Universidade Federal do Pará Cálculo II - Projeto Newton /4 Professores: Jerônimo e Juaci

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1 Universidade Federal do Pará Cálculo II - Projeto Newton - 5/4 Professores: Jerônimo e Juaci a Lista de exercícios para monitoria. Determine o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z. Solução: Acima temos a região D de integração, note que podemos tomar: x e y x. Assim o volume requerido na questão pode ser obtido pela seguinte integral: Portanto: V x ( x y) dydx () x ( x y) dydx y xy y x dx ( ) x x ( ) 9 4 x 9x + 9 dx 4 x 9 x + 9x ( x ) ( x ) dx. Determine o volume do sólido dado.

2 Abaixo do plano x y + z e acima da região limitada por x + y e x + y. Solução: Para determinar o volume deste sólido precisamos identificar a região de integração. Em seguida iremos calcular a integral dupla da função f(x, y) x + y sobre esta região para assim determinar o volume do sólido. x V f(x, y) da ( x + y) dy dx R x x x ( x + y) dy dx Iremos resolver a primeira integral que está entre colchetes: x x ( x + y) dy y xy + y x x x 4 + x 5x + x Iremos resolver agora a segunda integral que está fora dos colchetes: (x 4 + x 5x + x) dx 5 x5 + 4 x4 5 x + x 7. Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. x y da, em que D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5. D Solução: Esboçando a região D, encontramos a seguinte figura:

3 A região D pode ser descrita como Em coordenadas polares, temos D {(x, y) y, x + y 5}. D {(r, θ), θ, r 5}. Portanto, a integral em coordenadas polares será D x y da 5 r cos θsenθ drdθ Calculando a integral acima iteradamente, resolvendo primeiramente a integral interna, temos: Daí, 5 r r senθ cos 4 θdr 4 senθ cos θ D x y da senθ cos θ dθ 5 4 senθ cos θ. Calculamos a integral acima por substituição simples, fazendo u cos θ du senθdθ du senθdθ. Logo: 5 4 senθ cos θ dθ u u du u du ( + ) 4. Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. sen(x + y ) da, R em que R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios e. Solução: Esboçando a região R, encontramos:

4 Dessa forma, concluímos que r, θ. Sendo assim, a integral a ser calculada será R sen(x + y ) da Calculando iteradamente a integral, temos: rsen(r cos θ + r sen θ) drdθ rsen(r ) drdθ rsen(r ) dr dθ. rsen(r ) drdθ. Resolvendo a integral entre colchetes, por substituição simples, fazendo u r du r dr du r dr, teremos: rsen(r ) dr 9 cos u senu du 9 (cos 9 cos ). Logo: rsen(r ) drdθ (cos 9 cos )dθ (cos 9 cos ) (cos 9 cos ) θ (cos 9 cos ). 4 dθ Questões 5 e - Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado. 5. Abaixo do paraboloide z 8 x y e acima do plano xy. Solução: Abaixo temos o sólido no qual queremos determinar seu volume. 4

5 Para determianar o volume deste sólido iremos utilzar a transformação para coordenadas polares: { x ρ cos(θ) y ρ sen(θ) Ao convertermos para coordenadas polares temos os seguintes limites de integração: Integral dupla em coordenadas polares: V f(x, y) da R R θρ ρ θ f(ρ cos(θ), ρ sen(θ)) ρ dρ dθ ( 8 (ρ cos(θ)) (ρ sen(θ)) ) ρ dρ dθ (8ρ ρ ) dρ dθ Iremos resolver a primeira integral que está entre colchetes: (8ρ ρ ) dρ (9ρ ρ ) dρ 9 ρ 4 ρ4 8 5

6 Agora podemos resolver a segunda integral que está fora dos colchetes: 8 dθ θ dθ. A região dentro do círculo (x ) + y e fora do círculo x + y. Solução: Para determinar o volume deste sólido, iremos calcular esta integral utilizando a transformação para coordenadas polares: x ρ cos(θ) y ρ sen(θ) ρ x + y Precisamos transformar as duas equações, do cone e da esfera, para as coordenadas polares. ) Equação do cone: z x + y z ρ z ρ ) Equação da esfera: x + y + z ρ + z z ρ z ρ

7 Agora precisamos identificar a região de integração para assim determinar a variação das coordenadas polares ρ e θ. z z ρ ρ ρ ρ ρ ) Variação da coordenada ρ: ) Variação da coordenada θ: ρ θ Na fugura abaixo temos a região de integração (circulo de centro na origem e raio região o sólido no qual queremos determinar o seu volume: ) e acima da Para determinar o volume V deste sólido iremos calcular o volume abaixo da esfera V E e subtrair pelo volume abaixo do cone V C. V V E V C ) Volume abaixo da esfera V E : V E z(ρ cos(θ), ρ sen(θ)) ρ dρ dθ R θ ρ V E R θ ρ ρ ρ dρ dθ 7

8 V E ρ ρ dρ dθ Iremos resolver a primeira integral que está entre colchetes, para isso iremos aplicar a substituição a seguir u ρ dρ du ρ Limites de integração: u() ( ) u Logo: ρ ρ dρ ρ u du ρ u du u u ( ) 4 Agora podemos resolver a segunda integral que está fora dos colchetes: 4 dθ θ dθ ) Volume abaixo do cone V C : V C R θ ρ z(ρ cos(θ), ρ sen(θ)) ρ dρ dθ V C ρ dρ dθ R θ ρ ρ ρ dρ dθ 8

9 Iremos resolver a primeira integral que está entre colchetes: ρ dρ ρ ( ) Agora podemos resolver a segunda integral que está fora dos colchetes: dθ dθ θ Portanto o volume do sólido em questão é V V E V C V 4 V ( ) Questões 7 e 8 - Utilize a integral dupla para determinar a área da região. 7. Um laço da rosácea ρ cos(θ). Solução: Para determinar a área de um laço da rosácea de três pétalas, iremos calcular esta integral utilizando a transformação para coordenadas polares: { x ρ cos(θ) y ρ sen(θ) Abaixo temos a curva ρ cos(θ) em coordenadas polares: 9

10 Precisamos determinar a variação das coordenadas polares ρ e θ. ) Variação da coordenada ρ: ρ cos(θ) ) Variação da coordenada θ: Para determinar a variação da coordenada θ iremos analizar para quais valores de θ, ρ ρ cos(θ) cos(θ) θ arccos() θ n θ n (n ímpar) Um dos laços da rosácea de três pétalas apresenta simetria em relação ao eixo x, portanto a variação de θ é θ Área:

11 A B θ ρ A A ρ dρ dθ da B cos(θ) cos(θ) ρ dρ dθ ρ dρ dθ Iremos resolver a primeira integral que está entre colchetes: cos(θ) ρ cos(θ) ρ dρ cos (θ) cos (θ) Agora podemos resolver a segunda integral que está fora dos colchetes: cos (θ) dθ cos (θ) dθ + cos((θ)) dθ ( + cos(θ)) dθ 4 θ + sen(θ) sen() 4 + ( ) 4 ( + sen( ) )

12 Logo a área de um laço da rosácea de três pétalas é A 8. A região dentro do círculo (x ) + y e fora do círculo x + y. Solução: Abaixo temos região no plano xy na qual queremos calcular sua área: Para determinar a área desta região, iremos calcular esta integral utilizando a transformação para coordenadas polares: { x ρ cos(θ) y ρ sen(θ) Precisamos transformar as duas equações da circunferência para as coordenadas polares. ) x + y : x + y ρ cos (θ) + ρ sen (θ) ρ ( cos (θ) + sen (θ) ) ρ ρ

13 ) (x ) + y : (x ) + y (ρ cos(θ) ) + ρ sen (θ) ρ cos (θ) ρ cos(θ) + + sen (θ) ρ ( cos (θ) + sen (θ) ) ρ cos(θ) + ρ ρ cos(θ) ρ cos(θ) Agora precisamos determinar a variação das coordenadas polares ρ e θ. ) Variação da coordenada ρ: Como queremos a área dentro do círculo (x ) + y e fora do círculo x + y, a variação da coordenada polar ρ será da circunferência que está mais próxima do origem (ρ ) para a que está mais distante (ρ cos(θ)). ) Variação da coordenada θ: ρ cos(θ) Para determinar a variação da coordenada θ iremos analizar para quais valores de θ, ρ ρ Portanto a variação de θ é ρ ρ cos(θ) cos(θ) θ arccos θ ± θ ( ) Área:

14 A B θ ρ A A ρ dρ dθ da B cos(θ) cos(θ) ρ dρ dθ ρ dρ dθ Iremos resolver a primeira integral que está entre colchetes: cos(θ) ρ cos(θ) ρ dρ 4 cos (θ) ( 4 cos (θ) ) 4

15 Agora podemos resolver a segunda integral que está fora dos colchetes: ( 4 cos (θ) ) dθ ( 4 cos (θ) ) dθ ( 4 ( + cos(θ) ) ) ( + cos(θ) ) dθ ( + cos(θ)) dθ θ + sen(θ) ( ) + sen dθ ( + sen ) Logo a área dentro do círculo (x ) + y e fora do círculo x + y é A + 9. Calcule a integral iterada. Solução: 4 xz cos(y) dy dx dz 4 ( ) xz cos(y) dy dx dz Iremos resolver a primeira integral que está entre parênteses: xz cos(y) dy xz cos(y) dy xz sen(y) xz 5

16 Iremos resolver a segunda integral que está entre colchetes: xz dx z x dx z z x Iremos resolver agora a terceira integral que está fora dos colchetes: 4 z dz 4 z dz 4 z. Calcule a integral iterada. Solução: x xz x sen(y) dy dz dx x ( xz ) x sen(y) dy dz dx Iremos resolver a primeira integral que está entre parênteses: xz xz x sen(y) dy x sen(y) dy x cos(y) xz x x cos(xz) Iremos resolver a segunda integral que está entre colchetes: x x x (x x cos(xz)) dz x dz x cos(xz) dz x z x x x x sen(xz) x x sen(x ) Iremos resolver agora a terceira integral que está fora dos colchetes: (x x sen(x )) dx 4 x4 4 ( 4) x x sen(x ) dx cos(x )