AMIII - Exercícios Resolvidos Sobre Formas Diferenciais e o Teorema de Stokes

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1 AIII - Exercícios Resolvidos obre Formas Diferenciais e o Teorema de tokes 4 de Dezembro de. eja a superfície Calcule: a) A área de ; b) O centróide de ; { x, y, z) R 3 : z cosh x, x <, y ], [ }. c) O momento de inércia de em torno do eixo dos yy assumindo uma densidade de massa por unidade de área constante igual a ). Resolução: a) Uma parametrização desta superfície é por exemplo g :], [ ], [ R 3 dada por gu, v) u, v, cosh u). O pull-back por esta parametrização de um elemento de volume compatível com a orientação por ela induzida é onde g é a matriz dada por g dv det gu, v)du dv, g g u g u,, senh u),, senh u) + senh u cosh u; g G g u g,, senh u),, ) ; v g g v g,, ),, ). v Portanto cosh det gu, v) u cosh u e a área da superfície é V ) dv ],[ ],[ [senh u] senh e e. cosh u du dv cosh u dvdu

2 b) Por simetria x C e y C. Como temos zdv c) Por definição, I y. Calcule ],[ ],[ e u + e u cosh u cosh u du dv cosh u dvdu ) du e u + e u + ) du 4 coshu) + ) du 4 [senhu)] + senh + z C zdv V ) x + z ) dv ],[ ],[ u + senh u + ) cosh u dvdu [ senh u 3 u cosh u du + 3 ] 8 senh 4 cosh + 3 senh3. Q + senh + senh. u + cosh u ) cosh u du dv + senh y ) ) x x + y + ex dx + x + sen y dy, + y onde Q é o quadrado com vértices, ),, ),, ),, ) e + indica que Q deve ser percorrido no sentido directo. Resolução: Claramente a forma η e x dx + sen y dy é fechada, e portanto exacta uma vez que está definida em R, que é em estrela). Portanto o seu integral ao longo de Q será nulo. É fácil ver que a forma é também fechada: ω y x + y dx + x x + y dy dω x + y y x + y ) dy dx + x + y x x + y ) dx dy. No entanto, uma vez que o domínio de ω R \ {, )}) não é em estrela, não podemos concluir que é exacta. De facto, não é exacta: se C representa a circunferência de raio em torno da origem, parametrizada por exemplo por g :], π[ R dada por gθ) cos θ, sen θ),

3 tem-se ω g sen θ cos θ ω C + ],π[ + ],π[ + sen θ + cos dcos θ) + θ sen θ + cos dsen θ) θ π sen θdθ + cos θdθ dθ dθ π. ],π[ + ],π[ + e A é a região do plano compreendida entre C e Q, tem-se A C Q. A orientação usual de A dada pelo elemento de volume dv dx dy) induz em Q a orientação que corresponde a percorrer Q no sentido directo e C no sentido inverso; portanto pelo Teorema de tokes ω dω + ω + π π Q + A C + A e o integral pedido é ω + Q + η π + π. Q + 3. Calcule o fluxo do campo vectorial Fx, y, z) xz, yz, z ) para fora da superfície {x, y, z) R 3 : z + x + y, z 3} i.e., no sentido em que a distância ao eixo dos zz aumenta) a) Pela definição. b) Usando o Teorema da Divergência. c) Usando o Teorema de tokes para campos vectoriais. Resolução: a) Uma parametrização de é por exemplo g :], π[ ], 3[ R 3 dada por gθ, z) z cos θ, ) z sen θ, z, uma vez que em coordenadas ciĺındricas a equação que define se escreve z +r. Como e g θ g e e 3 z z sen θ z cos θ zz ) cos θ zz ) sen θ z cos θ, ) z sen θ, z aponta para fora de, concluímos que g induz a orientação correspondente à normal exterior unitária, e que portanto o fluxo de F para fora de pode ser calculado a partir de F n dv 3 π 3 π z cos θ, z sen θ, z) z z cos θ, z z sen θ, z ) dθdz z 3 z + z 3 )dθdz 6π. 3

4 b) Alternativamente, podemos considerar a -forma Ω F xzdy dz + yzdz dx z dx dy e integrá-la ao longo de. Uma vez que g Ω F z ) z cos θd z sen θ dz + z ) z sen θdz d z sen θ ) ) z d z cos θ d z sen θ temos que z z ) cos θdθ dz z z ) sen θdz dθ z zdz dθ z 3 z + z 3) dθ dz, Ω F 3 π z 3 z ) dθdz 6π, em conformidade com o resultado anterior. Vimos através do cálculo do produto externo das colunas da matriz Jacobiana da parametrização que esta induz a orientação correspondente à normal unitária exterior; caso não tivéssemos feito este cálculo, poderíamos determinar qual a orientação induzida pela parametrização notando que uma base para o espaço normal a no ponto x, y, z) é dada por x + y z + ) x, y, z). Apesar de a nossa superfície ser apenas o pedaço de hiperbolóide entre z e z 3, para efeitos de cálculo da orientação é mais simples considerar toda a folha em z > ; nesse caso, no ponto,, ) g, ) a normal exterior unitária é n,, ), e Ω n dx dy. Uma vez que ) ) g Ω n d z cos θ d z sen θ zdz dθ dθ dz para θ, z), ), e >, concluiríamos que g induz a orientação correspondente a n. É fácil ver que F. A superfície é um pedaço de um hiperbolóide cujo eixo é o eixo dos zz, e o seu bordo é constituído por uma circunferência C de raio 3 contida no plano z e uma circunferência C de raio 8 contida no plano z 3. Para aplicar o Teorema da Divergência que só pode ser aplicado a superfícies que limitam volumes), adicionamos a os dois círculos D e D contidos nos planos z e z 3 e cujos bordos são C e C. A normal unitária indicada corresponde então à normal unitária exterior n ao volume V limitado por D D. Note-se que, em D, n,, ) e, em D, n,, ). Por outro lado, Fx, y, ) x, y, 4) e Fx, y, 3) 3x, 3y, 9). Pelo Teorema da Divergência tem-se então F n dv + F n dv + F n dv F dv 3, D D V 4

5 ou seja, F n dv 4dV D 9)dV D 9V D ) 4V D ). Como D e D são círculos de raios 3 e 8, V D ) 3π e V D ) 8π, e portanto F n dv 7π π 6π, em conformidade com o nosso cálculo anterior. c) Note-se que F. Como F está definido em R 3, que é um conjunto em estrela, concluímos que F é um campo rotacional. e A é um potencial vector para F, i.e., se F A, então devemos ter ou seja, Ω F dω A dω A xzdy dz + yzdz dx z dx dy, A 3 y A z A z A 3 x A x A y xz yz z Como é sabido, o facto de o potencial vector estar definido a menos de um gradiente ou equivalentemente de ω A estar definido menos de uma derivada exterior) permitenos sempre assumir que uma das componentes deste se anula. Escolhemos por exemplo A 3. Então obtém-se A z A z xz yz A x A y z A xz A yz + fx, y) + gx, y) z + f x z g y z Portanto podemos por exemplo escolher f g, e um potencial vector para F é então ) yz A, xz,. Pelo Teorema de tokes, F n dv A dg + C A dg C onde as orientações de C e C devem ser compatíveis com a normal unitária n. ais precisamente, C deve ser percorrida no sentido directo quando vista do semieixo positivo dos zz, e C no sentido inverso. Uma parametrização para C é gθ) 3 cos θ, 3 sen θ, ), e portanto π A dg 3 sen θ, 3 cos θ, ) 3 sen θ, 3 cos θ, ) dθ C π 6)dθ π. 5

6 Uma parametrização para C é gθ) 8 cos θ, 8 sen θ, 3 ) ; o sentido de C correspondente a esta parametrização é no entanto o contrário àquele que pretendemos, pelo que C A dg π π ) sen θ, 8 cos θ, 8 sen θ, ) 8 cos θ, dθ 36dθ 7π. Portanto mais uma vez concluímos que F n dv 6π. 4. eja { x, y, z) R 3 : } x + y ) + z Calcule o fluxo do campo vectorial através de no sentido da normal exterior. Fx, y, z) xe sin z, ye sin z, z) Resolução: é o bordo do toro sólido { T x, y, z) R 3 : } x + y ) + z, e Logo F n dv T F e sin z e sin z +. F dv 3 onde usámos o Teorema de Pappus). T dv 3 V 3 T ) π π 4π 5. Use o Teorema de tokes para calcular ω com a orientação correspondente à normal exterior, onde { x, y, z) : x + y, z } e ω xe z dy dz + ye z dz dx Resolução: Começamos por observar que o integral pedido é apenas o fluxo do campo F ω e z x, e z y, ) para fora da superfície ciĺındrica infinita, e que portanto o integral pedido será + π ω e z x, e z y, ) x, y, )dv e z dv e z dθdz π. No entanto, queremos usar o Teorema de tokes para calcular o integral. Uma forma de o fazer é notar que dω e z dx dy dz. 6

7 eja h > e D { x, y, z) : x + y, z } ; h { x, y, z) : x + y, z h } ; D h { x, y, z) : x + y, z h } ; A h { x, y, z) : x + y, z h }. Então A h D h D h e portanto pelo Teorema de tokes dω A h ω + D ω + h ω. D h A orientação correspondente à normal exterior em h induz em A h a orientação usual dada pelo elemento de volume dv 3 dx dy dz). Uma vez que F ω é tangente a D, D h, D ω D h ω, e portanto ω dω e z dx dy dz e z dxdydz h A h A h A h π [ r ] [ e z ] h π e h). h π É fácil ver que por exemplo o Teorema da Convergência Dominada ω lim ω lim π e h) π h + h h + como teria que ser). e z rdθdrdz Outra forma de calcular o integral usando o Teorema de tokes é a seguinte: como vimos, pelo que a -forma dω e z dx dy dz dω + e z dx dy) η ω e z dx dy é fechada. Uma vez que o seu domínio R 3 ) é em estrela, concluimos que é exacta. Além disso o integral de e z dx dy ao longo de corresponde ao fluxo do campo vertical,, e z ) através de ; uma vez que este campo é tangente a, o fluxo é nulo. Portanto ω η. Calculemos um potencial para η: se é tal que dξ η então devemos ter ξ ξ dx + ξ dy + ξ 3 dz dξ xe z dy dz + ye z dz dx + e z dx dy, 7

8 ou seja, ξ 3 y ξ z xe z ξ z ξ 3 x ye z ξ x ξ y e z Como é sabido, o facto de o potencial estar definido a menos da derivada exterior de uma função permite-nos sempre assumir que uma das componentes deste se anula. Escolhemos por exemplo ξ. Então obtém-se ξ 3 y xe z ξ z ξ 3 x ye z ξ y e z ξ 3 xye z + fx, z) ye z + g z ye z f x ye z ξ ye z + gx, z) Portanto podemos por exemplo escolher fx, z) gx, z). Um potencial para η é então ξ ye z dx + xye z dz. Apesar de ser uma variedade com bordo, C { x, y, z) : x + y, z }, não podemos aplicar directamente o Teorema de tokes, uma vez que este teorema só é válido para variedades com bordo compactas, i.e., limitadas de certa forma, possui parte do bordo no infinito ). Podemos no entanto aplicá-lo a h, cujo bordo é h C C h, com C h { x, y, z) : x + y, z h }. Pela regra da mão direita facilmente se conclui que a orientação correspondente à normal exterior em induz a orientação que corresponde a percorrer C no sentido directo no plano xoy e C h no sentido oposto. Portanto η ξ + ξ sen θdcos θ) sen θe h dcos θ) h ],π[ + ],π[ + C + π C h e consequentemente ω π sen θdθ e h sen θdθ π e h) η lim η lim π e h) π. h + h h + 6. eja {x, y, z) R 3 : x y + z, x }. Usando o teorema de tokes, a) Calcule µ zdx dy + xdz dy onde µ é a orientação determinada pela normal a que tem primeira componente positiva. b) Calcule ydz sendo percorrida no sentido que visto da origem é a dos ponteiros do relógio. 8

9 Resolução: a) Claramente tem-se dxzdy) zdx dy + xdz dy, logo pelo teorema de tokes, zdx dy + xdz dy xzdy, µ ν onde ν é a orientação induzida em pela orientação de. Tem-se {x, y, z) R 3 : x y + z, x } {, y, z) R 3 : y + z }. Uma vez que a orientação dada a corresponde à normal que aponta para dentro do parabolóide, pela regra da mão direita, a circunferência deve ser percorrida num sentido que, visto de um ponto no semieixo positivo dos xx longe da origem, parece o contrário ao dos ponteiros do relógio. A parametrização g :], π[ definida por percorre no sentido desejado, logo gθ), cos θ, sen θ) ν xzdy π π π π. g xzdy) sen θdcos θ) sen θdθ b) Pelo teorema de tokes, ydz dy dz µ onde µ é a orientação de que induz a orientação dada em. Pela regra da mão direita vemos que µ é a orientação correspondente à normal que tem componente segundo x positiva. Uma parametrização para é por exemplo g :], [ ], π[ definida por gr, θ) r, r cos θ, r sen θ). Como g r g θ e e e 3 r cos θ sen θ r sen θ r cos θ 9

10 a primeira componente de g r g θ é r >. Conclui-se que g induz a orientação µ e portanto, dy dz g dy dz) µ ],[ ],π[ + dr cos θ) dr sen θ) ],[ ],π[ + cos θdr r sen θdθ) sen θdr + r cos θdθ) ],[ ],π[ + rdr dθ ],[ ],π[ + π π. rdθdr 7. eja {x, y, z) R 3 : x +y +z, z }. Use o Teorema de tokes para calcular µ + z )dx dy onde µ é a orientação determinada pela normal exterior à esfera. Resolução: A forma +z )dx dy não é fechada e portanto não é exacta. No entanto, para x, y, z) temos + z + x y ) x y, pelo que + z )dx dy x y )dx dy. µ µ A forma x y )dx dy é fechada em R 3, que é um conjunto em estrela, e portanto é exacta. É fácil adivinhar um potencial para esta forma: d x 3 x3) dy) x )dx dy e d 3 y3 dx) y dx dy, logo é um potencial para x y )dx dy. 3 y3 dx + x 3 ) x3 dy Pela regra da mão direita, a orientação ν induzida por µ em {x, y, ) R 3 : x + y } é aquela que vista de um ponto com coordenada z positiva parece o sentido anti-horário. Uma parametrização para é por exemplo g :], π[ dada por gθ) cos θ, sen θ, ) e claramente a orientação induzida por esta parametrização é ν. Pelo teorema de tokes,

11 concluímos que + z )dx dy x y )dx dy µ µ ν 3 y3 dx + x 3 ) x3 dy π 3 sen3 θdcos θ) + cos θ ) 3 cos3 θ dsen θ) π sen 4 θ + cos 4 θ ) ) + cos θ dθ 3 π cos θ sen θ ) ) + cos θ dθ 3 ) onde usámos a identidade π 3 3 sen θ) π ) π + π 3π, ) + cos θ dθ cos 4 θ + sen 4 θ cos θ + sen θ ) cos θ sen θ cos θ sen θ. 8. eja {x, y, z, w) R 4 : w + x +y +z, w }. Calcule µ dx dy dz onde µ é a orientação de dada pela normal que aponta na direcção do eixo dos ww. Resolução: eja V {x, y, z, w) R 4 : w + x + y + z, w }. Então V é um conjunto compacto e onde V T T T {x, y, z, w) R 4 : w + x +y +z, w } {x, y, z, ) R 4 : x +y +z } e T {x, y, z, w) R 4 : w + x +y +z, w } {x, y, z, ) R 4 : x +y +z 5}. Uma vez que ddx dy dz), pelo teorema de tokes tem-se dx dy dz V qualquer que seja a orientação escolhida para V. Pela aditividade do integral conclui-se que dx dy dz + dx dy dz + dx dy dz µ T µ T µ

12 onde µ designa a orientação determinada em cada hipersuperfície pela normal interior a V. O espaço tangente a T e T é, em qualquer ponto, {x, y, z, ) R 4 } pelo que dx dy dz é um elemento de volume para T e T. Resta saber se é o elemento de volume compatível com as orientações µ. A normal unitária interior a T é,,, ), logo o elemento de volume correspondente à orientação determinada por esta normal é ) 4 dx dy dz dx dy dz. Da mesma forma vemos que o elemento de volume para T determinado pela orientação µ é dx dy dz. Assim, tem-se dx dy dz dx dy dz dx dy dz µ T µ T µ dx dy dz dx dy dz T µ T µ dxdydz T dxdydz T V 3 T ) V 3 T ) 4π 3 4π eja V {x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y, z }. Calcule o fluxo do campo vectorial Fx, y, z),, ) x + y + z através de V no sentido da normal exterior a V. Resolução: Não se pode aplicar directamente o teorema da divergência porque F não é de classe C em V. No entanto, podemos aplicar o teorema da divergência a regiões V ɛ {x, y, z) R 3 : ɛ x + y + z, x, y, z } e passar ao limite quando ɛ : Temos V T T T3, onde T {x, y, ) R 3 : x + y, x, y }; T {, y, z) R 3 : y + z, y, z }; T 3 {x,, z) R 3 : x + z, x, z }; {x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y, z }, Temos também V ɛ T,ɛ T,ɛ T3,ɛ ɛ, onde T i,ɛ designa a porção de T i a uma distância ɛ da origem, e ɛ {x, y, z) R 3 : x + y + z ɛ, x, y, z }.

13 O campo F é paralelo a T e T 3, pelo que trivialmente temos para i, 3 lim F n F n. ɛ T i,ɛ T i Por outro lado F é perpendicular a T pelo que lim F,, ) lim ɛ T ɛ,ɛ T,ɛ y + z dv. Uma vez que a função é integrável em T y +z como fácilmente se verifica utilizando coordenadas polares), pelo teorema da convergência monótona conclui-se que Finalmente, tem-se pelo que lim ɛ T,ɛ F,, ) F n F dv ɛ ɛ ɛ ɛ dv 4πɛ 8 πɛ T F,, ). ɛ lim F n. ɛ ɛ Uma vez que podemos aplicar o teorema da divergência a V ɛ, conclui-se que F n lim F n lim F. V ɛ V ɛ ɛ V ɛ Ora x Fx, y, z) ; x + y + z ) 3 logo, usando coordenadas esféricas, obtemos x F dv V ɛ V ɛ x + y + z ) 3 3 π π r sen θ cos ϕ ɛ r 3 r sen θdθdϕdr π ) π ) ɛ) cos ϕdϕ sen θdθ ɛ) π 4, e portanto V F n π 4. 3

14 . eja V R 3 uma variedade-3 com bordo compacta e φ : V [, + [ R 3 uma aplicação de classe C, tal que para cada t [, + [ a aplicação φ t : V R 3 dada por φ t x, y, z) φx, y, z, t) é injectiva e com derivada injectiva. φ modela a evolução de uma porção de fluido com o tempo: no instante t, o fluido ocupa a posição φ t V ) em R 3. O campo vectorial v t : φ t V ) R 3 definido por v t φ t x, y, z)) φ x, y, z, t). t designa-se por campo de velocidades do fluido. Prove o Teorema de Liouville: e v t então para todo o T, tem-se V 3 φ T V )) V 3 φ V )). Isto é, se a divergência do campo de velocidades é, então o volume ocupado pela porção de fluido mantém-se constante. Resolução: Começamos por observar que ψ : V [, T ] R 4 dada por ψx, y, z, t) φx, y, z, t), t) parametriza uma variedade com bordo cujo bordo é e que φ V ) {} ψ V [, T ]) φ T V ) {T }. v ψ t v t, ). Uma vez que a última componente de v é constante, temos v t v. Além disso, uma vez que,,, ±) são as normais unitárias a φ V ) {} e φ T V ) {T }, podemos escrever V 3 φ T V )) V 3 φ V )) v,,, ) + v,,, ) φv {}) φv {}) v n + v n φv {T }) φv {T }) onde n designa a normal exterior a. Uma vez que v ψ t é claramente tangente a ψ V [, T ]) se fixarmos x, y, z) V então ψx, y, z, t) descreve uma curva em ψ V [, T ])), obtemos do Teorema da Divergência V 3 φ T V )) V 3 φ V )) v,,, ) + v,,, ) o que conclui a demonstração. φv {}) v n dv 3 v dv 4, ψ V [,T ]) φv {T }) v n dv 3 4