IR 3 definida por Q = {x, y, z) IR 3 : x + y 4, z 6 x y }. Seja ainda F x, y, z) =e xyz sin x î +cosx + y + z)e x / ˆ +sine x + y + z ) ˆk. Determine rot F ˆn dssendo ˆn anormalexterioras. S 75. a) alcule o volume do sólido Q determinado por z x + y + z 4z e x + y z. 7π b) Seja F x, y, z) =x + y )î +3y + z 3 )ˆ +4z + e x4 ) ˆk e sejam ainda S a fronteira do sólido Q e ˆn anormalexterioras. Recorrendo ao resultado obtido na alínea anterior, determine o valor de F ˆn ds. 63π 76. Seja S a fronteira da região D definida por e suponha S orientada para fora.. Seja ainda 77. Seja S D = {x, y, z) IR 3 : z x + y e x + y + z z} F x, y, z) =e yz sin z + x)î +e sin x 3y) ˆ +z +z + x sin ye xy ) ˆk. a) alcule F ˆn ds. 7π 3 S b) alcule 3 rot F ˆn ds. alcule S F dr, onde F x, y) = e está orientada no sentido directo. µ x y x + y ), x 3 x + y ). = x, y) IR : x + y =4 ª, π.

39 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ a) alcule o volume do sólido Q definido por Q = x, y, z) IR 3 : x + y e z y ª. 3 b) Usando o Teorema de Stokes, calcule F dr, onde éacurvadefinida por r t) =cost, sin t, sin t), t [, π], e F x, y, z) = xyz, x yz, e z. 79. Seja F o campo de vectores definido por µ F x, y) = a) alcule F dr, com orientada de B =, ) para A =, ). arctan b) alcule F dr, com orientada no sentido directo. π y x +) + y, x + x +) + y. = x, y) IR :4x +9y =36, x ª, = x, y) IR :4x +9y =36 ª, c) alculeaáreadaregiãoplana R = ½x, y) IR :4x +9y 36 y y 3 ¾ x. 3 arctan 3 8. alcule a área da superfície S definida por S = x, y, z) IR 3 : x + y + z =4 e x + y e z ª 4 3π

40 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ Seja S a superfície definida por orientada com a normal unitária exterior bn. S = x, y, z) IR 3 :x = y + z x ª, a) Faça um esboço de S. b) Sendo F x, y, z) =,, 3z), calcule 8π S FdS. c) Usando o resultado da alínea anterior, calcule o volume do sólido 4π 8. alcule onde éacurva orientadadaesquerdaparaadireita. π e 4 + e4 arctan 83. alcule onde F x, y, z) = y, x,x 3 ) e E = x, y, z) IR 3 :x y + z x ª. x arctan ydx+ orientada com a normal unitária exterior bn. x +y dy, = x, y) IR : y =lnx e x e ª, S rotf bn ds, S = x, y, z) IR 3 : x + y + z = ª, 84. Efectuando uma mudança de variáveis, calcule sin x + y)cosx y) dxdy, D onde D = x, y) IR : x y x + π e x y π ª. 3

41 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ onsidere o integral duplo escrito em coordenadas polares, π 4 cos θ cosθ r 3 drdθ. a) Faça um esboço gráfico do domínio de integração D. Apresente todos os cálculos que efectuar. b) Usando coordenadas cartesianas, expresse o integral anterior através de integrais simples iterados. 86. Seja a curva de equação x + y =com y b 6= ). b Mostre que R yex dx +e x +y) dy =. 87. Seja S o subconjunto de IR 3 definido por: S = x, y, z) IR 3 : x + y =y e z x + y ª. Determine uma expressão, em função de integrais simples, para calcular a área da superfície S: a) através de um integral de superfície; b) através de um integral curvilíneo de uma função escalar. 88. onsidere o sólido E = a) FaçaumesboçodosólidoE. n x, y, z) IR 3 : x + y + z 4 e z p o 3x + y ). b) Estabeleça o integral triplo que lhe permita calcular o volume de E: i. usando coordenadas cilíndricas; ii. usando coordenadas esféricas. 89. Sejam Q = x, y, z) IR 3 : x z 6 x e y 4 ª uma região de IR 3 e F x, y, z) = x 3 + e y sin z,x y + arctan z, y uma função vectorial.

42 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/6 4 a) FaçaumesboçodaregiãoQ. b) onsiderando a fronteira de Q orientada com a normal exterior bn, determine F bnds. 5 frq) 9. Sejam D = x, y) IR : x + y 4 e x ª e a sua fronteira orientada no sentido directo. x a) alcule K = x + y dxdy, usando coordenadas polares π b) Mostre que R ln p x + y dy = K. 9. onsidere o sólido D E = x, y, z) IR 3 : x + y + z 4 e x + z ª Seja T a superfície plana que delimita E, orientada com a normal bn,exteriorae e F x, y, z) =y z, x 3,z). a) alcule F bn ds. T b) Usando o Teorema da Divergência, calcule F bn ds, sendo S a superfície curva que delimita E, orientada com a normal bn exterior a E. 6π 3 S 9. Sejam T = U = ½ x, y, z) IR 3 : z = x + y ¾ e z, ½ x, y, z) IR 3 : z =3 p 3 ¾ x + y e z, duas superfícies com orientação canónica. a)façaumesboçodaregiãosólidaq que está situada acima do plano xoy eabaixo, simultaneamente, das superfícies T e U. b) Usando coordenadas cilíndricas, apresente uma expressão que permita determinar o volume de Q. c) Sendo F x, y, z) =y, x, sin z), calcule rotf ds. 8π T

43 Dep. de Matemática da F..T.U.. - Análise Matemática IV - 5/ a) onsidere a superfície S = { x, y, z) R 3 : z =4 4x y,z, y x}. i. Determine a área A da projecção ortogonal de S no plano XOY. π ii. Estabeleça um integral curvilíneo cujo valor seja igual a A. b) onsidere as superfícies e S = x, y, z) IR 3 : z =4 4x y,x + y ª S = x, y, z) IR 3 : x + y =, z 4 4x y e z ª. i. Através de um integral de superfície, estabeleça uma expressão que permita determinar a área de S. ii. Através de um integral curvilíneo de função escalar, estabeleça uma expressão quepermitadeterminaraáreades. Nota: os cálculos das alíneas i) e ii) devem ser desenvolvidos até serem obtidos integrais simples. 94. onsidere a região sólida E = x, y, z) IR 3 : x + y z, x + y + z 7 ª. a) FaçaumesboçodosólidoE. b) alcule o volume V de E, usando coordenadas cilíndricas. 4π c) Mostre que F bnds= V,comF x, y, z) =y, z x 3,z) e bn anormalexterior fre) à fronteira de E. d) onsidere as superfícies n U = x, y, z) IR 3 : z = o 3 e x + y + z 7 e T = n x, y, z) IR 3 : z o 3 e x + y + z =7, com orientação canónica. Sem efectuar cálculos, mostre que rot F ) ds = U T rot F ) ds. 95. Uma fonte de água, que consideramos na origem do referencial, emite um fluxo com velocidade F x, y, z) = x,y,z),emm/s. x +y +z Determine a quantidade de água que atravessa a semi-esfera x + y + z =e z, durante um minuto. π m 3