MAT Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia 1 ā Prova - 1o semestre de 2005

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1 MAT 4 - Cálculo iferencial e Integral III para Engenharia ā Prova - o semestre de Questão. Calcule: (,- ). (a) (. pontos) (b) (. pontos) x e + d dx (x + ) (x ) dx d, onde é o triângulo de vértices (,), (, ) e olução: (a) Como f(x, ) e + é uma função contínua em R, pode-se aplicar o Teorema de Fubini, transformando a integral iterada do exercício na integral dupla: x e + d dx onde {(x, ) R : x e x}. e + dx d. x... x Figura : Gráfico do ominio Como pode-se ver na figura, o domínio de integração também pode ser descrito como {(x, ) R : e x }. E, aplicando-se novamente o Teorema de Fubini, chega-se em: e + dx d e + dx d e + ( ) d Agora, para facilitar o cálculo da integral acima, pode-se fazer a seguinte mudança de variável u + du ( + )d u u que resulta em : e + ( ) d e u du eu (e e ) e

2 (b) Para se revolver a integral variáveis tal que u x + e v x, ou seja: x u + v cujo Jacobiano é dado por (x + ) (x ) dx d, deve-se fazer uma mudança de (x, ) (u, v) u v Através dessa mudança, chega-se em: (x + ) (x ) dx d. uv u (x, ) v dudv (u, v) Então, para que a integral dupla acima possa ser calculada, basta determinar o domínio de integração no plano uv. o enunciado, sabe-se que o domínio de integração no plano x corresponde ao triângulo de vértices (,), (, ) e (,- ). Assim, a região é limitada pelas retas x, x e x, ou seja, {(x, ) R : x e x x}, como se pode ver na figura :.8.6 x x x Figura : Gráfico do ominio Agora, nas variáveis u e v, essas retas satisfazem x v x u x u + v Portanto, o domínio de integração no plano uv é uv {(u, v) R : u e v u} e, com a aplicação do Teorema de Fubini, o cálculo da integral dupla resume-se a:

3 (x + ) (x ) dx d 4 4 uvu v du dv u. v v du 4 (u u + u )du 4 ( u ) u v dv du u ( u u ) du ( u ( + ) u + u3 3 ) Questão. (3. pontos) Calcule a massa do sólido de densidade δ(x,, z) z limitado pelas superfícies de equações x +, z e z 4 x Figura 3: Gráfico da interseção das superfícies olução: A massa M pedida é dada por M z dx d dz, onde,, é a região abaixo do parabolóide elíptico z 4 x, acima do plano z e contido pelo cilindro elíptico x +, ou seja, {(x,, z) R3 : z 4 x e x + }, como pode ser visto no gráfico acima. Como f(x,, z) z é contínua em R 3, para se obter a massa pedida, pode-se aplicar o Teorema de Fubini e transformar a integral tripla em uma integral iterada da forma: M z dxddz onde {(x, ) R : x + }. ( 4 x ) (4 x ) zdz dxd dxd 3

4 Para se calcular a integral dupla acima, usa-se as coordenadas polares: { x x(r, θ) r cos θ (r, θ) r sen θ cujo Jacobiano é dado por (x, ) (r, θ) cos θ r sin θ sen θ r cos θ r cos θ + r sen θ r. Então rtheta {(r, θ) R : θ π e r } E com o uso do Teorema de Fubini, tem-se (4 x ) (4 r M dxd rθ ) r dxd.π π (4 r ) rdr ( π (4 r ) π ( ) 3 ) Questão 3. (3. pontos) eja o sólido obtido removendo-se, do interior de uma esfera sólida de raio a, uma esfera sólida de raio b, com b < a, e cuja superfície passa pelo centro da primeira esfera (veja a figura abaixo). upondo que a densidade de é constante e igual a, calcule o momento de inércia de em relação ao eixo que passa pelos dois centros. Lembre que o momento de inércia de em relação a um eixo é a integral sobre da densidade multiplicada pelo quadrado da distância dos pontos de ao eixo. olução: Considere que o eixo que passa pelos dois centros é o eixo z e que o centro da esfera maior coincide com a origem do sistema de coordenadas xz. essa forma, nessas coordenadas, a equação da esfera de centro (,, ) e raio a é x + + z a e a equação da esfera de centro (,, b) e raio b é x + + (z b) b x + + z b. Figura 4: Gráfico da interseção das superfícies E, do enunciado, tem-se que o momento de inércia de é dado por I (x + ) dxddz. Agora, como (Princípio da uperposição), o mo- 4

5 mento de inércia I pode ser calculado através de I (x + ) dxddz (x + ) dxddz } {{ } } {{ } I I O cálculo das integrais I e I fica facilitado pelo uso de coordenadas esféricas, que são obtidas pela transformação x ρ cos θ sen ϕ ρ sen θ sen ϕ z ρ cos ϕ cujo Jacobiano é (x,, z) (r, θ, ϕ) ρ sen ϕ. Nessas coordenadas esféricas, a esfera é descrita por θ π, ϕ π e ρ a e a integral I fica: I (x + ) dxddz ρ sen ϕ.ρ sen ϕ dρdθdϕ π π a ( π ρ 4 sen 3 ϕ dρdθdϕ π cos ϕ + cos3 ϕ ) π 3 ( ρ. ) a π 8π a sen 3 ϕ dϕ. a ρ 4 dρ E, para a esfera, os intervalos de integração são θ π, ϕ π e ρ b cos ϕ e a respectiva integral fica: I (x + ) dxddz ρ sen ϕ.ρ sin ϕ dρdθdϕ π π b cos ϕ π ρ 4 sen 3 ϕ dρdθdϕ π sen 3 (b cos ϕ) ϕ dϕ 64π b sen 3 ϕ cos ϕ dϕ 64π b 64π ( b cos6 ϕ 6 + cos8 ϕ 8 Portanto, I I I 8π (a b ). ) π (cos ϕ cos 7 ϕ) sin ϕ dϕ 64π ( b 6 ) 8π 8 b

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