MAT Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado

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1 MT Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - tualizado Segunda-feira, 30 de julho de 2012 presentação do curso. pluigi *** Veja-se o arquivo relativo às informações do curso na minha pagina web Revisão da geometria do espaço R n (em particular R 3 e R 2 ). Planos e retas no espaço euclideano. Equações cartesianas e paramétricas. Superfícies de segundo grau. Esfera, elipsóide, parabolóide, hiperbolóide. 2. Segunda-feira, 6 de agosto de 2012 Integração dupla. Introdução à teoria da integração para funções reais de duas variáveis. Partição de um retângulo em R 2. Escolha de pontos e definição de partição pontuada. Tamanho de uma partição. Definição de integral de uma função real, definida sobre um retângulo. Definição de função integrável. Exercício 1. Prove, usando a definição de integral, que, dada f : [a, b] [c, d] R, definida como f(x, y) = p (constante), então, chamando R o domînio, temos f(x, y) dxdy = (b a)(d c)p R Stewart, vol. 2, pag. 797, n. 7, 8, 10, 11, 12, 20, 22, 35, 36; pag. 836, n. 36; pag 829, n. de 23 a 38, de 45 a 50, 53, 54; pag. 837, de 1 a 28, 41,42, 45, 48; pag 987, 11, Quarta-feira, 8 de agosto de 2012 Na aula anterior foi definito o conceito de função integrável e de integrla de uma função. Não todas as funções são integráveis. Exercício 2. Prove, usando a definição de integral, que, dada f : [0, 1] [0, 1] R, definida como { 1 se (x, y) = (1/2, 1/2) f(x, y) = 0 do contrário, então, chamando R o domínio, temos R f(x, y) dxdy = 0. Exercício 3. Prove, usando a definição de integral, que, dada f : [0, 1] [0, 1] R, definida como { 1 se x, y Q f(x, y) = 0 do contrário, 1

2 2 então, chamando R o domínio, temos R f(x, y) dxdy 1. nalogamente, podemos provar que a integral não pode assumir nenhum valor. função acima, chamada função de Dirichlet (do nome do matemático alemão do século XIX, veja-se por exemplo o site http: //pt.wikipedia.org/wiki/johann_peter_gustav_lejeune_dirichlet) não é integrável. Um primeiro teorema sobre as funções integráveis. Teorema 1. Uma função definida em um retângulo, contínua exceto um número finito de pontos de descontinuidade e limitada é integrável. Como caso particular temos o seguinte. Corolario 2. Uma função contínua em um retângulo é integrável. Exercício 4. Porque no corolario acima não precisa dizer que a função é limitada? Exercício 5. (Exercício importante) Reescreva, com todos os detalhes, o processo que leva à definição de função integrável e de integral de uma função. Conjuntos de medida zero. Exercício 6. Dê a definição de conjunto de medida zero. Prove que um conjunto feito de um ponto em R 2 tem medida zero. Exercício 7. Prove que um segmento em R 2 (por exemplo [0, 1] {1}) tem medida zero. Propriedades da integral: linearidade (dois casos) e monotonia. Exercício 8. Prove pelo menos uma das três propriedades vistas em sala de aula (a monotonia é a mais fácil). 4. Segunda-feira, 13 de agosto de 2012 Resumo dos conceitos das aulas anteriores. Teorema 3. Uma função definida em um retângulo, contínua exceto um conjunto de pontos de descontinuidade de medida zero e limitada é integrável. Definição de função integrável para funções definidas sobre conjuntos mais gerais Técnicas de integração. Integral dupla através de dois integrais em uma variável. Exercício 9. Calcule R e y/x x 3 dxdy, onde R = [1, 2] [0, 1]. Conjuntos normais respeito ao eixo X ou ao eixo Y. Exercício 10. Prove que o segmento de extremos (0, 0) e (1, 1) tem medida nula. Exercício 11. Prove que o círculo de centro a origem e raio 1 não tem medida nula. Exercício 12. Diga se os conjuntos seguintes são normais respeito ao eixo X, ao eixo Y, a âmbos ou nenhum dos dois. Justifique, escrevendo as funções que determinam a propriedade.

3 3 (1) O triângulo de vértices ( 1, 0), (1, 0), (0, 1). (2) O triângulo de vértices (1, 1), (2, 3), ( 2, 0). (3) B = {(x, y) R 2 : 0 y 1, y x 1}. (4) O setor circular de raio 1 e centro a origem com ângulo entre π/4 e π/2. (5) região compreendida entre a reta y = x e a curva y = x 2 + x + 1 (6) B = {(x, y) R 2 : 0 x 3, x y 4x x 2 }. (7) B = {(x, y) R 2 : π/2 x π arcsen y, 0 y} (8) região compreendida entre o eixo X e as curvas y 2x 2 = 0 e y x 2 1 = 0 Guidorizzi, vol. 3, pag. de 71 a 74: pode fazer quanto mais exercícios possível. Stewart, vol. 2, pag. 992 e 993, e pag. de 1000 a 1001: pode fazer quanto mais exercícios possível. 5. Quarta-feira, 15 de agosto de 2012 Exercício 13. Diga se os conjuntos seguintes são normais respeito ao eixo X, ao eixo Y, a âmbos ou nenhum dos dois. Justifique, escrevendo as funções que determinam a propriedade. (1) união D = B onde é o semi-círculo de diâmetro o segmento de extremos (1, 0) e (3, 0) e B é o triângulo de vértices (3, 0), (1, 0), (0, 1). (2) B = {(x, y) R 2 : 0 x 1, x(1 x) y x(2 x 2 )}. Exercício 14. Calcule onde D é o conjunto do caso (2) do exercício acima. Exercício 15. Calcule D xy dxdy, x2 + y 2 y dxdy, onde é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1). Observe que o domínio é normal respeito aos dois eixos; mas se escolher a normalidade oportuna, as contas serão muito mais simples do que na outra. Exercício 16. Calcule onde D = {(x, y) R 2 : x + y 1}. Exercício 17. Calcule D x 3 cos(y 2 ) 3 sen y π dxdy, D x(1 y) dxdy onde D é o setor circular de raio 1 e centro a origem com ângulo entre 0 e π/4. Exercício 18. Calcule as integrais seguintes, onde os conjuntos são aqueles do file pdf na minha página conjuntos-do-exercício-18.pdf (a) (e) (x 2 + y) dxdy (b) x 2 e xy dxdy (f) xy dxdy x(y+ sen πy) dxdy (c) (g) e x+y dxdy (1+x+y) 2 dxdy (d) (h) xy cos(x + y) dxdy (x 2 +y 2 ) dxdy

4 4 (são os mesmos da aula anterior) Guidorizzi, vol. 3, pag. de 71 a 74: pode fazer quanto mais exercícios possível. Stewart, vol. 2, pag. 992 e 993, e pag. de 1000 a 1001: pode fazer quanto mais exercícios possível. 6. Segunda-feira, 20 de agosto de 2012 Mudança de variáveis nas integrais duplas. Coordenadas polares. Matriz Jacobiana. Àrea de superfícies em R 2. Exercício 19. Calcule as integrais seguintes: (1) D xy dxdy onde D = {(x, y) R2 : 0 y 3x/4, x 2 + y }. Construa o exercício em coordenadas cartesianas e polares, para depois escolher aquelas mais simples. (2) D x3 cos(y 2 ) 3 sen y π dxdy dove D = {(x, y) R 2 : x + y 1}. (3) D ey3 dxdy onde D = {(x, y) R 2 : 0 x y 2, y 0, y 1}. (4) D x2 + y dxdy onde D = {(x, y) R 2 : x 2 y 1}. (5) D ey3 dxdy onde D = {(x, y) R 2 : 0 x y 2, y 0, y 1}. Exercício 20. Desenhe o conjunto D e calcule a área. D = {(x, y) R 2 : 1 < x < 2, x 2 < y < x + 2}, Exercício 21. Calcule as integrais seguintes: 1 (1) D xy dxdy onde D = {(x, y) R2 : x y 2x, 1 x + y 3}. (2) x + y 2 dxdy onde D = {(x, y) R 2 : 1 x y 0, 1/2 2x + y 1}. D Stewart, vol. 2, pag. de 1006 a 1007: pode fazer quanto mais exercícios possível. 7. Quarta-feira, 22 de agosto de 2012 Exemplo: área do conjunto delimitado per uma elṕse de equação x2 a 2 + y2 = 1. Coordenadas elípticas. b2 Exercício 22. Desenhe o conjunto D e calcule a área, onde D é delimitados pelas retas y = x e y = 2x e pelas hipérboles xy = 1 e xy = 2. Exercício 23. Dado o conjunto D do exercício acima, calcule x + y dxdy. Exercício 24. Procure exemplos que mostram que, trocando a variável sem considerar o determinante da matriz jacobiana, o cálculo da integral é errado. Exercício 25. Desenhe o conjunto D e calcule a área, onde D é delimitados pelas retas y = x, y = 2x, x + y = 3 e x + y = 1. D

5 Exercício 26. Dado o conjunto D do exercício acima, calcule D 1 xy dxdy. Exercício 27. Desenhe o conjunto D e calcule a área, onde D = {(x 2 + y 2 ) R 2 : y > 0, y + x > 0, x 2 + y 2 < 3 x 2 + y 2 3x} Integrais triplas. Definição. Processo análogo ao caso em dimensão 2. Conjuntos normais respeito aos planos coordenados Segunda-feira, 27 de agosto de 2012 Integrais triplas. Propriedades. Exemplos. Volume da bola em R 3 de raio R. Exercícios. 9. Quarta-feira, 29 de agosto de 2012 Exercícios sobre integrais triplas. Mudança de variáveis. Coordenadas polares esféricas e cilíndricas. Exercício 28. Calcule D x + y2 dxdy, onde D é o setor circular entre as circunferências de raios 1 e 2 e entre os ângulos 0 e π/2. Exercício 29. Calcule a área do conjunto E = {(x, y) R 2 : y > 0, x + y > 0, x 2 + y 2 < 3 x 2 + y 2 3x}. Desenhe o conjunto. Exercício 30. Calcule o volume da interseção entre o cone x 2 + y 2 z 2 e a bola x 2 + y 2 + z 2 az. Desenhe o cone e a bola. Exercício 31. Calcule D x2 + y 2 dxdy onde D = {(x, y) R 2 : x > 0, z 2 x 2 +y 2 ax}. Desenhe o conjunto. Exercício 32. Determine a área das regiões seguintes: E = {(x, y) R 2 : 9 < x 2 + y 2 < 8y} F = {(x, y) R 2 : 0 < y < 8, y 2 /4 < x < 2y} G = {(x, y) R 2 : (x 2 + y 2 ) 3 < 16x 2 } Exercício 33. Determine o volume das regiões seguintes: E 1 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 4, x 2 + y 2 + z 2 16} E 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 2, x 2 + y 2 + z 2 a 2 } E 3 = {(x, y, z) R 3 : 0 2z x 2 + y 2 4, x 2 + y 2 2y} E 4 = {(x, y, z) R 3 : z 0, x 2 + y 2 z 2, x 2z + 2 0} E 5 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 2az, x 2 + y 2 az} E 6 = {(x, y, z) R 3 : z 0, x 2 + y 2 z 2, x 2 + y 2 + z 2 2ax} Exercício 34. Determine a área do astróide = {(x, y) R 2 : x 2/3 + y 2/3 a 2/3 }. (Dica: use as coordenadas x = r cos 3 θ, y = r sen 3 θ.)

6 6 Exercício 35. Calcule (usando uma passagem ao limite) provare que a integral imprópria + e x dx = π. Exercício 36. Calcule as integrais seguintes: E e x 2 y 2 dxdy. Use o resultado para R 2 z 2 dxdydz E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 a 2, x 2 + y 2 + z 2 4a 2 } x2 + y 2 dxdydz E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 2z 4x} E x2 + y 2 dxdydz E = {(x, y, z) R 3 : z 2 x 2 + y 2, (x 2 + y 2 ) 2 a 2 (x 2 y 2 )} E Exercício 37. Calcule o volume da porção de cilindro de equação x 2 + y 2 1, contida entre o plano x + y + z = 4 e o parabolóide z = 2 + x 2 + y 2. ( Exercício 38. Calcule o volume do sólido E = {(x, y, z) R 3 : 9 1 ) 2 x 2 + y 2 + 4y 2 1} Guidorizzi, vol. 3, pag. de 98 a 100: pode fazer quanto mais exercícios possível. Pag. de 103 a 104: pode fazer quanto mais exercícios possível. Pag. de 114 a 116: pode fazer quanto mais exercícios possível. Pag. 131: pode fazer quanto mais exercícios possível. Pag. de 139 a 140: pode fazer quanto mais exercícios possível. (não faça os exercícios sobre baricentro e momento de inércia) Stewart, vol. 2, Pag. 1028/29 (cap. 15), pode fazer quanto mais exercícios possível (não faça os exercícios sobre baricentro e momento de inércia). Pag. 1035/36 (cap. 15), pode fazer quanto mais exercícios possível (não faça os exercícios sobre baricentro e momento de inércia). Pag. 1045/49 (cap. 15), pode fazer quanto mais exercícios possível (não faça os exercícios sobre baricentro e momento de inércia). 10. Segunda-feira, 10 de setembro de 2012 Correção do exercício 35. Calcule (usando uma passagem ao limite) para provare que a integral imprópria + e x2 dx = π. e x 2 y 2 dxdy. Use o resultado R 2 Correção do exercício 38. Calcule o volume do sólido E = {(x, y, z) R 3 : 9 ( 1 x 2 + z 2) 2 + 4y 2 1}. plicações da teoria da integração. Definição e cálculo do centro di massa de um corpo. Exercício 39. Calcule o centro de massa de uma lâmina homogênea (espessura desprezível) de densidade 1, de forma um quarto de elipse definida das inequações x 0, y 0, x 2 + 4y 2 1. Exercício 40. Calcule o centro de massa de um cone circular reto de raio de base a, altura h e densidade proporcional à altura. Exercício 41. Calcule o centro de massa de uma calota esférica homogeênea onde R e o raio da esfera e R 0 R é o raio máximo da calota. Exercício 42. Calcule o centro de massa de uma lâmina homogênea (espessura desprezível) de densidade 1, de forma semielítica com semieixos a e b.

7 7 11. Quarta-feira, 14 de setembro de 2012 Teorema de Pappo (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas) Exercício 43. Calcule o volume de um toro em R 3 obtido pela rotação em torno do eixo Z de um disco no plano yz de raio r com distância R (R > r) entre o centro do disco e o eixo Z. Exercício 44. Calcule o momento de inércia do cone do exercício 40 respeito ao eixo dele. Stewart, vol. 2, pag. 1028/29 (cap. 15), pag. 1035/36 (cap. 15), pag. 1045/49 (cap. 15): agora pode fazer os exercícios sobre centro de massa e momento de inércia. 12. Segunda-feira, 17 de setembro de 2012 Superfícies regulares em R 3. Definição dada através as três propriedades: dada φ : K R 3, K R 2, fecho de um aberto limitado e conexo, (1) φ deve ser C 1 ; (2) φ deve ser injetora em K; (3) a matriz Jacobiana J φ (u, v) tem característica 2 para todo (x, y) K. ( K denota o interior de K ou seja, K privado da sua borda.) Exemplos. Significado dos vetores φ u (u, v) e φ v (u, v). Plano tangente. 13. Quarta-feira, 19 de setembro de 2012 Esclarecimentos sobre superfícies regulares em R 3. Exemplo da esfera. Exerícios em sala para preparação da prova. Guidorizzi, vol. 3, cap. 9, pag. 208, n. 1,2,3,4; pag. 210, n. 1. Stewart, vol. 2, pag. 1096/97 (cap. 16), n. de 1 a 24, 27,28,30, de 31 a Segunda-feira, 24 de setembro de 2012 Exerícios em sala para preparação da prova. 15. Quarta-feira, 26 de setembro de 2012 Prova P1 16. Segunda-feira, I de outubro de 2012 inda sobre a definição de superfície regular. Exercício 45. Escreva uma parametrização do parabolóide de equação z = x 2 + y 2 sob a condição x 2 + y 2 = 1. Exercício 46. Escreva uma parametrização da esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2, onde R é dado.

8 8 Exercício 47. Determine o plano tangente à esfera em alguns pontos que podem escolher. Exercício 48. Considere a parametrização φ em coordenadas esféricas da esfera do exercícios anteriores. Desenhe a imagem da curva φ(u, π/6). Escreva a reta tangente à curva no ponto φ(π/3, π/6). Prove que esta reta tem equação paramétrica r(t) = φ(π/3, π/6) + tφ u (π/3, π/6) Exercício 49. Dada uma superfície regular φ : K R 3, e dado um ponto (u, v), diga qual é o significado geométrico dos vetores φ ( u, v) e φ ( u, v). Exercício 50. Dada uma matriz 3 2 = a a b b c c prove que tem característica 2 se e somente se os vetores coluna v = (a, b, c) e v = (a, b, c ) são linearmente independentes. Exercício 51. Escreva a parametrização de um toro obtido pela rotação em torno do eixo z de uma circunferência no plano yz com centro em (0, a, 0) e raio b, supondo obviamente a > b. Exercício 52. Escreva parametrizações das superfícies quádricas: 1) parabolóide hiperbólico z = x 2 y 2, 2) hiperbolóide com uma folha z 2 = x 2 + y 2 1, 3) hiperbolóide com duas folhas z 2 = x 2 + y 2 + 1, 4) elipsóide a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = 1, 5) cone z 2 = x 2 + y 2. Exercício 53. Dados dois vetores v = (a, b, c) e v = (a, b, c ) de R 3, dê a definição de produto externo v v. Prove que v v é ortogonal a v e a v. Prove que v v 0 se e somente se v e v são linearmente independentes., 17. Quarta-feira, 3 de outubro de 2012 inda sopra as superfícies regulares. Plano tangente e vetor normal. Cenos sobre a orientação. 18. Segunda-feira, 8 de outubro de 2012 Área de uma superfície. Exercício 54. Calcule a área do paraboloide z = x 2 + y 2 que fica dentro do cilíndro de equação x 2 + y 2 = 1. Superfície de rotação. Exercício 55. Seja f : [a, b] R uma função contínua. Colocamos o domínio e imagem num plano yz, com domínio no eixo z. Escreva a parametrização da superfície obtida pela rotação do gráfico de f em torno do eixo z. Em seguida, escreva a fórmula da área desta superfície. Exercício 56. Escreva o hiperbolóide z 2 = x 2 + y 2 1, z [0, 1] como superfície de rotação e determine a parametrização. em seguida calcule a área.

9 9 Guidorizzi, vol. 3, cap. 9, pag : faça alguns. Stewart, vol. 2, pag : faça alguns. 19. Quarta-feira, 10 de outubro de 2012 Integral de superfície. Exercício 57. Calcule a área da superfície obtida da interseção da esfera de equação x 2 +y 2 +z 2 = R 2, cortada pelo cilindro de equação x 2 + y 2 = Rx (com z 0) veja-se o site Exercício 58. Calcule a área das superfícies seguintes: x = cos u 0 u π a) y = sen u 0 v 1 z = v b) z = x 2 + y 2, 1 x 2 + y 2 2 c) a parte do plano pelos pontos (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) e contida no primeiro octante. Exercício 59. Calcule a área da catenóide obtida da rotação em torno do eixo z da curva y = e z + e z, a z a (http://www.mat.ufpb.br/vetorial/caten.htm) 2 Calcule x 2, onde S é a porção de superfície z = arctg y, colocada acima do conjunto K = {(x, y) x S R 2 : x 0, y 0, 1 x 2 + y 2 2}. Guidorizzi, vol. 3, cap. 9, pag. 219, n. 1. Stewart, vol. 2, pag. 1116/7, n. de 5 a Segunda-feira, 15 de outubro de 2012 Campos vetorias. Definição e exemplos. Integrais de linha de campos vetoriais. Guidorizzi, vol. 3, pag. 163, faça alguns; pag. 169, faça alguns. Stewart, vol. 2, pag. 1059/60, faça alguns, pag. 1070/1, faça alguns. 21. Quarta-feira, 17 de outubro de 2012 Teorema: se duas curvas φ e ψ são equivalentes e F : D R n é um campo vetorial contínuo, então φ F = ψ F se φ e ψ tem a mesma orientação, enquanto φ F = F se φ e ψ tem orientação oposta. ψ (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas) Exemplos em sala de aula sobre curvas equivalentes. Definição de campos conservativos. Exemplos de integrais de linha de campos conservativos. integral não depende trajetória (nem da curva), mas só dos extremos da trajetória (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas).

10 Segunda-feira, 22 de outubro de 2012 Teorema com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas Um campo F é conservativo se e somente se a integral de F ao longo de uma curva fechada qualquer φ, é nulo, ou seja φ F = 0 Teorema com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas Seja F : D R n R n um campo conservativo, C 1 e seja U : D R uma primitiva. Então, para cada i, j = 1,..., n temos F i (x) = F j (x) x D. x j x i O teorema fornhece uma condição necessária, mas não suficiente para um campo ser conservativo, como mostra o exercício seguinte. ( Exercício 60. Prove que o campo em duas variáveis F (x, y) = y ) x 2 + y 2, x x 2 + y 2 verifica a condição necessária acima, mas nãoé conservativo. Para provar que não é conservativo, calcule a integral de linha sobre uma circunferência em torno da origem. 23. Quarta-feira, 24 de outubro de 2012 Exercícios: calculo de primitivas de campos conservativos. Teorema (sem prova) Se o domínio D é simplesmente conexo e F : D R n verifica a consição necessária das derivadas cruzadas, então, F é conservativo. Exercício 61. Determine subconjuntos do domínio onde o campo do exercício 60 é conservativo. Exercício 62. Prove que F (x, y) = (ye x, e x cos y) é conservativo e determine a família das primitivas. Exercício 63. Prove que se um campo é conservativo o integral ao longo de uma trajetoria depende só dos extremos da trajetória (prova feita em sala de aula). Exercício 64. Prove a condição necessária sobre as derivadas mistas para que um campo seja conservativo (prova feita em sala de aula). Procure um exemplo de um campo não conservativo que verifica a condição acima (sobre as derivadas mistas). Exercício 65. Prove que se F é um campo vetorial contínuo de R n e φ e ψ são duas curvas equivalentes, então, F = F se φ e ψ têm a mesma orientação φ ψ F = F se φ e ψ têm orientação oposta. φ ψ (prova feita em sala de aula) Exercício 66. Calcule as integrais dos campos vetoriais seguintes ao longos das curvas φ ao lado: F (x, y) = (xy 2, x + y), φ(t) = (cos t, sen t), 0 t π/2 F (x, y) = 1 x 2 + y 2 (y2, x 2 ), φ(t) = (r cos t, r sen t), 0 t π F (x, y) = (xye x+y ), φ(t) = (t, t + 2), 0 t 1

11 11 F (x, y, z) = 1 2x 2 + y 2 + z 2 (x, y, 2z), φ(t) = (t, 2t, t2 ), 1 t 2 F (x, y, z) = (xy, ye x ), φ(t) = (t, t 2 ), 0 t 1 Exercício 67. Calcule as integrais dos campos vetoriais seguintes ao longos das trajetórias descritas ao lado: F (x, y) = (y, ln x), parábola de equação y 2 x + 1 = 0, 1 x 2 no sentido x crescente 1 F (x, y) = (xy, 1 + y ), caminho de equação y = ex, 0 x 1 no sentido x decrescente x F (x, y) = ( 1 + y, 1), crescente arco de circunferência de equação x2 + y 2 = 1, 2/2 x 1 no sentido x F (x, y) = (e y, y sen x), crescente F (x, y) = ( y/x, 1), poligonal de equações y = x, 0 x 1 e y = 1, 1 x 2 no sentido x arco de hipérbole de equação x2 y2 = 9, 3 x 9 no sentido x crescente 24. Segunda-feira, 29 de outubro de 2012 Teorema de Gauss Green no plano euclidiano com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas. prova foi feita no caso particular de domínios normais respeito aos dois eixos. Domínios de R 2 com fronteira regular. Orientação positiva anti-horária. Exercício 68. Calcule a integral de linha y 2 dx + x 2 dy, onde D é o conjunto de R 2 no primeiro D + quadrante, delimitado pelo arco di circunferência raio 1 e centro (0, 0) e pela reta x + y = 3. Exercício 69. Calcule a área do interior da elipse x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = Quarta-feira, 31 de outubro de 2012 Definição de rotacional (ou rotor) de um campo vetorial. Campos irrotacionais. Integrais sobre curvas quaisquer. Teorema de Stokes no plano com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas Teorema da divergência no plano com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas Exercício 70. (IMPORTNTE!) Faça de novo, cuidando de todos os detalhes, e marcando pontos não claros, se tiverem (para depois esclarecer comigo), as provas dos três teoremas acima (nos casos simples, como em sala de aula). Guidorizzi, vol. 3, pag. 195, faça alguns; pag. 202/3/4, faça alguns. Stewart, vol. 2, pag. 1079/80, faça alguns; pag. 1087/8, faça alguns; pag. 1094, n. de 1 a 21.

12 Segunda-feira, 5 de novembro de 2012 Superfícies regulares S em R 3, com fronteira regular. Orientação da superfície S e orientação da borda S de acordo com a orientação de S. Teorema de Stokes para superfícies em R 3, com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas. 27. Quarta-feira, 7 de novembro de 2012 Demonstração do Teorema de Stokes. 28. Segunda-feira, 12 de novembro de 2012 Demonstração do Teorema de Stokes (continuação) (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas). Exercício 71. Diga o que é um domínio de R 2 com fronteira regular. Define a orientação da fronteira. Diga o que é a orietnação positiva de uma curva e da fronteira de um domínio. Exercício 72. Parametrize a circunferência de centro a origem e raio 1 com uma parametrização positivamente orientada e com uma parametrização negativamente orientada. Exercício 73. Diga o que é uma superfície com fronteira regular. Explique o significado da orientação de uma superfície e a orientação da borda de acordo com a orientação da superfície. Exercício 74. Escreva a diferença entre f e F, onde γ é uma curva (por exemplo em R 2 ou R 3 ), f é uma função real e F um campo vetorial. Exercício 75. Dado um campo vetorial F em R 3, escreva o rotacional de F. Guidorizzi, vol. 3, pag. 195, faça alguns; pag. 202/3/4, faça alguns. Stewart, vol. 2, pag. 1081, faça alguns; pag. 1122, faça alguns. γ γ

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